Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 3

1.1.1).Матрица, получающаяся в результате транспонирования матрицыTA , обозначается A .16Аналитическая геометрия и линейная алгебраРис. 1.1.1При транспонированииα11α 21α12α 22......α m1 α m 2α13α 23... α1n... α 2 n... ... ...α m3 ... α mnTα11α12= α13...α1nα 21 ... α m1α 22 ... α m 2α 23 ... α m3 ,... ... ...α 2 n ...

α mnто есть для элементов транспонированной матрицы Aвенствоα iTj = α jiTверно ра-∀i = [1, m] , ∀j = [1, n] .Операция транспонирования, например, не изменяет симметрическую матрицу, но переводит строку размера 1 × m в столбец размераm × 1 и наоборот.Детерминанты (определители) квадратных матриц2-го и 3-го порядковДля квадратных матриц существует специальная числовая характеристика, называемая детерминантом (или определителем) и обозна-17Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с нимичаемая как2det A . Описание свойств определителей квадратныхматриц n -го порядка будет приведено в главе 6, здесь же мы ограничимся рассмотрением случаев n = 2 и n = 3 .Определение1.1.9.Детерминантом (определителем) квадратной матриα11 α12цы 2-го порядканазывается числоα 21 α 22detОпределение1.1.10.α 11α 12α 21α 22= α11α 22 − α12 α 21 .Детерминантом (определителем) квадратной матрицы 3-го порядкаα 11α 12α 13α 21α 31α 22α 32α 23α 33называется чис-лоα11det α 21α 31α12α 22α 32α13α 23 = α11α 22 α 33 + α13 α 21α 32 +α 33+ α 12 α 23 α 31 − α 13 α 22 α 31 − α 12 α 21 α 33 − α 11 α 23 α 32 .Для определителей квадратных матриц справедливы следующиетеоремы:Теорема1.1.1.2Определитель матрицы 3-го порядка может бытьвыражен через определители 2-го порядка формулойследующего вида:Детерминант квадратной матрицы также часто обозначают при помощиодинарных вертикальных ограничителейK.

Мы не будем использоватьэту форму, чтобы избежать конфликта с представлением абсолютных величин, модулей, длин и норм.18Аналитическая геометрия и линейная алгебраα 11α 12α 13det α 21α 31α 22α 32α 23 =α 33= α 11 det+ α 13 detα 22α 23α 32α 33α 21α 22α 31α 32− α 12 detα 21α 23α 31α 33+,называемой разложением определителя по первойстроке.Доказательство.Данная формула проверяется непосредственно при помощиопределений 1.1.9 и 1.1.10.Замечания.1°.Формулы, аналогичные приведенной в формулировке теоремы 1.1.1, могут быть получены как для каждой из остальных строкматрицы, так и для любого из ее столбцов.Рис. 1.1.22°.Иногда подсчет значения определителя матрицы 3-го порядка удобнее выполнить последующему правилу:Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними19каждое слагаемое в определении 1.1.10 естьпроизведение некоторой тройки элементовматрицы, причем элементы, входящие в произведения, берущиеся со знаком «плюс», соединены в левой части рис.

1.1.2 сплошнымилиниями, а элементы, входящие в произведения, которые берутся со знаком «минус», –в правой.Непосредственная проверка показывает, что из определений 1.1.9и 1.1.10 вытекаетПри транспонировании квадратных матриц 2-гоСледствиеили3-го порядков их определители не меняются.1.1.1.В терминах определителей матриц второго порядка достаточноудобно формулируется условие однозначной разрешимости системыдвух линейных уравнений с двумя неизвестными.Теорема 1.1.2(Крамера).Для того чтобы система линейных уравненийα11ξ1 + α12 ξ 2 = β1 ,α 21ξ1 + α 22 ξ 2 = β 2имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобыdetα11α 21α12≠ 0.α 22Доказательство.Докажем необходимость.

Пусть данная система линейныхуравнений имеет единственное решение – упорядоченную паручисел {ξ1 , ξ 2 } , тогда должны быть справедливыми следующиеиз ее уравнений соотношения20Аналитическая геометрия и линейная алгебраξ1 (α11α 22 − α12 α 21 ) = (β1α 22 − β 2 α12 ) ;ξ 2 (α 11α 22 − α12 α 21 ) = (β 2 α11 − β1α 21 )илиξ1 ∆ = ∆ 1 ; ξ 2 ∆ = ∆ 2 ,гдеи∆ = det∆ 2 = detα11α 21α12β, ∆ 1 = det 1α 22β2α12α 22α11 β1.α 21 β 2 ∆ = 0,ξ1 ∆ = ∆ 1 ; ξ 2 ∆ = ∆ 2 не верны при  ∆1 ≠ 0∆ = 0,или при  ∆ 2 ≠ 0.РавенстваВтожевремя(проверьте это самостоятельно) при∆ = ∆1 = ∆ 2 = 0 коэффициенты уравнений исходной системы обязаны быть пропорциональными, и тогда у нее имеетсябесчисленное множество решений – пар чисел {ξ1 , ξ 2 } , таких,α11ξ1 + α12 ξ 2 = β1 .

Поэтому из условия существования иединственности решения следует, что ∆ ≠ 0.что∆ ≠ 0 , то исходная система линейных уравнений имеет решение { ξ1 , ξ 2 } , однозначно определяется значениями параметров α 11 , α 12 , α 21 , α 22 , β1 , β 2 иДокажем достаточность. Еслиформуламиξ1 =Теорема доказана.∆1∆иξ2 =∆2∆.Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними21§ 1.2.

Направленные отрезкиОпределение1.2.1.Отрезок прямой, концами которого служат точки A иB, называется направленным отрезком, если указано,какая из этих двух точек является началом и какая –концом отрезка.Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком.Будем обозначать направленный отрезок в виде AB, полагая, чтоточка A является началом отрезка, а точка B – его концом. Иногданаправленный отрезок представляется просто как a .

Длина отрезкаобозначается какAB или a соответственно.Действия с направленными отрезкамиОпределение1.2.2.Два ненулевых направленных отрезка AB и CDназываются равными, если их начала и их концы могут быть совмещены параллельным переносом одного из этих отрезков.Заметим, что в силу определения 1.2.2 параллельный перенос направленных отрезков не меняет.Пусть даны два направленных отрезкаОпределение1.2.3.a иb.b с концом a (то естьпостроим направленный отрезок b′ , равный b , начало которого совпадает с концом отрезка a ), тогдаСовместим начало отрезка22Аналитическая геометрия и линейная алгебраc , начало которого совпадаетс началом a и конец с концом b′ , называется суммойнаправленных отрезков a и b 3.направленный отрезокЭто определение иногда называют правилом треугольника(рис. 1.2.1).Рис.

1.2.1Отметим, что для операции сложения направленных отрезков:1)2)3)4)3обобщение правила треугольника на любое число слагаемыхносит название правила замыкающей, смысл которого ясен изрис. 1.2.2;операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма, равносильному определению 1.2.3 (см. рис. 1.2.3);a − b направленных отрезков a и b называетсянаправленный отрезок c , удовлетворяющий равенствуa =b+c;разностьюлюбой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.Для операции замены направленного отрезка на равный, но не совпадающийс ним направленный отрезок будем употреблять термин параллельный перенос направленного отрезка.Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними23Рис.

1.2.2Рис. 1.2.3Определение1.2.4.Под произведениемчислоλ a направленного отрезка a наλ понимают:при λ = 0 нулевой направленный отрезок,24Аналитическая геометрия и линейная алгебрапри λторого≠ 0 направленный отрезок, для ко-длина равнаλ a;направление совпадает с направлениемa , если λ > 0 ,направление противоположно направлениюa , если λ < 0 .§ 1.3. Определение множества векторовОпределение1.3.1.Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены описанные в § 1.2 операции:- сравнения (опр.

1.2.2);- сложения (опр. 1.2.3);- умножения на вещественное число (опр. 1.2.4),называется множеством векторов.Конкретный элемент этого множества будем называть вектором и обозначать символом с верхней→стрелкой, например,a.→Нулевой вектор обозначается символомТеорема1.3.1.o.Операции сложения и умножения на вещественноечисло на множестве векторов обладают свойствами:→1º. Коммутативности→→→a+b = b+a.25Г л а в а 1 . Векторы и линейные операции с ними2º. Ассоциативности→→→→→→a + (b + c ) = (a + b ) + c ;→→λ(µ a ) = (λµ) a .3º.

Дистрибутивности→→→→→→λ( a + b ) = λ a + λ b ;→(λ + µ ) a = λ a + µ a→для любых векторовных чисел λ и µ .→→a , b и c и любых веществен-Данные свойства следуют из определения множества векторов инуждаются в доказательстве. В качестве примера приведемДоказательство свойства коммутативности.→→Пусть даны два вектора a и b . Совместим начала этих векторови построим на них параллелограмм ABCD (рис. 1.3.1).Рис. 1.3.126Аналитическая геометрия и линейная алгебраПоскольку у параллелограмма противолежащие стороны па→→→→CD = a ; BD = b , нотогда, по правилу треугольника, из треугольников ACD ираллельны и имеют равные длины, то→→→→→→ABD следует, что AD = b + CD; AD = a + BD , то есть→→→→a+b = b+a.Теорема доказана.Замечания об определении векторов1°.Иногда вектор определяют просто как объект, характеризуемый числовой величиной и направлением.

Хотя формальнотакой подход и допустим, он может оказаться причиной некоторых проблем, суть которых иллюстрируется следующимпримером.Рис. 1.3.2Поток автомобилей (тоесть количество автомобилей,проезжающих мимо наблюдателя за единицу времени)на конкретной дорогеявляется объектом, дляхарактеристики которого нужно указать какего величину (числопроходящих за единицу времени автомашин), так и его направление.27Г л а в а 1 .

Векторы и линейные операции с нимиПредположим, что этот объект векторный (в смысле определения 1.3.1), и рассмотрим перекресток трех дорог, показанный на рис. 1.3.2, на котором сливаются два потокаавтомобилей по 500 автомашин в час каждый.Если суммировать потоки как векторы, то вместо очевидного результата 1000 а-м/ч мы получим (по правилу параллелограмма)заведомобессмысленноезначение2°.3°.500 2 ≈ 700 а-м/ч.

Отсюда следует, что хотя поток автомашин характеризуется числовым значением и направлением, но тем не менее вектором (в смысле определения1.3.1) не является.С другой стороны, необходимо иметь в виду, что определение множества векторов 1.3.1 допускает их дальнейшую, более тонкую дифференциацию.