Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 57

Ортогональные инварианты. Вместе с малой квадратичной формой мы можем рассматривать ее присоединенное преобразование. Если пользоваться только прямоугольными системами координат, то матрица малой квадратичной формы совпадает с матрицей присоединенного преобразования.

Поэтому коэффициенты ее характеристического многочлена не меняются при замене одной декартовой прямоугольной системы координат другой такой же системой. О пре дел ение. Величины, не меняющиеся при замене одной декартовой прямоугольной системы координат на другую декартову прямоугольную систему, называются ортогональными (или евнлидовыми) инвариантами. Итак, с линией связаны два ортогональных инварианта С111 С112 12— С121 С122 11 — 011 + с~22 ~ 12 это знакомый нам детерминант о. При произвольных заменах координат его величина меняется, но знак (или обращение в 0) остается инвариантным. Об 11 речь шла в упр. 6 31 гл.

П1. Замена базиса (6) имеет специальный вид, но если прямоугольная Кроме того, мы видим, что значение г = 2 характеризует центральные линии, а их разделение на линии эллиптического и гиперболического типов определяется значением о.. Значение В ( 3 соответствует "распавшимся" линиям, в состав которых входят вещественные или мнимые прямые.

Это было установлено в 3 3 гл. П1 в связи с геометрическим смыслом определителей о и Ь. Сейчас мы в состоянии посмотреть на них с более общей точки зрения. ~2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 253 система координат меняется на прямоугольную, то матрица 1 1 (8) ортогональная, и ее детерминант равен 1 или — 1. В этом случае детерминант матрицы перехода 5 в формуле (6) также равен ~1. При замене базиса (6) детерминант матрицы большой квадратичной формы умножается на (с1е1 Я), т. е. остается неизменным. Мы получили еще один ортогональный инвариант уравнения второго порядка известный нам детерминант Ь, записанный несколько иначе: 000 С~10 020 с110 оп с112 С120 С112 ~-"22 1з = Легко видеть, что матрица перехода в формуле (6) ортогональна тогда и только тогда, когда ортогональна матрица (8) и 0.1 = 0.2 = О, т. е.

ортонормированный базис заменяется на ортонормированный, а перенос начала координат не производится. При этом коэффициенты характеристического многочлена матрицы большой квадратичной формы не изменятся. Итак, коэффициенты при Л и — Л С100 + С111 + С" 22 ~ ~110 + ООО ~-~20 С~11 С120 СХ22 11П С112 + 1ХОО "-121 "-"22 С110 (10) не меняются при ортогональной замене базиса и, возможно, меняются при переносе начала координат.

Величины такого типа называются семиинвариантаии (т. е. полуинвариантами). Вычитая из (9) и (10) соответственно 11 и 12, мы получаем семиинварианты ада и С100 СХ10 С110 С1п ~-~00 ~-~20 020 022 4. Поверхности второго порядка. Пусть уравнение (1) связывает координаты точки в трехмерном пространстве. В этом пункте мы покажем, что существует такая декартова прямоугольная система координат, при переходе к которой уравнение принимает один из 17 канонических видов.

В качестве базиса такой системы координат выберем тот ортонормированный базис, в котором малая квадратичная форма имеет Впрочем, то, что а00 семиинвариант, видно и из формул (2). Значения полученных здесь инвариантов и семиинвариантов позволяют найти коэффициенты в канонических уравнениях, и потому определяют линию второго порядка с точностью до положения на плоскости. Следует, однако, помнить, что эти величины связаны с многочленом второго порядка, а не с линией. Они меняются очевидным образом, если уравнение умножить на отличное от нуля число. Гл. ИХ1. Аффинные пространства диагональный вид.

Таким образом, мы будем исходить из уравнения Л~(~1)2 + Лг(~2)~ + Лз((з)2 + 2ащ~1 + 2а2о~~ + 2азо(з + аоо = О (11) и запомним, что уже выбран определенный ортормированный базис. На коэффициенты уравнения не накладывается никаких ограничений, за исключением того, что Л1, Л2 и Лз не обращаются в нуль одновременно. Дальнейшие упрощения определяются следующим вспомогательным предложением. Предложение 3. Если в уравнение (11) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты. Это доказывается так же, как и предложение 1 ~ 1 гл.

Ш. Нам будет удобно рассмотреть отдельно несколько случаев, соответствующих различным значениям инвариантов г, о., В и Х. 1. Пусть г = 3. Это равносильно тому, что ни одно из Л1, Л2 и Лз не равно нулю. Тогда в силу предложения 3 начало координат можно перенести в такую точку, что уравнение (11) примет вид Л,(~')' + Л,(~')' + Л,(~')' + р = О. (12) 1А. Условие В = 4 равносильно тому, что свободный член р в (12) не равен нулю.

Разделив на него, получим Л1 (~1)2 Л2 (~а)~ Ли ( .з)а (13) р р р 1Аа. Пусть Е = 4. Это означает., что Л1, Ла, Лз и р одного знака, коэффициенты в уравнении (13) отрицательны, и оно приводится к каноническому виду Ы')' , Ы')' , (4')' а~ Ь- 'с-' Это уравнение называется уравнением мнимого эллипсоида. Ему не удовлетворяет ни одна точка. 1Аб. Если Х = 2, а о = 3, то общий знак Л1, Лг, Лз противоположен знаку и.

Коэффициенты в (13) положительны, и уравнение приводится к каноническому виду к')' + (~')- '+ (с')-' Поверхность эллипсоид. 1Ав. При Х = О и ст = 1 знак одного из собственных значений (можно считать, при необходимости изменяя нумерацию базисных векторов, что это Лз) противоположен знаку двух других (Л1 и Л2) и совпадает со знаком р.

В уравнении (13) два положительных и один отрицательный коэффициент. Поверхность — однополостный гиперболоид с каноническим уравнением (~')-' , ©-' (~')' И с-' ~2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 255 Поверхность называется конусом второго порядка. 2. Пусть теперь г = 2. В уравнении (11) одно из собственных значений равно нулю. Не уменьшая общности, мы можем считать, что Лз — — О. Используя предложение 3, приведем (11) к виду Л1(~ ) + Л2(~ ) + 2азо4 + аоо — — О. (Начало координат переносится вдоль осей ~~ и ~~.) Выпишем детерминант матрицы большой квадратичной формы для уравнения (14): аоо О О азо о л, о о 0 0 Л2 0 азо 0 0 0 2 = — азоЛ1Л2.

(15) Условие В = 4 в силу равенства (15) равносильно азо ф О. 2А. Пусть В = 4. Сгруппируем члены в уравнении (14): л, (1'Г ~- л, (1')' ~- Я~„(1' ~- '" ) = о. 2а1о Отсюда видно, что переносом начала координат вдоль оси ~з. ~1 ~1 ~2 ~2 ~3 ~З + аОО 2азо ' уравнение можно преобразовать в Л1(~') +Л2(~ ) +2азо( =О. Далее есть две возможности в соответствии со значением о.. 1Аг. Пусть теперь Х = 2, г = 1. Знак одного из собственных значений (считаем, что Л1) противоположен знаку двух других и противоположен знаку р. Теперь в уравнении (13) два отрицательных и один положительный коэффициент. Оно приводится к виду Ы')2 ((2)2 (Ыз)' ае ~' 2 се и определяет двуполостный гиперболоид.

1Б. Пусть В = 3. При г = 3 это равносильно р = О. Уравнение (12) однородно, и всегда Х = о.. 1Ба. При о. = 3 все собственные значения имеют один знак, и уравнение (12) может быть записано в виде + + =0 Оно называется уравнением мнимого конуса. Поверхность состоит из одной точки. 1Бб. Если о.

= 1, то одно из собственных значений отличается знаком от двух других. Уравнение приводится к каноническому виду + — =0 ае ое с~ 256 Гл. Ъ'1П. Аффинные пространства 2Аа. а = 2. Тут Л1 и Л2 одного знака, и, в случае необходимости, заменяя базисный вектор ез на — ез, мы приведем уравнение к виду + (,) = 2~~. а2 02 Это каноническое уравнение эллиптического параболоида. 2Аб. ср = О. В этом случае Л1 и Л2 имеют разные знаки, и уравнение приводится к каноническому виду (Р)2 (Р)' 2~'3 (Тут также может потребоваться изменение направления ез.) Это уравнение определяет гиперболический параболоид. 2Б.

Пусть В = 3. Тогда азо — — О, и левая часть уравнения не содержит координаты ~3. В соответствии со сказанным в ~ 1 гл. П это означает, что уравнение определяет цилиндр, образующие которого параллельны базисному вектору ез, а направляющая определяется в плоскости векторов е1 и е2 уравнением (14) при газо — — О: Л1(4 ) + Л2(4 ) + с100 = О (16) Уравнение (16) на плоскости может определять одну из пяти центральных линий второго порядка. Им соответствуют пять цилиндров, которые это уравнение может определять в пространстве: эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, пара пересекающихся плоскостей (направляющая — пара пересекающихся прямых), пара мнимьп пересекающихся плоскостей (поверхность состоит из прямой линии, направляющая — точка, т. е. пара мнимых пересекающихся прямых) и, наконец, мнимый эллиптический цилиндр (пустое множество, направляющая — мнимый эллипс).

Канонические уравнения этих поверхностей приведены в табл. 2. 3. Рассмотрим случай г = 1. В уравнении (11) имеем Л2 — Лз — О, а Л1 ~ О. Переносом начала координат вдоль оси ~~ уравнение приводится к виду 1 2 2 3 Л1(~ ) + 2а20~ + 2азо(; + аоо = О. (17) ЗА. Допустим, что сто + аз~о ф О. Тогда мы можем сделать поворот базиса вокруг вектора е1. 2 3 2 3 ,1 ~1 ~,2 а О~ + ГАЗО( ~~3 — БОРЗО( + СР2О( р р гие и = тггеае р аае. Теперь О7) принимает еии Л1 (~' ) + 2о~' + аоо = О.

(18) Переносом начала координат вдоль оси ~' преобразуем (18) в уравнение Л1(~" )2 + 2о~" = О, которое приводится к каноническому виду (~и )2 2 ~и2 р2. Общая теория линий и поверхностей второго порядка 257 (При необходимости можно изменить направление е'.) Это уравнение параболического цилиндра. ЗБ. Если азо —— азо — — О, то УРавнснис (17) своДитсЯ к Л1Ы~) + аоо = О и приводится к одному из трех последних канонических видов.

На этом классификация поверхностей второго порядка заканчивается. Ее результаты приведены в табл. 2. Таблица 2 Название Мнимый эллипсоид Каноническое уравнение В Ы)- Ы)' (4) 9 9 сг „Ы')г Эллипсоид сг Однополостный гипербо- лоид Двуполостный гипербо- — 1 аа Ьг са (~')г (~')' (~')' лоид Мнимый конус (~')г (~')г (~')' + — 0 Конус Ь2 сг = 2~в Ьг = 2~~ Ь2 (~'-)е Ы')-' 2 + Эллиптический парабо- лоид Гиперболический парабо- лоид (~')г , Эллиптический цилиндр Ьа Ы')' Ыг)' + — — 1 аг Ьа Мнимый эллиптический цилиндр Ы')' Ю' аг Ъ-' (С) (4) — О аг Ь-' Гиперболический ци- линдр Пара пересекающихся плоскостей Ы')' Ыг)г + =О а-' Ьг Ы')' = юг Пара мнимых пересекаю- плоскостей Параболический цилиндр Пара параллельных плос- костей (~) =а Пара мнимых параллель- ных плоскостей Пара совпавших плоскос- плоскостей (~') = 0 17 Д.Б. Беклемишев Ы )г Ю-' ( )-+(-)- аг Ь2 Ы!)2 кг)2 Ы')г сг (Ез)г Гл.