Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 7

Скалярное произведение векторови его свойства→Определение2.2.1.Скалярным произведением ненулевых векторовa и→b называется число, равное произведению длин этихвекторов на косинус угла между ними.В случае, когда хотя бы один из сомножителей естьнулевой вектор, скалярное произведение считаетсяравным нулю.→Скалярное произведение векторов→a и b обозначается как→ →→→( a , b ) . Таким образом, для ненулевых векторов a и b :→ →→→( a , b ) = | a || b | cos ϕ ,ϕ – угол между векторами-сомножителями.

При этом согласноопределению 2.1.5, 0 ≤ ϕ ≤ π .где→Заметим также, что если→b ≠ o , то справедливо равенство→ →→→( a , b ) = b Пр → a .b58Аналитическая геометрия и линейная алгебраСвойства скалярного произведения→→ →1°.→→→( a , b ) = 0 при a ≠ o и b ≠ o тогда и только тогда, когда→→a и b взаимно ортогональны.→ →2°.→ →( a , b ) = ( b , a ) следует из определения скалярного произведения и свойств косинуса (коммутативность).→3°.→ →→ →→ →(a1 + a 2 , b ) = (a1 , b ) + (a 2 , b ) (дистрибутивность).Доказательство.→Если→→→b = o , то 3° очевидно. Пусть b ≠ o , тогда→→→ →→→(a1 + a 2 , b ) = b Пр → (a1 + a 2 ) =b→→→→→ →→ →= b Пр → a1 + b Пр → a 2 = (a1 , b ) + (a 2 , b ).bbСвойство доказано.→ →→ →4°.(λ a , b ) = λ ( a , b ) .5°.(a, a ) = | a |2 ≥ 0 ∀ a ; | a | = ( a, a )→ →→→→→ →→ →(заметим также, что условияны).→6°.При→→→→a ≠ o и b ≠ o cos ϕ =→ →(a, b )→→| a || b |→векторами→a и b.→( a , a ) = 0 и a = o равносиль-, гдеϕ – угол меду59Г л а в а 2 .

Произведения векторов§ 2.3. Выражение скалярного произведенияв координатах→Пусть задан базис→→→→{g1 , g 2 , g 3 } и два вектора a и b , координат-ные разложения которых в этом базисе имеют вид→→→→→→→→a = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 и b = η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3 .По свойствам 3° и 4° скалярного произведения→→→→→→→→(a, b ) = ( ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 , η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3 ) =→→→→→→= ξ1η1 ( g1 , g 1 ) + ξ1η 2 ( g1 , g 2 ) + ξ1η3 ( g1 , g 3 ) +→→→→→→→→→→+ ξ 2 η1 ( g 2 , g 1 ) + ξ 2 η 2 ( g 2 , g 2 ) + ξ 2 η 3 ( g 2 , g 3 ) +→→+ ξ 3 η1 ( g 3 , g1 ) + ξ 3 η 2 ( g 3 , g 2 ) + ξ 3 η3 ( g 3 , g 3 ) =→3→→→→→= ∑ ( ξ j η1 ( g j , g1 ) + ξ j η 2 ( g j , g 2 ) + ξ j η3 ( g j , g 3 ) ) =j =13→3→=∑∑ ξ j ηi ( g j , g i ).j =1 i =1→В случае ортонормированного базиса→→{e1 , e2 , e3 } эта формула упро-щается, поскольку для попарных скалярных произведений базисныхвекторов справедливо равенство→ → 1, i = j ,(ei , e j ) = δ ij =  0, i ≠ j ,гдеδ ij – так называемый символ Кронекера.

Откуда для скалярногопроизведения векторов в ортонормированном базисе получаем формулу→→(a, b ) = ξ 1η 1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3 ,60Аналитическая геометрия и линейная алгебраиз которой следуют полезные соотношения:→a = ξ12 + ξ 22 + ξ 32→и для→→→a≠o и b≠ocos ϕ =ξ 1η 1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3ξ12 + ξ 22 + ξ 32 η12 + η 22 + η32.Отметим, что последнее равенство в сочетании с условиемcos ϕ ≤ 1 приводит к неравенству Коши–Буняковского:∀ξ i ; ηi , i = [1, 3]ξ 1η 1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3 ≤ ξ12 + ξ 22 + ξ 32η12 + η 22 + η32 .Задача2.3.1.Найти расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат, если известны радиусывекторы этих точек.Решение.Пусть задана ортонормированная система координат→→→→ξ1{O, e1 , e2 , e3 } и радиусы-векторы точек OM 2 = ξ 2ξ3→иη1OM 1 = η 2 в ней. Тогда, используя решение задачиη31.7.1, из равенства→→→→M 1 M 2 = (ξ1 − η1 ) e1 + (ξ 2 − η 2 ) e2 + (ξ 3 − η3 ) e3и свойств скалярного произведения получаем→| M 1 M 2 | = (ξ1 − η1 ) 2 + (ξ 2 − η 2 ) 2 + (ξ 3 − η3 ) 2 .61Г л а в а 2 .

Произведения векторов§ 2.4. Векторное произведение векторови его свойстваОпределение2.4.1.Упорядоченная тройка некомпланарных векторов→ → →{a , b , c } называется правой, если (после совмеще→ния их начал) кратчайший поворот от вектора→→a квектору b виден из конца вектора c совершающимся против часовой стрелки. В противном случаеупорядоченная тройка некомпланарных векторов→ → →{a , b , c } называется левой.Определение2.4.2.Векторным произведением неколлинеарных векторов→→→a и b называется вектор c , такой, что→1)→→| c | = | a | | b | sin ϕ , где ϕ – угол меж→ду векторами→a и b;→2)вектор→c ортогонален вектору a и век-→торуb;→ → →3)тройка векторов{a , b , c } правая.В случае, когда сомножители коллинеарны (в томчисле, когда хотя бы один из сомножителей есть нулевой вектор), векторное произведение считаетсяравным нулевому вектору.→Векторное произведение векторов→ →→a и b обозначается как[ a , b ] .

Из определения 2.4.2 следует, что62Аналитическая геометрия и линейная алгебра→ →1)[ a , b ] есть площадь параллелограмма, построенного на→векторах→a и b;→2)→для коллинеарности ненулевых векторов a и b необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулевому вектору.Свойства векторного произведения→ →1°.→ →[ a , b ] = − [ b , a ] (антикоммутативность, следует из определения 2.4.2 и нечетности функции sin ϕ ).→ →2°.→ →[λ a , b ] = λ [ a , b ] (следует из определения векторного→ →[λ a , b ] ипроизведения и того факта, что векторы→ →[ a , b ] ортогональны одной и той же плоскости при не→коллинеарных→3°.→ →→a и b и λ ≠ 0 ).→ →→ →[ a + b , c ] = [ a , c ] + [b , c ] (дистрибутивность).Для доказательства дистрибутивности векторного произведениявоспользуемся следующими вспомогательными утверждениями.→Лемма2.4.1.Пусть даны два вектора→a и b , начала которых на→ходятся в общей точке на оси с базисом→зультат поворота суммы векторовl .

Тогда ре→a и b на угол ϕ→вокруг осиl равен сумме результатов поворота каж→дого из этих векторов вокруг осиl на угол ϕ .63Г л а в а 2 . Произведения векторовУтверждение леммы 2.4.1 будем обозначать какΛ→→Λ→Λ→Повϕ, →l ( a + b ) = Повϕ, →l ( a ) + Повϕ, →l ( b ).Справедливость этого утверждения ясна из рис. 2.4.1.Рис. 2.4.1→Лемма2.4.2.→→→ →e = 1 и p ≠ o , то вектор [ p, e ] равен ре-Если→зультату поворота проекции вектора→перпендикулярную векторууголπp на плоскость,→e , вокруг вектора e напо часовой стрелке.2Доказательство.Проведем две плоскости, одна из которых проходит через точку→→→O – общее начало векторов p и e , перпендикулярно e , а→вторая проходит через векторы→p и e.→Ортогональная проекция вектораp на плоскость, перпендику-→лярную e , будет лежать на линии пересечения построенныхплоскостей, и тогда из определения векторного произведенияследует (рис.

2.4.2):64Аналитическая геометрия и линейная алгебра→ →→→[ p, e ] = p e→πsin α = p cos ( − α ) ,2→поскольку→ →e = 1. Следовательно, в рассматриваемом случаеΛΛ→Λ→[ p, e ] = Пов π → (Pr ⊥→e p ) , где Pr ⊥→e ( p) обозначает ортого2,e→нальное проектирование вектораp на плоскость, перпендику-→лярную векторуe.Рис. 2.4.2Лемма доказана.Докажем теперь дистрибутивность векторного произведения.Доказательство свойства 3°.→→→→Если c = o , то свойство 3° очевидно. Пусть c ≠ o , тогда всилу утверждений лемм 2.4.1, 2.4.2 и свойства 1.1° из § 2.1 следует65Г л а в а 2 .

Произведения векторов→→ →→→→→→c[a + b, c ] = | c | [a + b,Λ→|c|→Λ2Λ(→= | c | Пов π → Pr2→(,c⊥cΛΛ→= | c | ( [ a,⊥c→,c→⊥c))b =ΛΛ→ a ) + Пов π → (Pr|c|2→→c] + [b ,→→→→⊥c,c2→cΛa + Pr→= | c | Пов π → (Pr→Λ(] = | c | Пов π → Pr → ( a + b ) =→→→⊥c,c→ →)b) =→ →] ) = [ a , c ] + [ b , c ].|c |Свойство доказано.§ 2.5.

Выражение векторного произведенияв координатах→Пусть задан правый базис→ры→→→g1 , g 2 , g 3 образуют правую тройку) и пусть в этом базисе векто→ры→{g1 , g 2 , g 3 } (то есть такой, что векто-→a и b имеют координатные разложения→→→→→a = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3→→→→По свойствам 2° и 3° векторного произведения→→→→→→[a, b ] = [ ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 , η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3 ] =→→→→→→= ξ1η1[ g1 , g1 ] + ξ1η 2 [ g1 , g 2 ] + ξ1η3 [ g1 , g 3 ] +→→→→b = η1 g 1 + η 2 g 2 + η3 g 3 .и→→→+ ξ 2 η1[ g 2 , g1 ] + ξ 2 η 2 [ g 2 , g 2 ] + ξ 2 η3 [ g 2 , g 3 ] +66Аналитическая геометрия и линейная алгебра→→→→→→+ ξ 3 η1[ g 3 , g1 ] + ξ 3 η 2 [ g 3 , g 2 ] + ξ 3 η3 [ g 3 , g 3 ] =3→3→=∑∑ ξ j ηi [ g j , g i ].j =1 i =1→→базисных векторов→→→f1 , f 2 и f 3 попарные векторные произведенияОбозначим через→[ g i , g j ] следующим образом:→→→→→→→→f 1 = [ g 2 , g 3 ] ; f 2 = [ g 3 , g1 ] ; f 3 = [ g 1 , g 2 ] .→ →Подставив эти обозначения в выражение для [a , b ] и использовавформулу, связывающую определители квадратных матриц 2-го и 3-гопорядков (см.

теорему 1.1.1), получим→→→→→[a, b ] = (ξ 2 η3 − ξ 3 η 2 ) f1 − (ξ1η3 − ξ 3 η1 ) f 2 + (ξ1η 2 − ξ 2 η1 ) f 3 == detξ2η2ξ3 →ξf 1 − det 1η3η1→→→f1f2f3= det ξ1η1ξ2η2ξ3 .η3ξ3 →ξf 2 + det 1η3η1ξ2 →f3 =η2Случай ортонормированного базиса→ → →Пусть исходный базис {e1 , e2 , e3 } ортонормированный, образующий правую тройку векторов, тогда по определению 2.4.2→→f 1 = e1 ,→→f 2 = e2 ,→→f 3 = e3 .67Г л а в а 2 . Произведения векторовТогда формула для векторного произведения векторов в правом ортонормированном базисе упростится:→→→e1e2e3[a, b ] = det ξ1η1ξ2η2ξ3 .η3→→Из вышеприведенных формул вытекают полезные следствия.→Следствие2.5.1.detξ2η2или жеСледствие2.5.2.→Для того чтобы векторы a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы в любом базисеξ3ξ= det 1η3η1ξ3ξ= det 1η3η1ξ2=0,η2ξ1 ξ 2 ξ 3==.η1 η 2 η3В ортонормированном базисе площадь параллело→грамма, построенного на векторахляется по формулеS = det 2ξ2η2ξ3ξ+ det 2 1η3η1ξ3ξ+ det 2 1η3η1причем для случая базиса на плоскостиS = detξ1ξ2η1η2.→a и b , вычис-ξ2,η268Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 2.6.

Смешанное произведениеСмешанным (или векторно-скалярным) произведе-Определение2.6.1.→→→a , b и c , обозначаемым какнием векторов→ → →→ →→( a , b , c ) , называется число ( [ a , b ], c ) .Теорема2.6.1.Абсолютная величина смешанного произведения→ → →( a , b , c ) равна объему параллелепипеда,векторов→построенного на векторах→→→→a , b и c . При этом если→тройка векторов a , b , c некомпланарная и правая, то их смешанное произведение положительно, аесли тройка левая, то – отрицательно.Доказательство.→Если→a коллинеарен b , то утверждение теоремы очевидно.→→Пусть a неколлинеаренго произведения→ → →b , тогда по определению скалярно→ →→( a , b , c ) = | [ a , b ] | Πр → → c ,[ a,b ]→где S = | [ a ,→b ] | есть площадь параллелограмма, постро→енного на векторах→a и b ,а→→| Пр → → c | = | c | | cos α |[a ,b ]69Г л а в а 2 .