Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры (10-е изд., 2005), страница 64

Выразите ее матрицу в заданном базисе е через координаты вектора а. Гл. »Х. Основы тензорной алгебры 2. Пусть ~,", ..., ~„'" — — линейно независимые векторы в п-мерном линейном пространстве. Докажите, что бивекторы 2(„'~» для всех Й ( 1 составляют базис в пространстве бивекторов пространства У. 3. Пусть х1, ...,.хр базис подпространства У С У. Назовем направляющим р-вектором подпространства»»» = х1 Л ... Л хр. Докажите, что: / а) вектор у лежит в У тогда и только тогда, когда у Л»о = О; б) любые два направляющих р-вектора подпространства У отличаются один от другого на числовой множитель; в) если пространство евклидово, этот множитель равен отношению объемов ориентированных параллелепипедов, построенных на соответствующих базисах.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ ОБШИЕ ЗАМЕЧАНИЯ В конце каждого параграфа приведены упражнения, относящиеся к материалу данного параграфа. Решая их, надо иметь в виду, что получение верного ответа необходимо, но не оно является основной целью. Эта цель— посмотреть на конкретные частные случаи общих фактов, поупражняться в применении методов, изложенных в соответствующем параграфе.

Поэтому не все предлагаемые способы решения одинаково полезны. Часто встречается тенденция решать задачи не теми методами, которые в данный момент изучаются, например, в начале изучения аналитической геометрии студент бывает склонен решать предложенные ему задачи методами элементарной геометрии. Это бессмысленно: элементарная геометрия уже изучена, сейчас нужно овладеть новым материалом. Иногда есть возможность догадаться, каков должен быть ответ, а затем проверить свою догадку.

Это, конечно, прекрасно, но мало чему учит. Сделав это, подумайте, как бы вы стали решать, если бы вам не удалось догадаться. Как правило, решение задач не требует длительных рассуждений или громоздких вычислений. Если найденный вами способ решения трудоемок, посмотрите, нельзя ли сделать задачу иначе. В некоторых упражнениях указания приведены для того, чтобы обратить внимание читателя на тот путь решения, который кажется автору предпочтительным. В любом случае перед тем, как окончательно остановиться на определенном способе решения, полезно сравнить его с другими возможными способами. После того как решение получено, подумайте, нельзя ли получить его проще. Ответы ко всем упражнениям приведены, но в жизни приходится решать задачи без готовых ответов, и потому полезно выработать в себе привычку делать проверку.

Там, где это возможно, следует подставить полученный ответ в условие задачи и убедиться, что он удовлетворяет условию. Это, однако, не гарантирует, что найдены все возможные решения задачи. Если полная проверка невозможна, то следует проделать частичную проверку: удовлетворяет ли полученное решение хотя бы части условий задачи и естественным требованиям, которым оно необходимо должно удовлетворять (скажем, является ли вычисленная длина положительной)? Сколько решений должна иметь задача из общих соображений? Совпадает ли размерность найденной величины с размерностью искомой? Верна ли найденная общая формула в простейших частных случаях? Важно обратить внимание на обоснованность ответа. Особенно это относится к задачам на доказательство, которые можно рассматривать как задачи с готовым ответом.

Не каждый текст, заканчивающийся словами "что Указания и ответы к упражнениям 286 и требовалось доказать",является доказательством. Здесь трудно дать общие рекомендации, однако, закончив доказательство, задайте себе два вопроса: положились бы вы на это рассуждение, если бы от его результата зависело что-то очень важное для вас, или потребовали бы дополнительных гарантий? Если бы кто-то привел вам это доказательство, то что бы вы возразили? Часто ошибка в рассуждении находится там, где написано "очевидно".

Вы в этом уверены, но на чем основывается эта уверенность? Очевидные вещи тем и хороши, что их легко доказать. Если нет полной ясности, то копайтесь, пока ее не будет. Приведенные ниже указания к задачам иногда имеют форму утверждения. На такое утверждение надо смотреть как на вспомогательный результат, который еще нужно проверить. УКАЗАНИЯ Глава 1 4. Если такая точка существует, то РА+ РВ+ РС = ЗРО для любой точки Р. 3. Разложите а по сторонам треугольника. Проекция линейной комбинации равна линейной комбинации (с теми же коэффициентами) проекций этих же векторов.

5. Заметьте, что ([а, Ь), ~а,с)) = (а, ~Ь, ~а, с))). Далее можно применить формулу двойного векторного произведения. Это преобразование бывает полезно и в других случаях Глава 11 5. Если два данных вектора не коллинеарны, то часто бывает удобно использовать базис, составленный из этих векторов и их векторного произведения. 2. Если умножить уравнение на его свободный член, то свободный член полученного уравнения будет положителен. Глава 111 2. Члены второй степени составляют квадрат двучлена Зх — 4и.

Мы не можем положить у' = Зх — 4у, х' = х, так как при этом мы перейдем к непрямоугольной системе координат. Но замена д' = ( — Зх+ 4д)/5, х' = (4х+ Зу)/5 переводит прямоугольную систему в прямоугольную. 5. Так как базисные векторы равны по длине, векторы е1 + е~ и е1 — е2 взаимно перпендикулярны. Удобно выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат направленными вдоль этих векторов. Указания и ответи и упражнениям 287 2.

Факт очевиден, если использовать результат упр. 3. Но попробуйте доказать это непосредственно. 5. Непосредственный подсчет не сложен, но можно ввести декартову прямоугольную систему координат, оси которой направлены вдоль радиусов, и сослаться на результат упр. 6 8 1. 6. Проведите касательную к параболе, параллельную данной прямой. 6. Посмотрите на упр.

4. 1. Следует различать два случая: когда пересечение есть прямая, и когда оно -- пара совпавших прямых. 5. Решение. Уравнением линии пересечения является система е 2 2 2 2 2 бх — Зд +4~ =О, — х +д — ~ =1. Если мы исключим ~ (т. е. найдем его из второго уравнения и подставим 2 2 в первое), то получим уравнение х + д = 4. Это уравнение — - следствие системы, и потому определяет множество, содержащее линию пересечения.

Так как в уравнение не входит ~, зто множество — цилиндр с образующими, параллельными ез. Пересекая цилиндр плоскостью ~ = О, мы получаем окружность с уравнением г = О, х + д = 4, на которой лежит проекция. Однако проекция не совпадает с окружностью. Исключая ~, мы должны бые е ли запомнить условие = — 1 — х + д ) О. Итак, проекция — две дуги окружности: х + д~ = 4, д — х~ ) 1 на плоскости г = О. 6. Гипербола не умещается в полуплоскости.

Глава 1У 8. Посмотрите, во что переходят начало координат и базисные векторы. 9. Множество образов всех точек при линейном неаффинном преобразовании прямая линия или точка. 11. Гамотетия с центром в точке пересечения медиан. 1. Преобразуйте плоскость так, чтобы две из прямых перешли в оси координат. 3. Искомые направления совпадают с теми, о которых идет речь в предложении 7. 4. Обратите внимание на то, что прямая, имеющая единственную общую точку с параболой или гиперболой, не обязательно является касательной.

Глава У 3. б) Нозффициенты разложения те же, что и в упрощенной матрице. 4. Что означает теорема о базисном миноре при Кп А = 1? Указания и ответы к упражнениям 288 5. Элементарными преобразованиями строк обратите в нулевые все строки, кроме отмеченных. 6.

Оцените ранги матриц ))А)В(), ()А)А+ В)). 5. Индукция. Разложите детерминант по столбцу, не пересекающему подматрицу. 6. При произвольном п индукция по й. Разложите по первому столбцу. 8. Используйте результат задачи 7, а). 9. Пусть общий корень 1. Умножим первый столбец на г~, второй на г~, третий --- на 1 и все прибавим к четвертому столбцу.

~6 4. Используйте упр. 3, б) из 83 и способ построения матрицы (8) из 86. Глава У? 2. Вектор с координатами ~', (~, ~", ~~ принадлежит У тогда и только тогда, когда совместна система уравнений с неизвестными а и,З: 4. Для нахождения линейных зависимостей между векторами можно привести матрицу из их координатных столбцов к упрощенному виду с помощью элементарных преобразований строк. Находим, что а1, а и Ь1 1 1 линейно независимы, а Ье = — а1 — — а2+ ЗЬ1. Поэтому ~ = а1 — аз = 4(Ь.— 4 — ЗЬ1) принадлежит в П У .

3. В инвариантном подпространстве нечетной размерности найдется собственный вектор. 8. Т = Е. Отсюда следует, что Л = 1. 9. А 'АВА = ВА. 1О. Воспользуйтесь теоремой 4. ~6 6. Если  — матрица билинейной функции, то Вс = О система уравнений ее нуль-пространства (см. упр. 5). Пересечение нуль-пространств всех форм задается системой Рс„= О. Поместим в этом пересечении последние п — Й базисных векторов. 7. Если А Ас = О, то с~А Ас = (Ас) (Ас) = О, и потому Ас = О. 8.

Найдется верхняя треугольная матрица Я такая, что Я~ВЯ = Е (см. доказательство критерия Сильвестра). 9. Пусть 1с(т1) ) О, а 1с(хз) ( О. Рассмотрим многочлен М(1т1+ т ) от переменной 1. Указания и ответы и дггражненияи 289 Г л а в а Ъ'11 4. б) Если вы нашли такую матрицу, то постарайтесь с ее помощью построить матрицу такого типа вдвое большего порядка. Что это за матрицы для и = 1 и и = 2? б..гг. = Я~А.

6. Чтобы найти инвариантные подпространства, представьте характеристический многочлен Л" + 1 как (Л + ~/2Л + 1) (Л вЂ” ~/2Л + 1) и воспользуйтесь предложением 8 94 гл. Ъ'1. Второе подпространство ортогональное дополнение первого. 7. См. задачу 9. 3. Преобразование унитарного пространства, имеющее такую матрицу в ортопормироваппом базисе, является унитарным.