Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 6

Векторы и линейные операции с нимиЗадача1.7.1.В некоторой общей декартовой системе координат→→→{O , g 1 , g 2 , g 3 } заданы координаты радиусов-векторовточекM и N , которые являются началом и концом век→тора→MN . Требуется найти координаты вектора MN .Решение.Решение очевидно из рис. 1.7.1 и свойствкоординат векторов.ξ1→ПустьOM = ξ 2 и ON = η 2 .ξ3η3→Тогда→η1→→→→OM + MN = ONимееми→MN = ON − OM .

Окончательно→MN = η 2 − ξ 2 .η3 − ξ 3Рис. 1.7.1Задача1.7.2.η1 − ξ1В некоторой общей декартовой системе координат→→→{O, g1 , g 2 , g 3 } заданы координаты несовпадающих точек→M 1 и M 2 , для которых соответственноξ1OM 1 = ξ 2ξ3и→M, такую, чтоη1→OM 2 = η 2 . Требуется найти точкуη3→M 1 M = λ MM 2 .46Решение.Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗаметим, что λ может принимать любое значение, кроме − 1 , при котором точка M уходит в бесконечность(рис. 1.7.2). Найдем радиус-вектор точки M . Из соотношений в треугольниках OM 1 M и OMM 2 получаем→→→→→→OM1 + M 1 M = OM ; OM + MM 2 = OM 2 ,→но так как→→M 1 M = λ MM 2 , то→→→OM − OM 1 = λ(OM 2 − OM )и окончательно→OM =→→1λOM 1 +OM 2 .1+ λ1+ λОткуда радиус-вектор точки M=Рис.

1.7.2равенξ1 + λη11+ λ→ξ 2 + λη 2OM =.1+ λξ 3 + λη31+ λЗамечание: к задаче 1.7.2 сводится задача отыскания центра масссистемы материальных точек.Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними§ 1.8.47Изменение координат при замене базисаи начала координатПоскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами, вопрос об изменении координат при переходе отодного базиса к другому и замене начала координат представляет значительный практический интерес. Найдем правила, выражающие зависимость координат произвольной точки пространства, заданных водной системе координат, от координат этой же точки в другой ДСК.Пусть даны две декартовы системы координат: “старая”→→→→→→{O, g 1 , g 2 , g 3 } и “новая” {O ′, g 1′ , g 2′ , g 3′ } (рис. 1.8.1). Выразим→векторы “нового” базиса, а также вектор OO ′ через векторы “старого” базиса.

В силу теоремы 1.5.1 это можно сделать всегда и притомединственным образом:→→→→→→→→→→→→g1′ = σ11 g1 + σ 21 g 2 + σ 31 g 3 ,g ′2 = σ12 g1 + σ 22 g 2 + σ 32 g 3 ,(1.8.1)g 3′ = σ13 g1 + σ 23 g 2 + σ 33 g 3 ,→→→→OO ′ = β1 g1 + β 2 g 2 + β 3 g 3 .Тогда справедливаТеорема1.8.1.Координаты произвольной точки в “старой” системекоординат связаны с ее координатами в “новой” соотношениямиξ1 = σ11ξ1′ + σ12 ξ′2 + σ13 ξ′3 + β1 ,ξ 2 = σ 21ξ1′ + σ 22 ξ′2 + σ 23 ξ′3 + β 2 ,ξ 3 = σ 31ξ1′ + σ 32 ξ′2 + σ 33 ξ′3 + β 3 .(1.8.2)48Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.Пусть→некоторая→Mточкав“старой”системеξ1→{O, g 1 , g 2 , g 3 } имеет координаты ξ 2 , а в “новой” системеξ3ξ1′{O ′, g 1′ , g 2′ , g 3′ } – ξ′2 .ξ′3→→→Получим связь между “старыми” и “новыми” координатамиточки M .

Имеют место соотношения→→→→OM = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 и→→→→O ′M = ξ1′ g 1′ + ξ′2 g 2′ + ξ′3 g 3′ =→→→= ξ1′ (σ11 g1 + σ 21 g 2 + σ 31 g 3 ) +→→→→→→+ ξ′2 (σ12 g1 + σ 22 g 2 + σ 32 g 3 ) ++ ξ′3 (σ13 g 1 + σ 23 g 2 + σ 33 g 3 ) .Подставив→выражения→длявекторов→OM , O ′M и OO′ в равенство→→→OM = O ′M + OO ′Рис. 1.8.1и перегруппировав слагаемые, получимсоотношение вида49Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними→→→→λ1 g1 + λ 2 g 2 + λ 3 g 3 = o ,гдеλ 1 = −ξ1 + σ11ξ1′ + σ12 ξ′2 + σ13 ξ′3 + β1 ,λ 2 = −ξ 2 + σ 21ξ1′ + σ 22 ξ′2 + σ 23 ξ′3 + β 2 ,λ 3 = −ξ 3 + σ 31ξ1′ + σ 32 ξ′2 + σ 33 ξ′3 + β 3 .→Поскольку векторы→→{g1 , g 2 , g 3 } линейно независимые, то их ли→o , обязана быть тривиальной, и потоλ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 или окончательнонейная комбинация, равнаямуξ1 = σ11ξ1′ + σ12 ξ′2 + σ13 ξ′3 + β1 ,ξ 2 = σ 21ξ1′ + σ 22 ξ′2 + σ 23 ξ′3 + β 2 ,ξ 3 = σ 31ξ1′ + σ 32 ξ′2 + σ 33 ξ′3 + β 3 .Теорема доказана.Определение1.8.1.Формулы (1.8.2) называются формулами перехода→от системы координат→координат→→→{O, g 1 , g 2 , g 3 } к системе→{O ′, g 1′ , g 2′ , g 3′ } .При использовании формул перехода следует обратить вниманиена то, что «штрихованные» переменные в (1.8.1) и (1.8.2) находятся вразных частях этих равенств.Заметим также, что коэффициенты уравнений в формулах (1.8.2),выражающих “старые” координаты через “новые”, образуют матрицуS , столбцы которой есть координаты “новых” базисных векторов50Аналитическая геометрия и линейная алгебраβ1в “старом” базисе, а столбецβ 2 содержит координаты “нового”β3начала координат в “старом” базисе.Определениеσ11σ12σ13S = σ 21σ 31σ 22σ 32σ 23 называется матσ 33рицей перехода от базиса{g1 , g 2 , g 3 } к базисуМатрица1.8.2.→→→→→→{g1′ , g 2′ , g 3′ } .Теорема1.8.2.Для матрицы переходаσ11σ12σ13det σ 21σ 31σ 22σ 32σ 23 ≠ 0.σ 33Доказательство.Столбцы матрицыσ11σ12σ13σ 21σ 31σ 22σ 32σ 23σ 33образованы коэф-фициентами разложения линейно независимых векторов ба→зиса→→→→→{g1′ , g 2′ , g 3′ } по векторам базиса {g1 , g 2 , g 3 } .

Тогдаиз теоремы 1.6.3 следует доказываемое утверждение.Теорема доказана.51Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с нимиНа параллелограмме построены две системы координат:Задача1.8.1.→→→→“старая” {O, g 1 , g 2 } и “новая” {O ′, g 1′ , g 2′ } (рис. 1.8.2).Найти формулы перехода, выражающие “новые” координаты через “старые”, если→→→1 →g1′ = O ′O и g ′2 = − g1 .2Решение.Из свойств параллелограмма находим соотношения, выражающие векторы “старого” базиса через “новые”:→→− 2 g 2′ ,g1 =→→→g 2 = − g 1′ + 2 g ′2 .Тогда матрица переходаS =Рис. 1.8.2β110 −1,а=.β20−2 2Следовательно, выражения “новых” координат через “старые” имеютвид− ξ 2 + 1, ξ1′ = ξ′2 = −2ξ1 + 2ξ 2 .Формулы перехода между ортонормированнымисистемами координат на плоскостиРассмотрим→→две→ортонормированные→системыкоординат{O, e1 , e2 } и {O ′, e1′ , e′2 } . Получим формулы перехода для случая,показанного на рис.

1.8.3.52Аналитическая геометрия и линейная алгебраИз геометрически очевидных соотношений→→→→→→e1′ = e1 cos ϕ + e2 sin ϕ и e2′ = − e1 sin ϕ + e2 cos ϕполучаем матрицу перехода:S =→β1cos ϕ − sin ϕ, и если OO ′ =,β2sin ϕ cos ϕто “старые” координаты будут связаны с “новыми” как ξ1 = ξ1′ cos ϕ − ξ′2 sin ϕ + β1 ,ξ 2 = ξ1′ sin ϕ + ξ′2 cos ϕ + β 2 .Рис. 1.8.3В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса “ста→рой” системы на векторOO′ и поворота на угол ϕ вокруг точки O ′.Однако добиться такого совмещения,используя только параллельный перенос и поворот, вообще говоря, нельзя.Соответствующий случай показан нарис.

1.8.4.→Здесь, после совмещения векторовe1→иe1′ , еще потребуется отражение век→Рис. 1.8.4тораe2 симметрично относительноГ л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними53прямой, проходящей через совмещенные векторы. Формулы переходабудут в этом случае иметь видξ1 = ξ1′ cos ϕ + ξ′2 sin ϕ + β1 ,ξ 2 = ξ1′ sin ϕ − ξ′2 cos ϕ + β 2 .Формально случаи, показанные на рис. 1.8.3 и рис. 1.8.4, можноразличать, используя→Определение1.8.3.Упорядоченная пара неколлинеарных векторовa и→b на плоскости с совмещенными началами называется правоориентированной, если кратчайший по→→ворот от вектора a к вектору b при совмещенииих начал виден выполняющимся против часовойстрелки.В противном случае эта пара векторов называетсялевоориентированной.Отметим, что для матрицы переходанормированных базиса,S , связывающей два орто-det S = ±1 , причем det S = 1 , еслиориентация обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть еслиотражения не требуется), иразличной ориентации.det S = −1 для случая базисных пар54Аналитическая геометрия и линейная алгебраГлава 2ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ§ 2.1.

Ортогональное проектированиеОпределение2.1.1.Прямую l с расположеннымна ней ненулевым вектором→b будем называть осью.→Вектор b называется направляющим вектором оси l.Определение2.1.2.Рис. 2.1.1Пусть дана точка M , нележащая на оси l, тогда основаниеперпендикуляра,опущенного из M на ось l∗– точку M , будем называть ортогональной проекцией точки M на ось.Примером оси может служить ось координат – прямая, проходящая через начало координат, направляющим вектором которой служит один из базисных векторов.→Определение2.1.3.Ортогональной проекцией вектораa на ось l назы-Λ →вается векторPrl a , лежащий на оси l, начало кото-рого есть ортогональная проекция начала вектора55Г л а в а 2 .

Произведения векторов→a на ось l, а конец – ортогональная проекция конца→вектораa.→Выполним нормировку направляющего вектора→ним его на векторb , то есть заме-→be=→→и рассмотрим нормированный базис{e}|b|на оси l (рис. 2.1.1).Численным значением ортогональной проекции век-Определение2.1.4.→тораΛ →a на ось l называется координата вектора→Prl a в базисе { e} 4.→→Углом между ненулевыми векторами a и b называется величина наименьшего из двух углов, образуемых этими векторами при совмещении их начал.Определение2.1.5.→Численное значение ортогональной проекции вектораa на ось l→обозначим как→Пр a .

Из рис. 2.1.2 очевидно, чтоl→→→Пр l a = a cos ϕ , где ϕ есть угол между a и e .Рис. 2.1.24Верхний символ « Λ » будет использоваться для обозначения различногорода операций, например: проектирования, поворота, отражения, дифференцирования и т.д.56Аналитическая геометрия и линейная алгебраСвойства ортогональных проекций1.1°. Проекция суммы двух векторов равна сумме проекций этихвекторов:Λ→→Λ→Λ→Prl (a1 + a 2 ) = Prl a1 + Prl a 2 .Данное свойство иллюстрирует рис. 2.1.3.Рис. 2.1.31.2°.

Если вектор умножить на вещественное число, то его проекция также умножится на это число:Λ→Λ →Prl (λ a ) = λ Prl a .Заметим, что свойства 1.1° и 1.2° можно объединить в следующееутверждение:Проекция линейной комбинации векторов равна той же линейной комбинации проекций:Λ→→Λ→Λ→Prl (λ 1 a1 + λ 2 a 2 ) = λ 1 Prl a1 + λ 2 Prl a 2 .Справедливость свойств 1.1° и 1.2° вытекает из определения операции ортогонального проектирования и правил действия с векторами.57Г л а в а 2 . Произведения векторовСвойства численных значенийортогональных проекций→→→→2.1°.Пр l (a1 + a 2 ) = Пр l a1 + Пр l a 2 ;2.2°.Пр l λ a = λ Пр l a .→→Или, объединяя 2.1° и 2.2°,→→→→Пр l (λ 1 a1 + λ 2 a 2 ) = λ 1 Пр l a1 + λ 2 Пр l a 2 .Отметим, что эти равенства следуют из свойств ортогональныхпроекций и свойств координат векторов.§ 2.2.