Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 4

Например, в некоторых физических и технических приложениях различаютвекторы полярные и аксиальные. К первым относятся, например, векторы скорости, силы, напряженности электрического поля; ко вторым – векторы момента силы, напряженности магнитного поля. Кроме того, в механике векторы подразделяются на свободные, скользящие и закрепленные, в зависимости от той роли, которую играет точкаих приложения.К заключению о векторной природе тех или иных физических характеристик можно прийти путем рассуждений,основанных на определении 1.3.1 и экспериментальныхданных.Например, пусть некоторая материальная точка A , имеющая электрический заряд, перемещается в пространствепод действием электрического поля.

Положение этой точки в пространстве в момент времени τ 0 можно задать исходящим из точки наблюдения и направленным в→тором→A век-r (τ 0 ) , а в момент времени τ – вектором r (τ).28Аналитическая геометрия и линейная алгебра→Поскольку перемещение→r (τ) − r (τ 0 ) (как разность двухвекторов) является вектором, то и скорость движения материальной точки будет вектором в силу определения 1.3.1.Рассуждая аналогично, можно прийти к заключению, чтовектором является также и ускорение.

С другой стороны,согласно второму закону Ньютона, ускорение материальнойточки пропорционально действующей на нее силе, и, следовательно, сила тоже есть вектор.Наконец, принимая во внимание пропорциональность силы,действующей на заряженное тело, и напряженности электрического поля, заключаем, что последняя характеристикатакже векторная.§ 1.4. Линейная зависимость векторовВначале введем часто используемые в приложениях понятия коллинеарности и компланарности векторов.Определение1.4.1.Два вектора, параллельные одной и той же прямой,называются коллинеарными.Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.→Определение1.4.2.Выражение вида→→λ 1 a1 + λ 2 a 2 + ...

+ λ n a n , гдеλ i ; i = [1, n] – некоторые числа, называется линей→ной комбинацией векторов→→a1 , a 2 , ... , a n .29Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с нимиЕсли все числаноλ 1 , λ 2 , ... , λ n равны нулю одновремен-(чторавносильноусловиюλ1 + λ 2 + ... + λ n = 0) , то такая линейная комбинация называется тривиальной.Если хотя бы одно из чиселнуля (то естьλ 1 , λ 2 , ... , λ n отлично отλ1 + λ 2 + ... + λ n > 0 ), то данная ли-нейная комбинация называется нетривиальной.Соглашение о суммированииВ тех случаях, когда явная запись суммы некоторого числа слагаемых нецелесообразна или невозможна, но известно, как зависит значение каждого из слагаемых от его номера, то допускается использование специальной формы записи операции суммирования:nF (k ) + F (k + 1) + ...

+ F (n) = ∑ F (i ) ,i=kF (i ) по i от k до n ), где i – индекс суммирования, k – минимальное значение индекса суммирования, n – максимальное значение индекса суммирования и, наконец, F (i ) – общий(читается: суммавид слагаемого.Пример1.4.1.По соглашению о суммировании будут справедливы следующие равенства:12 + 2 2 + ...

+ (n − 1) 2 + n 2=n∑ i2i =1=n(n + 1)(2n + 1),6=30Аналитическая геометрия и линейная алгебра13 + 2 3 + ... + (n − 1) 3 + n 3n=∑i=3i =1n 2 (n + 1) 24=n2(∑ i) ,=i =1111++ ... +1⋅ 2 2 ⋅ 3(n − 1)n=n −11∑ i(i + 1)i −1.i=i =1Используя данное соглашение о суммировании, линейную комби→нацию→→λ 1 a1 + λ 2 a 2 + ... + λ n a n можно записать в виде→n∑ λ i ai .i =1Приведем теперь определение важного понятия линейной зависимости системы векторов.→Определение1.4.3.Векторы→→a1 , a 2 , ..., a n называются линейно зависи-мыми, если существует их нетривиальная линейнаяnкомбинация→∑ λ i ai , такая, чтоi =1→Определение1.4.4.Векторы→→n→∑ λ i ai = o .i =1→a1 , a 2 , ..., a n называются линейно незавиnсимыми, если из условия→→∑ λ i ai = o следует триi =1nвиальность линейной комбинацииi =1чтоλ 1 = λ 2 = ...

= λ n = 0 .→∑ λ i ai , то есть31Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними→Иначе говоря, если векторыто для любого набора чисел→λ 1 , λ 2 , ..., λ n , не равных нулю одновре→nменно, линейная комбинация→a1 , a 2 , ..., a n линейно независимы,∑λk =1ka k не нулевой вектор.→→→a1 , a 2 , ..., a nДля линейной зависимости векторовЛемма1.4.1.необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.Доказательство.→→λ 1 , λ 2 , ..., λ n , од-нейно зависимы, тогда существуют числа→nновременно не равные нулю, такие, что→a1 , a 2 , ..., a n ли-Докажем необходимость. Пусть векторы→∑ λ k ak = o . Дляk =1определенности можно считать, что→na1 = ∑ (−k =2λ1 ≠ 0 , но тогдаλk →) ak ,λ1что и доказывает необходимость.Докажем теперь достаточность.

Пусть для определенности→n→→n→→a1 = ∑ λ k a k , тогда (−1 ) a1 + ∑ λ k a k = o , причемk =2k =2| − 1 | + | λ 2 | + ... + | λ n | > 0 .→То есть линейная комбинация векторовная нулевому вектору, нетривиальная.Лемма доказана.→→a1 , a 2 , ..., a n , рав-32Аналитическая геометрия и линейная алгебраСправедливы следующие утверждения.Один вектор линейно зависим тогда и только тогда,Теоремакогда он нулевой.1.4.1.Теорема1.4.2.Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда,когда они коллинеарны.Теорема1.4.3.Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда,когда они компланарны.Теоремы 1.4.1 и 1.4.2 предлагаются для самостоятельного доказательства. Здесь же мы рассмотрим подробно теорему 1.4.3.Доказательство.→Докажем необходимость. Пусть три вектора→→a1 , a 2 , a3 линейнозависимы, то есть существуют три, одновременно не равных нулю, числа λ 1 , λ 2 , λ 3 , таких, что→→→→λ 1 a1 + λ 2 a 2 + λ 3 a3 = o .Тогда по лемме 1.4.1 один из векторов есть линейная комбинация двух остальных, и, значит, данные три вектора компланарны.→→Докажем достаточность в предположении, что векторы a1 и a 2неколлинеарны.

Пусть даны три компланарных вектора→→→a1 , a 2 , a3 . Перенесем эти векторы таким образом, чтобы ихначала попали в одну точку.→Через конец вектора→→рамa3 проведем прямые, параллельные векто→→a1 и a 2 . При этом получим пару векторов b1 и b2 , та→ких, что→→a3 = b1 + b2 (рис. 1.4.1).33Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними→Поскольку векторb1 колли-→неарен векторуa1 , а вектор→→b2 коллинеарен вектору a2 ,по лемме 1.4.1 и теореме 1.4.2получаем, что→→→→b1 = λ 1 a1 ; b2 = λ 2 a 2 ,но тогдаРис.

1.4.1→→→a3 = λ 1 a1 + λ 2 a 2 ,→и векторы→→a1 , a 2 , a3 по лемме 1.4.1 линейно зависимы. Случай→коллинеарных→a1 и a2 рассмотрите самостоятельно.Теорема доказана.Свойства линейно независимых векторов1°.2°.3°.Один вектор линейно независим тогда и только тогда,когда он ненулевой.Два вектора линейно независимы тогда и только тогда,когда они неколлинеарны.Три вектора линейно независимы тогда и только тогда,когда они некомпланарны.→Теорема1.4.4.Если среди векторов→→{a1 , a 2 , ..., a n } имеется подмно-жество линейно зависимых, то и все векторы→→→{a1 , a 2 , ..., a n } линейно зависимы.34Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.Без ограничения общности можно считать, что линейно зависимы первые k < n векторов (иначе просто перенумеруем эти векторы), то есть существуют не равные нулю одновременно числаλ 1 , λ 2 , ..., λ k , такие, что→k→∑ λ i ai = o .i =1Построим нетривиальную линейную комбинацию векторов→→→{a1 , a 2 , ..., a n } , взяв в качестве первых k коэффициентовчислаλ i , i = [1, k ] и нули в качестве остальных.

Тогдаполучим, чтоn→k→∑ λ i ai = ∑ λ i ai +i =1i =1n→→∑ 0 ⋅ ai = o .i = k +1Теорема доказана.→Следствие1.4.1.Если среди векторов→→{a1 , a 2 , ..., a n } имеется хотя→бы один нулевой, то векторы→→{a1 , a 2 , ..., a n } ли-нейно зависимы.§ 1.5. Базис. Координаты вектора в базисеОпределение1.5.1.Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой.Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости.35Г л а в а 1 .