Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 7

В силу нормировки: ≮= | > − )∑︀(1) 2 | >= 1 получим |1 + | + ̸= | |2 = 1. Разложим первое слагаемое и оставим точность первого∑︀(1)*(1)(1)(1)порядка по . 1 + (1) + ⇒ Re = 0 ⇒ = , ∼ . | >= (1 + )| > + ̸= | > + ...,(1 + ) = , | >→ − | >. "Убиваем"фаз. множитель и получаем:|(1) >= | > +∑︁̸=| >< |ˆ | > (1), = 00 − 0∑︀^ |1⟩Рассмотрим изменение в.ф. осн.сост-я атома водорода в пост.эл.поле: |. ⟩ = |1⟩+ |⟩ ⟨|; ⟨|ˆ |11 −^ |1⟩- сильно затухает.

Тогда с хорошей точностью |. ⟩ ≃ |1⟩ + |20⟩ ⟨20|; . (⃗) = 1 (⃗) + 20 (⃗) · .1 −2‖Электрон равномерно размазан вокруг протона. В результате сложения получим смещение (направлениесмещения зависит от знака С). Возникает дипольный момент и поляризация.0|Условия применимости: для : | < |ˆ | > | ≪ |0 − 0 |; для : | < |ˆ | > | ≪ |0 − ±1Билет 38Что происходит или может произойти с вырожд.уровнем дискр.спектра под влиянием стац.возм-я?Выведите ф-лы,опр-е в-ры возмущ-х сост-й и эн-ии этих сост-й в низшем порядке теорˆ 0 | >=возмущений.В качестве примера обсудите (без детальных расчётов)эффект Штарка.

0ˆ >= | > , = 1,2,..., . Расщепление уров | > , = 1,2,..., , -кратность вырождения. |ней.∑︀∑︀∑︀(0)(1)ˆ 0 (∑︀ | >) = 0 (∑︀ | >)| >= , | >= , | > + , | > +.... - нет однозначной определенности. Если отключить взаим-е, не обязательновозвращениевтотже вектор∑︀∑︀(0)(0)состояния, возвр-е произойдет в любую лин. комбинацию.| = | >←→ , | >(0)(0)< |′ >= ′ ; < | ′ > ′ ⇒ + = 1 -унитарн. Ожидаем получить ответ:| >=(0)|(0)(0)(0)(0)< |ˆ | > ∑︁< |ˆ | > ∑︁ (0) < |ˆ | >;+>+| >| >| >0 − 00 − 00 − 0̸=,̸≠=∑︁(0)(0). Получили деление на 0. Этого можно избежать, если < |ˆ | >∼ .

Для энергий ожидаем: =0 +<(0)(0) |ˆ |(0)∑︁ | < |ˆ |> |2>+0 − 0̸=,(0)(1)(0) ˆ< | | >= -ключ.ур-е.(ур-е на матрицу смещения+на поправку 1 порядка)∑︀∑︀(1)′ ˆ*Перепишем в виде: ′ ′ < | | >= . Подействуем слева суммой и учтем, что∑︀(1)*= +′ дает ′ . Получим < |ˆ | >= .ее действие на ∑︁(1)(1) ( − ) = 0; det‖ − ‖ = 0 вековое(секулярное) ур-еРассмотрим эффект Штарка - атом водорода, находящийся в состоянии = 2, помещают в постоянноеи однородное электрическое поле, происходит расщепление уровня = 2. 2, = 0, = 0; 2, = 1, =2ˆ0, ± 1. 0 = − 22 ; = −.

В данном случае уравнение на поправку 1 порядка к энергии det‖ −(1)(1)(1)(1)(1) ‖ = 0 должно иметь 4 корня, решая его, находим: = 3⃗; 2 ,4 = 0,1 = −3,3 = 3∑︀∑︀(1)22→ 1,3 = − 8± 3; 2,4 = − 8. Затем, используя ( − ) = 0, а так же |⟩ = |⟩ (сучетом нормировки на 1) получаем:11|1 ⟩ = √ (|2 ⟩ − |20 ⟩); |2 ⟩ = |2−1 ⟩; |3 ⟩ = √ (|2 ⟩ + |20 ⟩); |4 ⟩ = |2+1 ⟩22Билет 39Как эволюционирует в-р сост-я квант.сис-мы под действием возм-я,завис.от времени?Рассмотрите случай,когда возм-е начинает действ-ть на сис-му,нах-ся в одном из невыр.сост-й дискр.спектра.Выведите ур-я,опред-е завис-ть от времени амплитуд разлож-я в-ра сост-я по в-мсост-й невозм-й сис-мы.Выведите ф-лу,опред-ю вер-ть перехода квант.сис-мы из одного сост-ядискр.спектра в другое под действ.слабого возм-я,действ.

в теч-е конеч.времени.Сформулируйте условие «слабости» возмущения. Что называют «адиабатическим возмущением»?ˆ 0 |⟩ = |⟩, = 1,2,...; ˆ = ˆ 0 + ˆ (). Пусть для возмущеНестационарная теория возмущения. |Ψ()⟩ˆˆˆния справедливо: () ≡ 0, < 0 → ~ = (0 + ())|Ψ()⟩ + усл-е: |Ψ(0)⟩ = |⟩. Стац. сост-я: ∑︀|Ψ ()⟩|⟩− ~ , < 0.

> 0: |Ψ()⟩ = ()|⟩− ~ . Система начинает переходить из одного состоянияв другое. () - ампл. вер-ти переходов.~∑︁˙ |⟩− ~∑︁∑︁ − −~− ~ˆ ()ˆ0~ = )+ ~+ ()|⟩(−()|⟩()|⟩~∑︁∑︀ спроецируем на ⟨|,⟨|⟩ = : ~˙ ()− ~ = ()⟨|ˆ ()|⟩−˙ () = −~∑︁ () ()( − )~ ~., (0) = ˆ 0 ⟩, ≪ 1. Ищем решение в виде: () = (0) () + (1) () + ..., (0) =Пусть возмущение мало: ⟨ˆ ⟩ ∼ ⟨∼1(0)(1)∼(0) (0) + (0) + ... = ⇒ = , все остальные 0.˙ (0) + ˙ (1) + ... = −~∼1∼∑︁(0)(1)( + + ...) ()∼1∼1(−− )~∼(0)()(0)˙ = 0 ⇒ = = (0) = (( − )∑︀∑︀ − )(1)(0)~~= − ~ () ()⇒˙ = − ~ () ()′´( − )(−)(1)(1)~= − ~ () ~ ; (0) = 0; () = − ~ (′ )′В 0-м прибл-ии:В 1-м прибл-ии:(1)˙ 0→+∞ˆ () действует в течение конечного времени.ˆ () −−−−→ 0→ = | (= ∞)|2 =1|~2+∞´ ()( − )~|2 , ̸= .0~Адиабатическое возмущение - медленное возмущение.

≫ | −; → ≃ 0, ̸= . (т.к. быстро осцилли|рующую экспоненту интегрируем в течение большого времени.) Переходов нет, вероятности сохраняются⇒ сохраняется энтропия.Билет 40Выведите ф-лу,кот-я опред.для квант.сис-мы вер-ть перехода в ед.времени из стац.сост-я внепр-й спектр под дейст-м период.возм-я(правило Ферми).В чем состоит усл-е применимостиэтой ф-лы?Как связаны вер-ть перехода в ед.времени и время жизни начального состояния?´( − )′(1)~Периодическое возмущение: ˆ () = ˆ − + ˆ + , (ˆ + () = ˆ ()), () = − ~ (′ )′0(1) ()= − ~ˆ( − −~)′~0 − *~ˆ′( − +~)′~0 − −~ − +~~~−1−1* = −− − − ~ − + ~′sin(︁( − −~)2~)︁( − −~)12~( ≃ +~) ≫ слаг.при * ∼⇒ (1) () ≃ − ··2~ − − − ~(︀ )︀2 Δ 22 sin(1)2~→ () = | ()| = 4| |, ∆ ≡ − ( + ~) = − - отстройка∆2слаг.при ∼Если переменное поле действует в течение ∆, то с вероятностью ∆∆ ≃ 2~ энергия не сохраняется.Проссумируем по всей полосе. Пусть на ∆ приходится ∆ состояний. Δ≡ () - плотность состояний.Δ→ () =∑︁→ () =∑︁Δˆ+∞ˆ+∞ ( Δ )sin 2~2 =→ ()∆ =→ ()() = {-медл.ф-я} = 4| | ( )∆2‖−∞⎛∆ = { =}=⎝2~2~ˆ+∞−∞−∞⎞→sin2 ⎠2 · 4| |2 ( ) =| |2 ( ); w =2~2|⟨ |ˆ |⟩|2 ( ) - золотое правило Ферми~Критерий применимости: работает на малых временах - → () ≪ 1.

Время жизни =w→ =1.wΔБилет 41Частица упруго рассеивается на неподв.центре.Что такое ампл. и диф.сечение рассеяния.Выпишите(без выв.)связь между ними.Выведите приближ. ф-лу для диф.сечения рассеяния(борновское приближение),пользуясь правилом Ферми.→∞⃗ (⃗) −−−→ ⃗ + ()пад./рас. 2 Ω; ()-ампл.упругого рассеяния; ==-диф.сечение.пад.пад.рас.

= | ()|2 Ω;Правило Ферми: ˆ () = ˆ − + ˆ + ; w ==~2 2;2(︁ ^2⃗2= | ()|2Ω2|⟨ |ˆ |⟩|2 ( ); ~⃗⃗′= + ~; = ⃗ ; = ⃗ ; ⃗ = ~⃗ .)︁+ (⃗) (⃗) = (⃗) + гр.усл.. Пусть потенциал слабый.ˆ 0 = ˆ 0 = }︃⃗^22ˆ 0 , (⃗) ≡ ˆ .≡~2 2~2 ′2 ⃗=; || = |⃗ ′ |; = ′22=Постоянный оператор - переменный оператор с = 0. w (⃗ − ⃗′ ) = 2|⟨ | (⃗)| ⟩|2 ( ). Упругое~рассеяние: = .ˆˆˆ*3−⃗′ ⃗⃗⃗ 3⟨ | | ⟩ = (⃗) = (⃗) = (⃗)⃗⃗ 3 ; ⃗- в-р передачи имп-са.Дискретность состояний оправдывается наложением "ящика".

Периодические гран условия. (0,,) =(,,); + = + ; = 1, остальное аналогично: = 2 ; = 2 ; = 2 ; ∆∆ ≃ 2~; =~2 2~2 ∆→ ∆ =2Нефиксируемость энергии соответствует нефиксированности |⃗|. Тогда число точек в объеме, определяе2 ΩΔ 2 ΩΔ= 2.мом ∆ и есть число состояний ∆ = банки2 2 =(2)3элем. √ ∆∆ 2 Ω 2 ==Ω = ~2 (2)3 Ω =∆(2)3 ~2(2~)3∆√√22w~′2w (⃗ − ⃗ ) =|⟨ | | ⟩|Ω;~==2; =; пад. =(* ∇ − ∇* )3~(2~)пад.2Учтем нормировку в.ф.: =√1⃗′ ⃗ , =√1⃗⃗ .~ 1 1~~⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗√ √ (−⃗ ∇⃗ − ⃗ ∇−⃗ ) =(−⃗ (⃗)⃗ − ⃗ (−⃗)−⃗ ) ==2 2ˆˆˆ√1 −⃗⃗1 ⃗⃗ 311(⃗−⃗′ )⃗ 3√ ⟨ | | ⟩ = (⃗) √ = (⃗)= (⃗)⃗⃗ 3 ; = 2√ ˆ(︁ )︁2 ˆ 2 2⃗⃗ 3 2 1 √ =| (⃗) | 2 Ω; =| (⃗)⃗⃗ 3 |2 Ω2(2~)3 ~2~2пад.

=Билет 42Какие требов-я предъявляют к ур-ю,опис.своб.рел.ч-цу?В чем сост.разл-е между подходами,один из кот-х приводит к ур-ю Клейна–Гордона,а другой—к ур-ю Дирака?Объясните,почемукоэф-ты и , входящие в ур-е Дирака,явл-ся матрицами 4x4.Какими доп.св-ми облад. этиматрицы?Получите ур-е Дирака для своб.ч-цы.(a)Найти ур-е непр-ти и явн.выр-я для плотн.вер-ти и плотн.потока вер-ти«дираковской»ч-цы(b)Объясните,как ур-е Дирака обобщ-ся на случай,когда ч-ца движ-ся в эм поле Ai .⃗ → ~ . Уравнение переходит в уравнение КлейнаСвободная частица: 2 = ⃗2 2 + 2 4 , ⃗ → ⃗ˆ = −~∇,2-Гордона: −~2 Ψ = (−~2 2 ∆+2 4 )Ψ. Для К-Г нужно 2 условия: Ψ(⃗,0) = 0 (⃗)(не дает полной информации о системе, приходится вводить доп условие - ) Ψ| = (⃗).

Это не понравилось Дираку и он решил, =00что нужен первый порядок по времени, а так же: = ,1 = ,2 = ,3 = , = (0 ,⃗), т.е. нужен 1-ыйпорядок по ,,.√︂(︂)︂2√︀√→~ ~2 ∆Ψ~2 ∆ 1 ~2 ∆√2222242224 = ⃗ + −−−−−→ ~= −~ ∆ + Ψ; ... → 1 − 2 2 = (1− 2 2 −−..⃗2 8 2 2⃗→−~∇1ˆ+ =Это(︂вовсе)︂не операторпервогопо координатам.

Вспомним о матрицах(︂)︂ (︂ порядка)︂(︂)︂ Паули. ⃗ = 2 ⃗ ,ˆ√0 10 −1 01 0ˆ,1 =, 2 =,, + = , = + , =,[ˆ ,ˆ ] = ˆ . =1 0 00 −10 1√︃(︂)︂(︂)︂√√√11 0? → ( )2 = → 1 = ±1,=±; (⃗⃗)2 = ( )( ) = ( + ) = ; =0 10 1√︀√︀√︀√⃗2 = ⃗⃗ ≡ 1 1 + 2 2 + 3 3 ; ⃗ = ⃗, = |⃗|, ⃗ ⃗ ; ⃗2 = ⃗2 = 2⃗2 = (⃗⃗) = ⃗ ⃗. В частности, если√︁√︁ = 0, то задача Дирака сводится к нахождению ⃗ˆ2 2 . ⃗ˆ2 2 = (⃗ ⃗ˆ) = −~(1 + 2 + 3 ). Теперь√︁√︁ˆ+ = ˆ →мы хотим ⃗ˆ2 2 + 2 4 = (⃗= ⃗ˆ2 2 + 2 4 Ψ; ⃗) + 2 , и - новые матрицы.

~ Ψ^0: + 2 2 4 =+ = , + = ; ( ˆ + 2 )( ˆ + 2 ) = (⃗2 2 + 2 4 ) → 2 ˆ ˆ + 3( + )ˆ ^ ^ + ^ ^ + ⃗ˆ2 2 + 2 4 ; ˆ ˆ = 2 = 2 ˆ ˆ = ˆ ˆ . Получили свойства: 1. 2 = , 2.= + = 2 −−→ 2 = , 3. + = 0. Выпишем дополнительные свойства: 4. Tr = Tr = 0,5. 2 = , 2 = ⇒ с.з. = ±1, 6. Для каждой эрмитовой матрицы существует такая унитарная матрица,которая ее диаганализует: ′ = + , ′ - диаг.

с с.з. ±1, Tr′ = Tr( + ) = Tr = 0 ⇒ матрицадолжна быть четных размеров. (2х2 не подойдет(матриц Паули всего 3 штуки, а для построения рел.уравнения нам надо 4 матрицы, размерностьих(︂ чётная,(︂)︂)︂ значит, возьмём 4), берем 4х4). Стандартное0 ⃗ 0представление матриц Дирака: ⃗=, =⃗ 00 −Ψ(⃗,)ˆ Ψ(⃗,), ˆ = (⃗⃗ˆ) + 2 ур-е Дирака=a) Ψ(⃗,) = (Ψ1 (⃗,),Ψ2 (⃗,),Ψ3 (⃗,),Ψ4 (⃗,)) - биспинор.

Получим уравнение непрерывности:1. Ψ+ |[~ Ψ= )︁(︁Ψ+Ψ+2+2 ++ Ψ⃗⃗+ Ψ ]|Ψ. Вычтем из верхнего нижнее: ~ Ψ + Ψ =−~⃗(∇Ψ)+ Ψ], 2. [−~ = ~(∇Ψ )⃗(︁)︁⃗⃗ +⃗ +−~ Ψ+ ⃗ (∇Ψ)+ (∇Ψ⃗ Ψ) → (Ψ+ Ψ) = −∇(Ψ⃗ Ψ)~ ++⃗(Ψ Ψ) + ∇(Ψ⃗ Ψ) = 0 - ур-е непрерывности, где = (Ψ+ Ψ), ⃗ = Ψ+ ⃗Ψ⃗ ,)) ≡ (Φ,).⃗ Задание 4-хмерного потенц. полноb) Введем вектор потенциал ( ) = (0 (⃗,),(⃗⃗1⃗ = −∇Φ⃗ −⃗ = rot .⃗ Лагранж. заряж. точ. частицы в м.

эм поле: =стью определяет поле: ; √︁2⃗ ; ⃗ = = √︁ ⃗ + ⃗ ≡ ⃗ + ⃗ - истинный импульс; = ⃗ ⃗ − =−2 1 − 2 − Φ + ⃗⃗21−2√︁21− 22+ Φ - истинная энергия=эн-я движ-я(эн-я покоя+кин.эн-я)+потенц.эн-я, если у нас стат. зада-⃗ 2 + 2 4 , → ~ ,⃗ → −~∇.⃗ча. 2 = ⃗2 2 + 2 4 → ( − Φ)2 = (⃗ − ))︁Ψ (︁⃗~= ⃗(⃗ˆ − )+ 2 + Φ Ψ - обощ-е ур-я Дирака на эм полеБилет 43Выпишите(без выв.)ур-е,опред.в.ф.своб.рел.ч-цы со спином 1/2.Получите реш-я этого ур-я.Какой эн-й может обладать ч-ца?Каков смысл реш-й с отриц.эн-й?Какой вид принимает в.ф.своб.ч-цы в нерелят.пределе(при положительной и отрицательной энергиях)?~Ψ(⃗,)ˆ (⃗) = (⃗)= ((⃗⃗ˆ) + 2 )Ψ⃗,; Ψ (⃗,) = (⃗)− ~ ; ˆ ,⃗ˆ] = 0 - коммутируют, значит существует общая система собственных векторов (плоские волны)[⎛ ⎞1⎜⎟ (︀)︀⃗⃗2⎟ (⃗) = ~ , = ⎜⎝3 ⎠ = .4{︃{︃(⃗ ⃗) + 2 = ( − 2 ) − (⃗ ⃗) = 0→(⃗ ⃗) − 2 = (⃗ ⃗) − ( + 2 )− = 0Разрешимость: det|...| = −( 2 − 2 4 ) + 2 ⃗2 = 0.