Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 10

3.3.1)Пусть→→вектор r − r0 может быть единственным образом представлен94Аналитическая геометрия и линейная алгебракак линейная комбина→ция векторов→→→p иq→→r − r0 = ϕ p + θ q ,и, следовательно, уравнение плоскости будетиметь вид→→→→r = r0 + ϕ p + θ q ,ϕ ∈ (−∞, + ∞) иθ ∈ (−∞, + ∞).гдеТеорема доказана.Рис. 3.3.1Найдем теперь координатное представление множества радиусов-x→векторов всех точек плоскости S . Пустьrg= y , pzg= pypzqx→иpx→qg= q y , тогда будут справедливы следующие теоремы.qzТеорема3.3.2.Всякая плоскость в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением видаAx + By + Cz + D = 0 ,A + B + C > 0.Доказательство.→→Условие компланарности векторов r − r0 ,→→p и q в коорди-натной форме имеет в силу теоремы 1.6.3 вид95Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьdetx − x0y − y0z − z0pxqxpyqypzqz= 0.A( x − x0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 , или окончательно Ax + By + Cz + D = 0, где числа A , B и C нахо-Откудадятся по теореме 1.1.1 и равны соответственноаA = detpyqypzp; B = − det xqzqxC = detpxqxpy,qypz;qzD = − Ax0 − By 0 − Cz 0 , и, таким образом, мы получили, чтоуравнение плоскости есть уравнение первой степени. Условиеневозможности одновременного равенства нулю чисел A , B и→→C вытекает из неколлинеарности векторов p и q и следствия 2.5.1.Теорема доказана.Теорема3.3.3.ВсякоеуравнениевидаAx + By + Cz + D = 0 ,A + B + C > 0 в любой декартовой системе координат есть уравнение некоторой плоскости.Доказательство.Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнениеAx + By + Cz + D = 0 ,A + B + C >096Аналитическая геометрия и линейная алгебраприC ≠ 0 может быть записано какx+detа приDAA + B2 +C2y+2DBA + B2 + C 2z+20−CBC0−AdetDAA + B2y+DBA + B22z+0−BA00012→ибо в любой ДСК в качестве векторов0pg= −CB= 0,→p и q можно выбратьC→=qи= 0,кC = 0 в видеx+→DCA + B2 + C 22g0 при C ≠ 0 , и, если C = 0 ,−Aто−B→=pgA00→иqg= 0 .1Очевидно, что оба эти уравнения определяют плоскость, проходящую через некоторую заданную точку параллельно двумнеколлинеарным векторам.Теорема доказана.97Г л а в а 3 .

Прямая и плоскость→Задача3.3.1.→→В системе координат {O, g1 , g 2 , g 3 } составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные, попарно несовпадающие и не лежащие на одной прямой точки:x1→x2→x3→r1 = y1 ; r2 = y 2 ; r3 = y 3 .z1z2z3Решение.

Из условия задачи следует, что неколлинеарные векторы→→→→r2 − r1 и r3 − r1 параллельны искомой плоскости. Крометого, для радиуса-вектора любой принадлежащей этой→→→плоскости точки r вектор r − r1 также будет ей параллелен.Из условия компланарности тройки векторов→→→→→→{ r − r1 , r2 − r1 и r3 − r1 }получаем уравнение искомой плоскости, которое будетиметь вид→→ →→ →→( r − r1 , r2 − r1 , r3 − r1 ) = 0 ,или в координатной форме (согласно § 2.7)x − x1y − y1z − z1det x 2 − x1x3 − x1y 2 − y1y 3 − y1z 2 − z1 = 0.z 3 − z1→Задача3.3.2.→→В системе координат {O, g1 , g 2 , g 3 } составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку→r0 = x0y0z0→торуn = nxnyTперпендикулярно ненулевому векTnz .98Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Решение. По условию задачи для радиуса-вектораr любой точки,→принадлежащей этой плоскости, векторы→дут ортогональны, т.е.→→r − r0 и n бу-→ →( r − r0 , n ) = 0 .→В ортонормированной системе координатэто условие принимает вид→→{O, e1 , e2 , e3 }n x ( x − x0 ) + n y ( y − y 0 ) + nz ( z − z0 ) = 0или, обозначиввенноA = n x ; B = n y ; C = n z и соответст-D = − n x x0 − n y y 0 − n z z 0 , получимAx + By + Cz + D = 0 .Следствие3.3.1.Если плоскость задана в ортонормированной сис→теме координат→→{O, e1 , e2 , e3 } уравнениемAx + By + Cz + D = 0, где A + B + C > 0,→то векторAn = B ортогонален этой плоскости.C→Определение3.3.2.Вектор→стиОпределение3.3.3.n называется нормальным вектором плоско→ →( r − r0 , n ) = 0 .ВекторA B CTназывается главным векто-ром плоскостиAx + By + Cz + D = 0, A + B + C > 0.99Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьВ ортонормированной системе координат главный вектор плоскости является и нормальным ее вектором.ВЗадача3.3.3.ортонормированной→→системекоординат→{O, e1 , e2 , e3 } найти расстояние от точки M с радиусом-вектором→∗x∗→→ →r = y ∗ до плоскости ( r − r0 , n ) = 0 .z∗Решение.1°. ПустьK есть ортогональная проекция точки M на→→→→∗→данную плоскость, тогда MK = λ n и r = r +λ n .(рис. 3.3.2.)2°. Точка K принадлежит данной плоскости, поэтому→ →имеет место соотношение→следовательно,→ →λ=−→( n , r ∗ − r0 )→ 2,|n|тогда для искомого расстоянияполучим→| MK | =→∗→= | ( r − r0 ,→n→)|.|n |. Рассмотрим теперь ортонормированную систему координат.→( n , r ∗ + λ n − r0 ) = 0 , и,Рис.

3.3.2100Аналитическая геометрия и линейная алгебра→n = A B C будет нормальнымвектором плоскости Ax + By + Cz + D = 0 . ПоэтомуTВ этом случае вектор→| MK | =| A( x ∗ − x0 ) + B( y ∗ − y 0 ) + C ( z ∗ − z 0 ) |A2 + B 2 + C 2,→Точкаr0 принадлежит данной плоскости, значитAx0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 ,а, посколькуA + B + C > 0 , то ответ задачи можно за-писать в виде→| MK | =Теорема3.3.4.Пусть| Ax ∗ + By ∗ + Cz ∗ + D |A2 + B 2 + C 2A1 + B1 + C1 > 0 и.A2 + B2 + C2 > 0 , вэтом случае плоскостиA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C 2 z + D 2 = 0будут параллельны тогда и только тогда, когда ихглавные векторы коллинеарны.Доказательство.Докажем достаточность. Если главные векторы коллинеарны,то существует такое число λ ≠ 0 , чтоA1 = λ A2 ; B1 = λ B2 ; C1 = λC 2 ,и система уравнений A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0101Г л а в а 3 . Прямая и плоскостьможет быть переписана в виде A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 x + B1 y + C1 z + λD2 = 0.D1 ≠ λD2 на этих плоскостях нет общих точек, а приD1 = λD2 – все точки общие, что и означает параллельностьПриплоскостей.Докажем необходимость.

Пусть плоскостиA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 иA2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0параллельны. Тогда они должны пересекать одни и те же координатные плоскости по параллельным прямым.Пусть для определенности этими координатными плоскостями являются плоскости, для которых x = 0 и z = 0 . Линиипересечения, соответствующие первой из координатных плоскостей, будут определяться системами уравненийx = 0,x = 0,и  B1 y + C1 z + D1 = 0 B2 y + C2 z + D2 = 0.Параллельность этих прямых означает существованиетакого, чтоB1 = λ B2 ; C1 = λC 2 .Рассматривая случайсоотношенийλ≠0z = 0 , получаем аналогичную системуz = 0,z = 0,и  A1 x + B1 y + D1 = 0 A2 x + B2 y + D2 = 0,но из условия B1 = λ B2 и параллельности этой пары прямыхвытекает, что A1 = λ A2 .Теорема доказана.102Следствие3.3.2.Аналитическая геометрия и линейная алгебраДля того чтобы уравненияA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A1 + B1 + C1 > 0 иA2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0, A2 + B2 + C 2 > 0были уравнениями одной и той же плоскости, необходимо и достаточно, чтобы существовало число λ ≠ 0, такое, чтоA1 = λ A2 ; B1 = λ B2 ; C1 = λC 2 ; D1 = λ D2 .Определение3.3.4.Пучком плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через даннуюпрямую.Определение3.3.5.Уравнением пучка плоскостей, проходящих черезпрямую, определяемую пересечением пары непараллельных плоскостейA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A1 + B1 + C1 > 0иA2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,A2 + B2 + C 2 > 0,называется уравнение видаα( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) ++ β( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0,α + β > 0.Определение3.3.6.Связкой плоскостей в пространстве называется совокупность всех плоскостей, проходящих через даннуюточку.103Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьОпределение3.3.7.Если точкаплоскостямP , принадлежащая одновременно тремA1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A1 + B1 + C1 > 0,A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0,A2 + B2 + C 2 > 0иA3 x + B3 y + C 3 z + D3 = 0,A3 + B3 + C 3 > 0,единственная, то уравнение видаα( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) ++ β( A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) ++ γ( A3 x + B3 y + C 3 z + D3 ) = 0,α + β + γ >0называется уравнением связки плоскостей, проходящих через точку P .Для пучка и связки плоскостей в пространстве справедливы теоремы, аналогичные теореме 3.2.1 для пучка прямых на плоскости.§ 3.4. Способы задания прямой в пространствеСуществуют различные способы задания прямой в пространстве в→декартовой системе координат1°.

Уравнениепрямой в параметрической форме→→{O, g1 , g 2 , g 3 } .Пусть точка с радиусом-вектором→r = xyzTлежит на прямой в пространстве, имеющей ненулевой направляющий вектор104Аналитическая геометрия и линейная алгебраax→x0→a = a y и проходящей через точку r0 = y 0 , тоazz0→гда из коллинеарности векторов→→a и r − r0 следует,что уравнение прямой в пространстве должно иметь→вид2°. Уравнениепрямойвканонической форме→→r = r0 + τ a .Если исключить параметр→уравнения→τ из скалярной записи→r = r0 + τ a x = x 0 + τa x , y = y 0 + τa y , z = z + τa ,0zто получается так называемое каноническое уравнение прямойx − x0 y − y 0 z − z 0==,axayazхотя здесь правильнее говорить о системе уравнений.Случайa x a y a z = 0 рассматривается аналогичнослучаю, рассмотренному в § 3.2 (1°).→3°. Уравнение прямой, проходящейчерез двеПоскольку направляющий вектор данной прямойколлинеарен векторуx 2 − x1r2 − r1 = y 2 − y1 ,z 2 − z1→→a105Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьдве несовпадающиеточки→→→→→r = r1 + τ(r2 − r1 ) ∀τx1r1 = y1z1→то уравнение прямой в векторной форме можнопредставить в видеиx2r2 = y 2z2или→→→r = (1 − τ) r1 + τ r2 ∀τ .Соответственно в координатах после исключенияпараметра τ получаем соотношенияx − x1y − y1z − z1==,x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1если только( x2 − x1 )( y2 − y1 )( z 2 − z1 ) ≠ 0 .4°.

Уравнениепрямой в 1й векторнойформеПрямая в пространстве может быть задана как линияпересечения двух плоскостей→ →(n1 , r ) = d 1→→ →и(n2 , r ) = d 2 ,→n1 и n2 – неколлинеарные, нормальные векторыэтих плоскостей, а d1 и d 2 – некоторые числа.где→Или же, если известна точка r0 , через которую проходит данная прямая, то радиус-вектор любой точкиэтой прямой удовлетворяет следующей системе уравнений: → → → (n1 , r − r0 ) = 0, → → →(n2 , r − r0 ) = 0.Или в координатной форме A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0.106Аналитическая геометрия и линейная алгебра5°.