Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 5

Векторы и линейные операции с нимиБазисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.Определение1.5.2.Базис называется ортогональным, если образующиеего векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).Определение1.5.3.Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.Пространственный базис, составленный из линейно независимых→векторов→→→→→g1 , g 2 , g 3 , будем обозначать {g1 , g 2 , g 3 } .

Ортогональ-ный или ортонормированный базис условимся обозначать как→→→{e1 , e2 , e3 } .→Теорема1.5.1.Пусть дан базис→→→{g1 , g 2 , g 3 } , тогда любой вектор xв пространстве может быть представлен и притомединственным образом в виде→→→→x = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 ,гдеξ1 , ξ 2 , ξ 3 – некоторые числа.Доказательство.1°. Докажем вначале существование таких чисел.→Совместим начала всех векторов→→→g1 , g 2 , g 3 и x в точке O и→проведем через конец вектора→плоскости→O, g1 , g 2 (рис.

1.5.1).x плоскость, параллельную36Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Построим новые векторы→→→y и→→z так, чтобы x = z + y , а z→g 3 были коллинеарны, тогдаив силу коллинеарности векто→ров→z и g 3 имеем→→z = ξ3 g 3 .Перенеся затем начало вектора→y в точку O и рассуждая какпри доказательстве теоремы1.4.3, получим→→→y = ξ1 g1 + ξ 2 g 2и, следовательно,→Рис.

1.5.1→→→x = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 ,что доказывает существование разложения.2°. Докажем единственность разложения по базису. Пусть мы→→→→x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 и допустим, что существует другая тройка чисел ξ1′ , ξ′2 , ξ ′3 , таких, чтоимеем→→→→x = ξ1′ g1 + ξ′2 g 2 + ξ′3 g 3 .Вычитая почленно эти равенства, получаем→→→→(ξ1 − ξ1′ ) g1 + (ξ 2 − ξ′2 ) g 2 + (ξ 3 − ξ′3 ) g 3 = o ,37Г л а в а 1 .

Векторы и линейные операции с нимигде в силу сделанного предположения о неединственностиразложенияξ1 − ξ1′ + ξ 2 − ξ′2 + ξ 3 − ξ′3 > 0 .Но полученное неравенство означает, что линейная комбинация→→→(ξ1 − ξ1′ ) g1 + (ξ 2 − ξ′2 ) g 2 + (ξ 3 − ξ′3 ) g 3→нетривиальна, векторы→→{g1 , g 2 , g 3 } линейно зависимы и,следовательно, не могут быть базисом в силу определения1.5.1. Полученное противоречие доказывает единственностьразложения.Теорема доказана.Определение1.5.4.ξ1 , ξ 2 , ξ 3 – коэффициенты в разложенииЧисла→→→→x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 – называются координа→тами (или компонентами) вектора→→x в базисе→{g1 , g 2 , g 3 } .Для сокращенной записи координатного разложения вектора→→→→x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 используются формы:→1°.x( ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ), ξ1  4°.

 ξ 2 ,ξ  32°.(ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ),ξ15°.ξ2 ,ξ33°.ξ1ξ2ξ3 ,38Аналитическая геометрия и линейная алгебраиз которых в дальнейшем мы будем использовать последнюю. В об→→щем случае утверждение «вектор→ξ1координатное представление→x в базисе {g1 , g 2 , g 3 } имеетξ1→ξ 2 » записывается как xξ3g= ξ2 ,ξ3но иногда, если это не приводит к неоднозначности толкования, будемξ1→использовать и сокращенную запись вида→→Наконец, если вектор→быть представлен как→имеет вид=xgx = ξ2 .ξ3→x в базисе {g1 , g 2 } на плоскости может→→x = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 , то его координатная записьξ1.ξ2§ 1.6. Действия с векторами в координатномпредставлении→Поскольку в конкретном базисе→→{g1 , g 2 , g 3 } каждый вектор пол-ностью и однозначно описывается упорядоченной тройкой чиселξ1 , ξ 2 , ξ 3 – своим координатным представлением, то естественновозникает вопрос о том, как выполняются операции с векторами вкоординатном представлении.Оказывается, что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов), но и оперировать с ними в матричной форме, поскольку правила действий с векторами в координатной формесовпадают с правилами соответствующих операций с матрицами.39Г л а в а 1 .

Векторы и линейные операции с нимиИмеет местоТеорема В координатном представлении операции с векторамивыполняются следующим образом:1.6.1.1°°. Сравнение векторовДва вектора→→→→x = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3→и→→→y = η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3равны тогда и только тогда, когда равны их координатные представления:→→= yxg2°°.

Сложение векторовgКоординатноедвух векторов→ ξ1 = η1или ξ 2 = η 2 .ξ = η3 3представление→→суммы→x = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3→и→→→y = η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3равно сумме координатных представлений слагаемых→→→x+ yg3°°. Умножение векторовна число→= x+ yg.gКоординатное представление произведения числа λ на вектор→→→→x = ξ1 g 1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 340Аналитическая геометрия и линейная алгебраλ на коорди-равно произведению числа→натное представление вектора→x:→λx=λ x.ggДоказательство.Поскольку рассуждения для всех трех пунктов аналогичны,рассмотрим лишь правило сложения векторов в координатнойформе.По свойствам операций сложения и умножения на вещественное число векторов (теорема 1.3.1) имеем→→→x+ y→→→→→= (ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 ) + (η1 g1 + η 2 g 2 + η3 g 3 )g=g→→→= (ξ1 + η1 ) g1 + (ξ 2 + η 2 ) g 2 + (ξ 3 + η3 ) g 3=gξ1 + η1ξ1η1→= ξ 2 + η2 = ξ 2 + η2 = xξ 3 + η3ξ3η3→+ yg.gТеорема доказана.Следствие1.6.1.Координатное представление линейной комбинации→→λ x + µ y является той же линейной комбинацией→координатных представлений векторов→x и y:41Г л а в а 1 .

Векторы и линейные операции с нимиλξ1 + µη 1ξ1η1λξ 2 + µη 2 = λ ξ 2 + µ η 2 .λξ 3 + µη 3ξ3η3Рассмотрим теперь вопрос о том, как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимостивекторов.→Теорема1.6.2.→Для того чтобы два вектора x и y на плоскостибыли линейно зависимы, необходимо и достаточно,→чтобы их координатные представления=xg→=yиgξ1ξ2η1удовлетворяли условиюη2detξ1ξ2η1= 0.η2Доказательство.Докажем необходимость.→Пусть векторы→x и y линейно зависимы, тогда в силу лем→мы 1.4.1 имеет место равенствоформе ξ1 = λη1 ,Исключив λ из этих двух скалярных соξ 2 = λη 2 .отношений, получимчто→x = λ y или в координатнойdetξ1ξ2ξ1η 2 − ξ 2 η1 = 0, но это и означает,η1= 0.η242Аналитическая геометрия и линейная алгебраДокажем достаточность.

Пустьимеем, чтоdetξ1ξ2η1= 0, тогдаη2ξ1 ξ 2=при η1 ≠ 0 ; η 2 ≠ 0 , то есть соотη1 η 2→→ветствующие координаты векторов x и y пропорциональны, что и доказывает линейную зависимость этих векторов.Случайη1η 2 = 0 предлагается рассмотреть самостоятельно.Теорема доказана.→ → →Теорема1.6.3.Для того чтобы три вектора в пространствес координатными представлениямиξ1→xgη1→= ξ2 ,ξ3yg= η2 иη3{ x , y, z}κ1→zg= κ2κ3были линейно зависимы, необходимо и достаточно,чтобы их координаты удовлетворяли условиюξ1η1κ1det ξ 2ξ3η2η3κ 2 = 0.κ3Доказательство.→ → →Пусть линейная комбинация векторов→вому вектору, то есть→x , y , z равна нуле→→λ1 x + λ 2 y + λ 3 z = o , или в коор-динатном представлении43Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с нимиξ1η1κ10λ1 ξ 2 + λ 2 η 2 + λ 3 κ 2 = 0 .ξ3η3κ30Это матричное равенство, очевидно, равносильно системелинейных уравненийλ1ξ1 + λ 2 η1 + λ 3 κ1 = 0,λ1ξ 2 + λ 2 η 2 + λ 3 κ 2 = 0, λ ξ + λ η + λ κ = 0,2 33 3 1 3которая (согласно теореме Крамера, теорема 6.4.1) имеетединственное решение тогда и только тогда, когда определитель ее основной матрицы отличен от нуля.Но, с другой стороны, очевидно, что данная система всегдаимеет нулевое (тривиальное) решение.

Значит, условиеξ1η1κ1det ξ 2ξ3η2η3κ2 ≠ 0κ3равносильно системе равенствλ1 = λ 2 = λ 3 = 0, что идоказывает утверждение теоремы.Заметим, что альтернативная версия доказательства приводится в параграфе «Смешанное произведение векторов»(§ 2.6).Теорема доказана.44Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 1.7. Декартова система координат→Определение1.7.1.Совокупность базиса→→{g1 , g 2 , g 3 } и точки O, в кото-рую помещены начала всех базисных векторов, называется общей декартовой системой координат→→→(ДСК) и обозначается{O, g1 , g 2 , g 3 }.ОпределениеСистема координат{O, e1 , e2 , e3 } , порождаемая1.7.2.ортонормированным базисом, называется нормальной прямоугольной (или ортонормированной) системой координат.→→Если задана система координатточке→→→→{O, g 1 , g 2 , g 3 } , то произвольнойM в пространстве можно поставить во взаимно однозначное→соответствие векторнец – в точке M .r , начало которого находится в точке O , а ко-→Определение1.7.3.Вектор→точкиОпределение1.7.4.→r = OM называется радиусом-вектором→→M в системе координат {O, g1 , g 2 , g 3 }.Координаты радиуса-вектора точки M называютсякоординатами точки M в системе координат→→→{O, g1 , g 2 , g 3 }.Проиллюстрируемособенностииспользованиявекторнокоординатного описания геометрических объектов на примере решения следующих задач.45Г л а в а 1 .