Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 9

Ненулевой вектор aобразует базис на прямой L , поэтому лежащий на этой прямой→вектор→→r − r0 (рис. 3.1.1) может быть для каждого r пред→ставлен единственным образом в виде→→→r = r0 + τ a→→r − r0 = τ a . Тогда∀τ ∈ (−∞, + ∞).Теорема доказана.Рис. 3.1.1Найдем теперь координатное представление множества радиусов→векторов всех точек прямой=L . Пусть rg→=agxy→,ax, тогда справедливы следующие теоремы.ay=r0gx0иy081Г л а в а 3 . Прямая и плоскостьТеорема3.1.2.Всякая прямая в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением видаAx + By + C = 0 ,A + B > 0.Доказательство.→Условие коллинеарности ненулевых векторов→→r − r0 и a в ко-ординатной форме имеет видdetОткудаx − x0axy − y0=0.aya y ( x − x 0 ) − a x ( y − y 0 ) = 0 , или жеAx + By + C = 0 , A + B > 0 ,гдеA = a y ; B = − a x , C = − a y x 0 − a x y 0 , и мы получили,что уравнение прямой есть алгебраическое уравнение первойстепени.

Заметим, что справедливость неравенстваA + B >0→следует из условия→a ≠ o.Теорема доказана.Теорема3.1.3.Всякое уравнение видаAx + By + C = 0, A + B > 0 ,в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой прямой.Доказательство.Пусть дано уравнение первой степениAx + By + C = 0 , A + B > 0 .Подберем числа x0 и y 0 так, чтобы Ax0 + By 0 + C = 0 .82Аналитическая геометрия и линейная алгебраВычитая почленно два эти равенства, получимA( x − x0 ) + B( y − y 0 ) = 0 .→Возьмем точку=r0g→x0и вектор ay0=−BgA.

По тео→реме 3.1.2 имеем, что прямая, проходящая через точкуr0 в на-→a , имеет уравнение видаA( x − x0 ) + B( y − y 0 ) = 0 .правлении вектораСледовательно, исходное уравнение есть уравнение прямой.Теорема доказана.Замечание: из теорем 3.1.1–3.1.3 следует, что каждое линейноеуравнение в декартовой системе координат на плоскостизадает некоторую конкретную прямую, но, с другой стороны, конкретная прямая на плоскости может быть задана бесчисленным множеством линейных уравнений и естественно возникает вопрос: при каких условиях дваразных линейных уравнения задают одну и ту же прямую?Теорема3.1.4.Для того чтобы уравненияA1 x + B1 y + C1 = 0,A1 + B1 > 0 иA2 x + B2 y + C 2 = 0,A2 + B2 > 0были уравнениями одной и той же прямой, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ ≠ 0 ,такое, чтоA1 = λ A2 ; B1 = λ B2 ; C1 = λC 2 .83Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьДоказательство достаточности.Пусть коэффициенты уравнений пропорциональны и имеетместо равенство A2 x + B2 y + C2 = 0 . Тогда111A1 x + B1 y + C1 =λλλ1= ( A1 x + B1 y +C1 ) = 0 ,λно поскольку λ ≠ 0 , то A1 x + B1 y + C1 = 0 .A2 x + B2 y +C 2 =Аналогично из равенстваA1 x + B1 y + C1 = 0 следует, что иA2 x + B2 y + C 2 = 0 .Доказательство необходимости.Пусть уравненияA1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C 2 = 0суть уравнения одной и той же прямой в некоторой декартовой системе координат. Тогда их направляющие векторы коллинеарны и существует (по теореме 3.1.2) λ ≠ 0 , такое, чтоA1 = λ A2 ; B1 = λ B2 .С другой стороны, из равносильности уравненийλA2 x + λB2 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0следует, также, что и C1 = λC 2 .Теорема доказана.Замечание:уравнение прямой не в любой системе координат является алгебраическим уравнением первой степени.

Например, в полярной системе координат (см. § 4.6) ономожет иметь видρ = P sec(ϕ + ϕ 0 ) .84Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 3.2. Способы задания прямой на плоскости→→В произвольной декартовой системе координат {O, g1 , g 2 } существуют различные формы задания прямой на плоскости. Рассмотрим основные из них.1°. УравнениеПоскольку направляющий вектор данной прямойпрямой,проходящей черездве несовпадающиеточки→r1 =→→y 2 − y1, то ее уравнение в вектор→→→→→r = r1 + τ( r2 − r1 ) или→→r = (1 − τ) r1 + τ r2 .y1Соответственно в координатах, исключив параметр τ , получим одну из следующих формул:и→x 2 − x1ной форме будет иметь видx1r2 =→a = r2 − r1 =x2x − x1y − y1=; ( x 2 − x1 )( y 2 − y1 ) ≠ 0;x 2 − x1 y 2 − y1y2y = y1 ∀x, если y 2 = y1 ;x = x1 ∀y, если x 2 = x1 .Заметим, что эти три случая могут быть описаныусловиемxdet x1x2yy1y211 = 0.1→Следствие3.2.1.Для того чтобы три точки r1→r3 =x3y3=x1y1→, r2=x2y2лежали на одной прямой, необходимо ии85Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьдостаточно, чтобы их координаты удовлетворяли уравнениюx1det x 2x3y11y2 1 = 0 .y3 12°. Векторноеуравнениепрямой(уравнениепрямой, проходящей черезданнуюточку→r0 =x0y0,перпендикулярно заданному ненулевому векторуРис. 3.2.1→nxn=)nyВозьмем в качестве направляющего вектора данной→→r =→→a = r − r0 =прямойx − x0,y − y0гдевекторxyесть радиус-вектор некоторой точки напрямой (рис. 3.2.1). Тогда из условия ортогональ→ности векторов→→n и r − r0 получим→ →→( n , r − r0 ) = 0 ,→ →или же→ →( n , r ) = d , где d = ( n , r0 ) .86Аналитическая геометрия и линейная алгебраПри обратном переходе от записи уравнения пря→ →→ →→( n , r ) = d к ( n , r − r0 ) = 0 в качест→→d →ве r0 можно взять, например, r0 = → → n .( n, n )мой в видеВортонормированнойсистемекоординат→ →{O, e1 , e2 } векторное уравнение прямой приобретает видn x ( x − x0 ) + n y ( y − y 0 ) = 0,или жеn x x + n y y = d , где d = n x x0 + n y y 0 .Сравнивая последнюю запись с общим видом уравнения прямой Ax + By + C = 0 , приходим к заключению, что в ортонормированной системе ко→→ординат вектор=n , для которого ngAB, бу-дет ортогонален этой прямой.→n называется нормальным вектором пря-Определение3.2.1.Вектормой L .3°.

Нормаль-Рассмотрим скалярное уравнение прямой в орто-ное уравнение прямой→ →нормированной системе координат{O, e1 , e2 }Ax + By + C = 0, A + B > 0ипреобразуемего,разделивобеA2 + B 2 . Подставляя обозначениячастина87Г л а в а 3 . Прямая и плоскостьcos ϕ =AA +B22; sin ϕ =BA +B22;ρ=CA + B22,получим так называемую нормальную форму записи уравненияx cos ϕ + y sin ϕ + ρ = 0 .Геометрический смысл параметров ρ и ϕ ясен из рис. 3.2.2.Рис. 3.2.2Замечание о линейных неравенствахАналогично тому, как линейное уравнение задает на плоскостипрямую, линейное неравенствоAx + By + C > 0 , A + B > 0определяет часть плоскости (множество точек, координаты которыхx и y удовлетворяют данному неравенству), ограниченную прямойAx + By + C = 0 ,A + B > 0.Покажем справедливость данного утверждения для случая, когда пря→ →L : ( n , r ) = d делит плоскость P на две части, обозначаемыеP+ и P− (см. рис.

3.2.3).мая88Аналитическая геометрия и линейная алгебраРис. 3.2.3\Определение3.2.2.Будем говорить, что точкаM с радиусом-вектором→R принадлежит P+ (или соответственно P− ), еслисуществует λ > 0 (соответственно λ < 0 ), такое,→∗→M M = λ n , где точка M ∗ есть ортогональная проекция M на прямую L .чтоТогда справедливаТеорема3.2.1.Для того чтобыM ∈ P+ , необходимо и достаточно→ →выполнения неравенства( n , R) > d .89Г л а в а 3 . Прямая и плоскостьДоказательство необходимости.M ∈ P+ , то есть существует λ > 0 такое, чтоПусть→∗→→ →M M = λ n .

Оценим величину ( n , R) . Поскольку M ∗ ∈ L ,→→то( n , OM ∗ ) = d , и тогда→ →→→→→→→→( n , R) = ( n , OM ∗ + M ∗ M ) = ( n , OM ∗ ) + ( n , M ∗ M ) =→ →= d + λ( n , n ) > dв силу положительностиλ.Доказательство достаточности.→→ →→ →→→→→M ∗ M = λ n , тогда из ( n , OM ∗ ) = dПусть ( n , R ) > d иполучаем→→∗∗( n , R) = ( n , OM + M M ) =→→→→→ →= ( n , OM ∗ ) + ( n , M ∗ M ) = d + λ ( n , n ) > d .→А в силу→n ≠ o следует, что λ > 0 и, значит, M ∈ P+ .Теорема доказана.→Задача3.2.1.Дана система координат→ →прямая→{O, g1 , g 2 } на плоскости и→L с уравнением ( n , r − r0 ) = 0 . Найти рас-стояние до этой прямой от точки, радиус-вектор которой→r1 =x1y1.90Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Решение1°.Пусть→→→→MK = λ n , тогда r = r1 +λ n (рис.

3.2.4).2°.Точка K принадлежит данной прямой, поэтому имеетместосоотношение→ →→→( n , r1 + λ n − r0 ) = 0 . Откуда→ →λ=−→( n ,r1 − r0 )→2.|n|3°. Подставив λ в выражение→дляMK , получим→Рис. 3.2.4→→| MK | = | (r1 − r0 ,→n→) |.|n |4°. Пусть система координат ортонормированная. Для уравненияAx + By + C = 0, A + B > 0 , как было показано, вектор→n=ABперпендикулярен прямой. Поэтому→| MK |=A( x1 − x0 ) + B( y1 − y0 )A2 + B 2.→Принимая во внимание, что точкадовательно,r0 лежит на прямой L и, сле-Ax0 + By 0 + C = 0 , можно записать окончательныйответ в виде→| MK | =Ax1 + By1 + CA2 + B 2.91Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьОпределение3.2.3.Теорема3.2.2.Пучком прямых на плоскости называется совокупность всех прямых, проходящих через некоторуюзаданную точку, именуемую вершиной пучка.Пусть точка, общая для всех прямых пучка, являетсяточкой пересечения непараллельных прямыхA1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C 2 = 0 .Тогда1) для любой прямой пучка найдется пара не равных нулю одновременно чисел α и β , таких, чтоα( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0есть уравнение данной прямой,2) при любых, не равных нулю одновременноβ , уравнениеα иα( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 естьуравнение некоторой прямой данного пучка.Доказательство.→1°. Возьмем некоторую точкуr∗ =x∗, не совпадающую сy∗вершиной пучка, и примем в качестве параметровα = A2 x ∗ + B2 y ∗ + C 2 , и β = −( A1 x ∗ + B1 y ∗ + C1 ) .Заметим при этом, что→∗α + β > 0 , поскольку точка rне принадлежит данным прямым одновременно. Кроме того, прямая( A2 x ∗ + B2 y ∗ + C 2 )( A1 x + B1 y + C1 ) −− ( A1 x ∗ + B1 y ∗ + C1 )( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0→∗проходит как через точку r , так и через вершину пучка и,следовательно, принадлежит пучку.92Аналитическая геометрия и линейная алгебра2°.

Пусть A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0 – парапересекающихся прямых из рассматриваемого пучка, тогдаочевидно, чтоα( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 .При этом уравнение(αA1 + βA2 ) x + (αB1 + β B2 ) y + (αC1 + β C 2 ) = 0является уравнением прямой, поскольку изA1 + B1 > 0 ,следует, чтоA2 + B2 > 0 и α + β > 0αA1 + β A2 + α B1 + βB2 > 0 .Действительно, допустим противное: A1α + A2 β = 0,(3.2.1) B1α + B2 β = 0.Прямые A1x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C 2 = 0 по построению имеют, по крайней мер, одну общую точку. Поэтомуони либо совпадают, либо пересекаются. По теореме 3.1.4 онисовпадают тогда и только тогда, когда существует λ ≠ 0 , длякоторогоA1 = λA2 и B1 = λB2 .

А последние два равенствапо теореме 1.6.2 равносильны условиюdetA1B1A2= 0.B2В рассматриваемом случае прямые пересекаются, поэтомуdetA1B1A2≠0B2и в силу теоремы 1.1.2 система линейных уравнений 3.2.1 может иметь лишь единственное решение.

С другой стороны,очевидно, что эта система имеет тривиальное решениеα = β = 0 , что в совокупности противоречит неравенствуα + β > 0.93Г л а в а 3 . Прямая и плоскостьСледовательно,αA1 + β A2 + α B1 + β B2 > 0.Теорема доказана.Определение3.2.4.Уравнениеα( A1 x + B1 y + C1 ) + β( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0с неравными одновременно нулю параметрами α иβ называется уравнением пучка прямых на плоскости.§ 3.3. Плоскость в пространстве→→→{O, g1 , g 2 , g 3 } в пространстве иПусть даны система координат→плоскость S , проходящая через точку с радиусом-вектором r0 и ле→жащими на S неколлинеарными векторами→→p и q называются направляющими векторами плоскости S .Определение3.3.1.Теорема3.3.1.→p и q.ВекторыМножество радиусов-векторов точек плоскости S→представимо в виде r→→→= r0 + ϕ p + θ q , где ϕ и θ –произвольные вещественные параметры.Доказательство.→→→r – некоторая точка плоскости S . Векторы p , q образуют базис на S , и лежащий на этой плоскости (рис.