Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов, страница 8

Произведения векторов– высота параллелепипеда с основанием S,откуда (см. рис. 2.6.1)→ → →V = (a , b , c ) .Наконец,→ → →(a, b, c ) =→ →→= | [ a , b ] | | c | cos α,что и позволяет сделатьзаключение о знаке смешанного произведения.Рис. 2.6.1Теорема доказана.Свойства смешанного произведенияДля смешанного произведения справедливы тождества:→ → →1°.→ → →→ → →( a , b , c ) = ( c , a , b ) = (b , c , a ) =→ → →→ → →→ → →= −( b , a , c ) = −( c , b , a ) = − ( a , c , b ) ;→ → →→ → →2°.(λ a , b , c ) = λ (a , b , c ) ;3°.( a1 + a 2 , b , c ) = ( a1 , b , c ) + ( a 2 , b , c ) ,→→ → →→ → →→ → →справедливость которых следует из определения смешанного произведения и теоремы 2.6.1.70Аналитическая геометрия и линейная алгебраОтметим, наконец, что смешанное произведение равно нулю, еслисреди сомножителей имеется хотя бы одна пара коллинеарных векторов.§ 2.7.

Выражение смешанного произведенияв координатах→Пусть задан правый базис→→→→→{g1 , g 2 , g 3 } и три вектора a , b и c ,координатные разложения которых в этом базисе имеют вид→→→→→→→→a = ξ1 g1 + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 , b = η1 g 1 + η 2 g 2 + η3 g 3 и соответст→венно→→→c = κ1 g1 + κ 2 g 2 + κ 3 g 3 .По свойствам векторного произведения имеем[a, b ] = detξ2η2→→→→где векторыξ3 →ξf 1 − det 1η3η1ξ3 →ξf 2 + det 1η3η1ξ2 →f ,η2 3→f 1 , f 2 , f 3 были определены в § 2.5. → → →( g , g , g ), k = j , и дляОткуда вытекает, что ( g k , f j ) =  1 2 3 0,k ≠ j,→→→ → →( a , b , c ) получаем→ →→→ →→((a, b, c ) = ([a, b ], c ) = κ1 det+ κ 3 detξ1ξ2η1η2)ξ2η2ξ3ξ− κ 2 det 1η3η1ξ1( g 1 , g 2 , g 3 ) = det η1κ1→→→ξ2η2κ2ξ3+η3ξ3→ → →η3 ( g1 , g 2 , g 3 ) ,κ371Г л а в а 2 .

Произведения векторовпоскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, являетсяразложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1.1.)Замечания. 1°. Из последней формулы и теоремы 2.6.1 следует справедливость теоремы 1.6.3.2°. В случае ортонормированного правого базиса→→ →( e1 , e2 , e3 ) = 1 , поэтому в таком базисеξ1 ξ 2 ξ 3→ →→(a, b, c ) = det η1κ1η2κ2η3 .κ3→3°. Для введенных в § 2.5 векторов→→f1 , f 2 , f 3 справед-лива→Тройка векторовТеорема2.7.1.→→{ f 1 , f 2 , f 3 } образует базис (назы→ваемый взаимным базису→→{g1 , g 2 , g 3 } ).Доказательство.Для→доказательства→достаточнопоказать,чтовекторы→f 1 , f 2 , f 3 линейно независимы.Пусть существуют числа λ 1 , λ 2 , λ 3 , такие, что→→→→λ1 f1 + λ 2 f 2 + λ 3 f 3 = o .Умножив последовательно обе части этого равенства скалярно→наg j , j = [1, 3] , получим→→→→→→λ 1 ( f1 , g j ) + λ 2 ( f 2 , g j ) + λ 3 ( f 3 , g j ) = 0 , j = [1,3] .(2.7.1)72Аналитическая геометрия и линейная алгебра→→( f i , g j ) , i = [1, 3] , j = [1, 3] имеемДля девяти выражений→ →α, i = j ,( fi , g j ) = , где α ≠ 0 .

Действительно, выраже 0, i ≠ j ,→→( f i , g i ) , i = [1, 3] суть смешанные произведения не-ния→→→g1 , g 2 , g 3 и потому отличны от ну-компланарных векторов→→( f i , g j ) , i ≠ j будут рав-ля. Остальные шесть выраженийны нулю как смешанные произведения векторов, среди которых имеется пара равных.Подставляя значения выражений в систему равенств (2.7.1),получим, что все λ i = 0 , i = [1, 3] , что доказывает линейную→зависимость векторов→→f1 , f 2 , f 3 .Теорема доказана.§ 2.8.

Двойное векторное произведение→Определение2.8.1.Двойным векторным произведением векторов→и→→ →c называется вектор [ a , [ b , c ]] .Для решения ряда задач оказывается полезнойТеорема2.8.1.Имеет место равенство→→ →→ → →→ → →[ a , [ b , c ]] = b ( a , c ) − c ( a , b )→ → →→a, b∀ a, b, c .73Г л а в а 2 . Произведения векторовДоказательство.→ → →Заметим, что если векторы a , b , c попарно ортогональны, тодоказываемое равенство очевидно, поэтому далее будем предпо→ →→ →( a , b ) и ( a , c ) не равны нулю одновременно.лагать, что числа→→→ →x = [ a , [ b , c ]].

По определению векторного произ-Обозначим→ведения вектор1º.По→ →свойствам→→x ортогонален как вектору [ b , c ] , так и a .→ →смешанногопроизведенияусловие→ → →( x , [ b , c ]) = ( x , b , c ) = 0 означает, что тройка векторов→ → →{ x , b , c } компланарная и в силу леммы 1.4.1→→→x = λ b+ µ c ,гдеλ и µ − некоторые числа.→ →2º.Из условия( x , a ) = 0 следует, что→→ →→ →→ →(λ b + µ c , a ) = 0 или λ( b , a ) + µ( c , a ) = 0 .→3º.Рассмотрим теперь векторщему набору условий:r , удовлетворяющий следую-→а)→r (так же как и вектор x ) принадлежит плоскости,→проходящей через векторы→ →б)→b и c;→ →( r , b ) = 0 и ( r , c ) > 0 .

(См. рис. 2.8.1.)Найдем теперь выражение для смешанного произведения вида→ →→ →→→→ →( a , r , [ b , c ]) = ( a , [ r , [ b , c ]]) . С одной стороны, по свойствам→ →смешанного произведения и в силу( r , b ) = 0 имеем74Аналитическая геометрия и линейная алгебраРис. 2.8.1→ →→ →→ →→ →→→→ →→ →( a , r , [ b , c ]) = − ( r ,a , [ b , c ]) = − ( r , [ a , [ b , c ]]) = −( r , x ) =→→→→ →→ →→ →= − ( r , λ b + µ c ) = −λ ( r , b ) − µ( r , c ) = −µ( r , c ).→С другой стороны, вектор→→ →→[ r , [ b , c ]] сонаправлен с b , то есть→ →→∃ κ > 0 такое, что [ r , [ b , c ] ] = κ b .

Поэтому→ →→ →→ →( a , r , [ b , c ] ) = κ( a , b ) .Значение κ найдем из соотношений→→→ →→→→→→ →κ b = [ r , [ b , c ] ] = r b c sin α sin(∠{ r ; [ b , c ]}) =→ → →→ → →π= r b c cos( − α) = ( r , c ) b2→ →⇒ κ = (r, c) ,75Г л а в а 2 . Произведения векторов→поскольку угол между→ →→ →r и [ b , c ] прямой. Значит,→ →→ →→ →(a , r , [b , c ] ) = ( a , b ) ⋅ ( r , c ) .→ →Приравнивая выражения для→ →→ →→ →( a , r , [ b , c ] ) , получаем→ →→ →− µ( r , c ) = ( a , b ) ⋅ ( r , c ) или µ = −( a , b ) .Наконец, из соотношения, полученного в п.

2º, находим, что→ →λ = (a, c ) .Теорема доказана.Альтернативное доказательство этой теоремы приводится в Приложении 4 (см. Прил. 4.5).§ 2.9. Замечания об инвариантности произведенийвекторовОперации векторных произведений были введены независимо откоординатного представления сомножителей и, значит, независимо иот используемого базиса. С другой стороны, естественным представляется вопрос о возможности (и соответственно целесообразности)дать определения операций произведения векторов непосредственнов координатной форме.→В общем случае каждой упорядоченной паре векторов→имеющих в базисе→→→a и b,ξ1{g1 , g 2 , g 3 } координатные представления ξ 2 иξ376Аналитическая геометрия и линейная алгебраη1η 2 , естественно поставить в соответствие девятку попарных произη3веденийξ k ηi ; k , i = 1, 2, 3 , которую можно записать в виде матри-цыξ1η1ξ1η 2ξ1 η 3ξ 2 η1ξ 3 η1ξ 2 η2ξ3η2ξ 2 η3 .ξ 3 η3(2.9.1)На первый взгляд, зависимость компонент этой матрицы от выбора базиса делает координатный способ введения произведений векторов малоцелесообразным, ибо придется давать их определение длякаждого из возможных базисов.Однако было замечено, что существуют некоторые линейные комбинации чисел ξ k η i ; k , i = 1,2,3 , инвариантные (то есть не изменяющиеся) при замене базиса, которые можно принять за определениепроизведений векторов в координатном представлении.Покажем в качестве примера, что сумма элементов матрицы 2.9.1,стоящих на ее главной диагонали, не меняется при переходе от одногоортонормированного базиса к другому.→ →Рассмотримдваортонормированныхбазисаσ11σ12σ13{e1 , e2 , e3 } с матрицей перехода S = σ 21σ 22σ 32σ 23 .σ 33→ →→σ 31→{e1′ , e′2 , e3′ } иСогласно § 1.8, в этом случае для базисных векторов имеют место→соотношения3→et′ = ∑ σ pt e p ; t = 1, 2, 3 , а для координат соответсp =177Г л а в а 2 .

Произведения векторовтвенно3ξ s = ∑ σ si ξ′i ;i =1Пусть3s = 1, 2, 3; η s = ∑ σ st η′t ;s = 1, 2, 3.t =1δ it – символ Кронекера (см. § 2.3), тогда из условия орто→ → →нормированности базисов→ →→3→ → →{e1′ , e2′ , e3′ } и {e1 , e2 , e3 } имеем→33→3→(ei′ , et′ ) = δ it = (∑ σ si e s , ∑ σ pt e p ) = ∑∑ σ si σ pt (es , e p ) =s =13p =1s =1 p =133= ∑∑ σ si σ pt δ sp =∑ σ si σ st ; t = 1, 2, 3 .s =1 p =1s =13Отметим, что соотношения∑σs =1Sсвойством матрицы переходабазиса к другому.Найдем теперьвыражениеsiσ st = δ it , i, t = 1, 2, 3, являютсяот одного ортонормированногодля→ →линейнойкомбинации→ξ1η1 + ξ 2 η 2 + ξ 3 η3 в базисе {e1′ , e′2 , e3′ } , используя зависимостимежду компонентами матрицы перехода и определение символа Кронекера:333∑ ξ η = ∑ (∑ σi =1iii =13s =133si333ξ′i )( ∑ σ st η′t ) = ∑∑ ξ′i η′t ∑ σ si σ st =t =1i =1 t =1s =13= ∑∑ ξ′i η′t δ it = ∑ ξ′t η′t .i =1 t =1Полученноеξ1η1 + ξ 2 η 2t =1равенство доказывает инвариантность суммы+ ξ 3 η3 при замене одного ортонормированного базиса78Аналитическая геометрия и линейная алгебрадругим, которая может быть принята в этих базисах за определениескалярного произведения векторов.Покажите самостоятельно, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису инвариантными также оказываются и линейные комбинации видаξ 2 η3 − ξ 3 η 2 ,ξ 3 η1 − ξ1η3 ,ξ1η 2 − ξ 2 η1 .Выясните, каков геометрический смысл этой инвариантности.79Г л а в а 3 .

Прямая и плоскостьГлава 3ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬКак было показано, использование системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точекпространства и множеством их радиусов-векторов. Это в свою очередь позволяет свести исследование свойств линий, поверхностей илител к изучению множеств радиусов-векторов, соответствующих точкам, образующим исследуемые геометрические объекты.Глава 3 посвящена методам описания и исследования свойств простейших геометрических объектов – прямой и плоскости – средствамивекторной алгебры. В главах 3, 4 и 5 настоящего пособия будут использоваться обозначения координаты по оси абсцисс через x , координаты по оси ординат через y и координаты по оси аппликат через z , равно как и стандартные формы записи уравнений.§ 3.1. Прямая на плоскости→Пусть дана система координат→{O, g1 , g 2 } на плоскости и пря-→мая L, проходящая через точкуr0 , с лежащим на ней ненулевым век-→торомa.→Определение3.1.1.Векторпрямойa называется направляющим векторомL.80Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема3.1.1.Множество радиусов-векторов точек прямой→ставимо в виде→L пред-→r = r0 + τ a , где τ – произвольныйвещественный параметр.Доказательство.→→Пусть r – некоторая точка на прямой L .