Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 2

На кафедресформировался коллектив преподавателей, педагогически одаренныхи обладающих педагогическим мастерством. Поэтому вполне естественно стремление сделать этот опыт всеобщим достоянием.Многое уже отражено в известных учебниках, задачниках, созданных выдающимися математиками и педагогами, среди которыхВ. С. Владимиров, С. М. Никольский, Л. Д. Кудрявцев, М. В. Федорюк и многие другие. Без сомнения, эти ставшие уже классическимиучебные пособия оказали и оказывают существенное влияние на математическое образование как в России, так и за ее пределами.Вместе с тем есть еще немало того, что, несомненно, будет существенно полезным для улучшения подготовки специалистов. Естественным путем для выявления этого опыта, как нам представляется,могла бы быть серия "Лекции кафедры высшей математики МФТИ",и мы будем благодарны всем, кто окажет поддержку и посильнуюпомощь в осуществлении данного проекта.Введение9В настоящем издании читателю предлагается одна из книг задуманной серии – расширенный курс лекций, который профессорА.

Е. Умнов ряд лет читает студентам первого курса Московскогофизико-технического института. Подготовка первого издания осуществлена при поддержке ООО "Промфинэнерго".По содержанию и стилю изложения материала данная книга рассчитана на студентов физико-математических и технических специальностей высших учебных заведений с углубленной подготовкой поматематике.

В ней представлены как традиционные разделы аналитической геометрии, теории матриц, теории линейных систем и конечномерных векторных пространств, так и некоторые дополнительныеразделы линейной алгебры, важные для студентов физических специальностей.На кафедре высшей математики МФТИ лекции по аналитическойгеометрии и линейной алгебре в разное время читали многие выдающиеся ученые и педагоги, такие, как Ф. Р. Гантмахер, В.

Б. Лидский,А. А. Абрамов, Д. В. Беклемишев, В. А. Треногин и другие. Сам автор, будучи последовательно студентом, аспирантом, преподавателеми профессором этой кафедры, не мог не испытать влияния своих учителей. Структура и дух его лекций вполне традиционны для кафедрывысшей математики МФТИ. В изложении материала автор успешносочетает, не злоупотребляя абстракциями, достаточно высокий уровень строгости с простотой и ясностью.Предлагаемый читателям курс лекций А.

Е. Умнова "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" рекомендован кафедрой высшейматематики Московского физико-технического института в качествеучебного пособия для студентов МФТИ. Эта книга также может бытьиспользована в качестве учебного пособия и в других учебных заведениях с расширенной подготовкой по высшей математике.Г. Н.

ЯковлевЧлен-корреспондент РАО,профессор.Август, 1997 год10Аналитическая геометрия и линейная алгебраОт автораДанное пособие предназначено для студентов физических и технических специальностей высших учебных заведений с расширеннойподготовкой по высшей математике. Его основной целью являетсявведение в теорию линейных пространств – математический аппарат,используемый в разнообразных прикладных дисциплинах: от квантовой механики до методов оптимального управления. Имея в виду особую терминологическую специфику этой теории, ее описание предваряется изложением основ евклидовой геометрии, выполненным припомощи понятий, характерных для теории линейных пространств.Включенный в пособие материал в основном соответствует программе курса “Аналитическая геометрия и линейная алгебра”, читаемого для студентов первого курса Московского физико-техническогоинститута. Также рассматриваются некоторые дополнительные вопросы, облегчающие изучение студентами математического аппарататеоретической физики и в первую очередь квантовой механики.

Задачи, небольшое число которых включено в состав пособия, по мнениюавтора, существенны для понимания курса в целом.Предполагается, что читатель владеет основными понятиями курсаэлементарной геометрии, а также знаком в минимальном объеме сдифференциальным и интегральным исчислением.Используемая система обозначений единообразна для всех разделов пособия, что привело к небольшим отличиям от традиционнойсистемы обозначений, в частности:- действительные числа, как правило, обозначаются строчнымигреческими буквами (исключение сделано лишь для декартовых координат x, y и z, целочисленных индексов и некоторыхдругих стандартных обозначений);- строчные латинские буквы в основном использованы для обозначения более сложных, чем действительные числа, объектов:векторов, комплексных чисел, элементов линейных пространств, функций, функционалов, операторов, а также различных геометрических объектов;11Введение-матрицы обозначаются прописными латинскими буквами сдвойными вертикальными ограничителями: например,-A ;во избежание конфликтов, для обозначений длин, абсолютныхвеличин, модулей и норм используются одинарные вертикаль→ные ограничители: например,a , в то время как для обозна-чения определителей матриц этот вид ограничителей не применяется, а используется обозначение функционального вида: например,det A .Автор выражает глубокую признательность преподавателям и сотрудникам кафедры высшей математики МФТИ, советы и замечаниякоторых в большой степени способствовали улучшению пособия, и впервую очередь И.

А. Чубарову, В. И. Чехлову, С. В. Ивановой иВ. Б. Трушину.Предисловие ко второму изданиюСо времени выхода в свет в 1997 году первого издания были учтены многочисленные рекомендации, позволившие улучшить структуризацию материала, включенного в пособие, исправлены замеченныеопечатки и неточности.Авторособоблагодаренпосетителяминтернет-сайтаwww.umnov.ru за доброжелательную критику и конструктивныезамечания по версии текста, доступной на этом сайте.12Аналитическая геометрия и линейная алгебраГлава 1ВЕКТОРЫИ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С НИМИ§ 1.1.

Матричные объектыАналитическое описание геометрических фигур и тел, равно как иопераций с ними, может быть в большом числе случаев упрощено засчет использования специального математического объекта, называемого матрицей.Определение Матрицей размера m × n называется упорядоченнаяпрямоугольная таблица (или массив) чисел, содер1.1.1.жащая m строк и n столбцов.Числа, входящие в описание матрицы, называемые ее элементами(или компонентами), характеризуются как своим значением, так иномерами строк и столбцов, в которых они расположены. Условимсяобозначать элемент матрицы, расположенный в i -й строке и j -мстолбце, какα i j 1.Определение1.1.2.Числацы.m , n и m × n называются размерами матри-Матрицы обозначаются и записываются перечислением их элементов.

Например, матрица с элементамиα i j ; i = [1, m] ; j = [1, n]или же в развернутой форме:1Следует читать “альфа i − j“.13Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними α 11 α 21α 31 ...α m1α 12α 22α 32...α m2α 13α 23α 33...α m3...............α 11α 21α 31...α m1α 1n α 2n α 3n  ;... α mn α 12α 22α 32...α m2 α 11α 21 α 31 ...α m1α 13α 23α 33...α m3...............α 12α 22α 32...α m2α 13α 23α 33...α m3...............α 1n α 2 n α 3n  ;... α mn α 1nα 2nα 3n ,...α mnиз которых будем использовать последнюю. Если же потребуется неразвернутое представление матрицы, то мы запишем ее в видеили простоαi jA .Матрицы принято классифицировать по количеству их строк истолбцов.Определение1.1.3.Если m = n , то матрица называется квадратной,порядка n .Матрица размера m × 1 называется m -мерным (илиm -компонентным) столбцом.

Матрица размера1 × n называется n -мерной (или n -компонентной)строкой.Отметим, что, хотя формально для обозначения строк или столбцов следует использовать двухиндексные записиα 1 j или β i1 ,неменяющиеся индексы принято опускать, в результате чего обозначения строк или столбцов имеют видα j или соответственно β i .14Аналитическая геометрия и линейная алгебраВ этих случаях, разумеется, необходимо явно указывать, о чем идетречь: о строке или о столбце.Некоторые часто используемые матрицы с особыми значениямиэлементов имеют специальные названия и обозначения.Определение1.1.4.Квадратная матрица, для которойα ij = α ji ∀i, j = [1, n] ,называется симметрической.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают какКвадратная матрица порядкаO .n вида100...0010...0001...0... ...

... ... ...000...1называется единичной. Единичную матрицу принятообозначатьE .Операции с матрицамиОпределение1.1.5.Две матрицыA(обозначается:A = B ), если они одинаковыхиBназываются равнымиразмеров и если их соответствующие компонентыравны, то естьα i j = β i j ∀i = [1, m] и ∀j = [1, n] .15Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с нимиОпределение1.1.6.МатрицаCA иназывается суммой матрицB (обозначается: C = A + B ), если матрицыA , B , C одинаковых размеров иγ i j = α i j + β i j ∀i = [1, m] , ∀j = [1, n] ,γ i j ∀i = [1, m] , ∀j = [1, n] являютсягде числасоответствующими компонентами матрицыОпределение1.1.7.МатрицаC называется произведением числа λна матрицуматрицыC .A (обозначается: C = λ A ), еслиA и C одинаковых размеров иγ i j = λα i j ∀i = [1, m] , ∀j = [1, n] .Отметим, что умножать на число можно матрицу любого размера.в качестве всех (или некоторых) элементов матрицыЗамечание:возможно использование не только чисел, но и других математических объектов, для которых подходящим образом определены операции сравнения,сложения и умножения на число, например, векторов, функций или тех же матриц.Определение1.1.8.Транспонированием матрицы называется операция,в результате которой образуется новая матрица, гдестроками служат столбцы исходной, записанные ссохранением порядка их следования (рис.