Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 8

Есть две ветви решений.√︀ = ± ⃗2 2 + 2 4Наличие отрицательных энергий означает, что электрон может провалиться в область с отрицательнымиэнергиями с испусканием кванта излучения, что противоречит опыту, поэтому Дирак предложил, что всеотрицательные уровни заняты электронами (море Дирака). Однако при приложении энергии возможенобратный переход с отрицательного уровня на положительный. Тогда на месте улетевшего электрона остается незанятое состояние - дырка. Она будет выглядеть как частица (электрон), но с противоположнымзарядом.Рассмотрим нерелятив.

предел ≪ .1. Пусть > 0.(︂ )︂ ⃗⃗−(⃗ ⃗) ≪ ; Ψ(⃗,) ≃ ~=2 + 02. Пусть = −|| < 0.(⃗ ⃗)=− ≪ ; Ψ(⃗,) ≃|| + 2(︂ )︂0 ⃗⃗− ~Билет 44Выпишите(без выв.)ур-е Дирака для ч-цы в эм поле.Покажите,что ур-е Дирака в«нерелятив.пределе»в 1-м порядке по v/c переходит в у-е Паули.Получите явн.вид оп-ра магн.момента«дираковской» частицы с зарядом e.)︁⃗Ψ (︁2ˆ= ⃗(⃗ − ) + + Φ Ψ - обощ-е ур-я Дирака на эм поле~(︀ ,))︀ − 2 2′ = 2 + ′ , ′ ≪ 2 ; − ~ = − ~ − ~ . Ищем решение в форме: Ψ(⃗,) = (⃗ ~ .(⃗,)(︂ )︂(︂ )︂(︂)︂(︂)︂(︂ )︂(︂ )︂(︂ )︂22222 − − ⃗ − −0⃗022−ˆ~~~=(⃗−++Φ ~ + ~ ) ~⃗ 00 −⎧⃗⎪22⎨ ~+ = ⃗ (⃗ˆ − )+ + Φ⃗ ⇒; ′ ,Φ ≪ 2 , упростим нижнее: 22 ≃ ⃗⃗ˆ − ) (⎪⎩ ~⃗ − 2 + Φ+ 2 = ⃗ (⃗ˆ − ) ^ ⃗⃗⃗ (⃗^− )⃗ ⃗(⃗− )= ⃗⃗ˆ − ) + Φ.

≃ 2 ∼ . Из верхнего уравнения получаем: ~ (2⃗ 2 (⃗ˆ − )11· (ˆ − ) (ˆ − ) =( + )(ˆ − )(ˆ − ) =+ (ˆ − )(ˆ − )2222Так как А - функция координаты, то в силу антисимметрии действует на , а на нет.2:0:0 :0 (ˆ − )(ˆ − ) = ˆ+(ˆ+ˆ)=−(ˆ)−−(ˆ+ˆˆ )2 (︀ )︀⃗ 2⃗ 2(⃗^− )(⃗^− )Получаем: 2+ − (ˆ ).

~ = 2− 2 (ˆ )+Φ; (ˆ ) = −~ (∇ );2⃗ = (rot )⃗ = (⃗,)[∇ × ]⃗ 2(⃗ˆ − )~⃗ + Φ~=−(⃗ )22⃗ = −⃗ − ~ (⃗ )⃗ˆ;⃗ˆ = ~ ⃗ -оператор магн.момента. ⃗ˆ = − ⃗22Билет 45Выпишите (без вывода) уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле.(a)Покажите,что оно инвариантно относительно калибровочных преобразований.(b)Выпишите(без выв.,с точн.до числ.множ)ф-лы для поправ. 2-го порядка по v/c к нерелят.гамильтониану взаим-я ч-цы с центр.эл.полем. Расскажите о физ.смысле этих поправок.Что такое спин-орбит.взаим-е?Объясните,как оно влияет на вырожд. ур-ни атома водорода.~)︁⃗Ψ (︁= ⃗(⃗ˆ − )+ 2 + Φ Ψ - обощ-е ур-я Дирака на эм поле⃗′ = ⃗ + ∇⃗ (⃗,); Φ′ = Φ − 1 (⃗,) .а) Калибровочные преобразования: ⃗ ⃗1 ′′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ′ = .⃗ Пусть Ψ′ (⃗,) = Ψ(⃗,)(⃗,) .( = (Φ(⃗,)(⃗,)), = −∇Φ − , = rot ) → = rot = ,′⃗ ′ )Ψ′ + 2 Ψ′ + Φ′ Ψ′Запишем уравнение Дирака: ~ Ψ= ⃗(⃗ˆ − ~ ⃗ ⃗ ⃗Ψ ⃗ ⃗⃗ −+⃗(−~∇()Ψ)− = ⃗(−~∇Ψ)+ΦΨ −~ Ψ −+2 ΨΨΨ∇ Ψ Ψ⃗ − ∇Ψ)⃗⃗ −⃗ + 2 Ψ + ΦΨ − Ψ− ~ Ψ = −~⃗(∇Ψ−⃗ Ψ⃗ ∇ −~ Ψ = −Ψ; ~⃗∇Ψ = ⃗(∇ )Ψ → ~ = ; (⃗,) = (⃗,); Ψ′ (⃗,) = Ψ(⃗,)(⃗,) ~√︁√︀2⃗^4222224ˆb) 1.

1 = − 83 2 - поправка к кинетической энергии. ( = ⃗ + − ≃ 1 + ⃗2 2 −2 ≃(︁)︁244⃗2{ ≪ } ≃ 2 1 + 2⃗2 2 − 8⃗4 4 − 2 ≃ 2− 8⃗3 2 );222. ˆ2 = − ⃗ 2 2 = ~2 2 (∆ ) - поправка Дарвина на нелокальность потенциала.~8 8 Пусть происходит излучение -кванта, это возможно при ∆ ∼ ~ 2 . Тогда квант кванту хватает энергии,чтобы распасться на позитрон и электрон. Позитрон аннигилирует с начальным электроном → излучаетсяновый квант, он поглощается новым электроном. Конец.

Первый квант может улетать на ∆ ∼ ¯ ~комптон.длина волны (∆ ∼ ∆ ∼ ≡ ¯ ). Получаем размытие. Т.е. эл-н может исчезнуть и появитьсяв точке на расстоянии комптоновской длины. Все точки такой области равноправны! |∆⃗| ∼ ¯ . (⃗) →< (⃗ +∆⃗) >= (⃗)+ < (⃗ +∆⃗)− (⃗) >, второе слаг - усредн-е по всем возможным напр-м ⃗.

(⃗ +∆⃗) =0:⃗⃗ (⃗) + 1 (∆) (∆) ∇ ∇ + ...; < (⃗ + ∆⃗) − (⃗) >= <∆⃗ >(∇) + 1 < ∆ ∆ > ∇ ∇ = (⃗) + ∆⃗∇2(︀ ~ )︀211 (∆⃗)2 ∇ ∇ = 16 ¯ 2 ∇ ∇ ∼ (∆ ).2 3 2′ˆ3. ˆ3 = ~22 ()ˆ⃗). ⃗-полный момент, ⃗ 2 = ⃗2 + 2⃗⃗ + ⃗2 ,2 (⃗2уср.по сфере⃗⃗ - спин-орбитальное взаимодействие. Элементы соспином по орбитальному моменту и против будут обладать различными полными моментами.Билет 46Бесспин.заряж.нерелят.ч-ца движ-ся в пост.и однор.магн.поле.Постройте в.ф.этой ч-цы.Чтотакое уровни Ландау?Явл-ся ли эти ур-ни вырожд.?Если да,то найти кратн.выр.этих уровней.⃒⃒⃒ ⃗ ⃗ ⃗ ⃒ ⃗ 2ˆ⃒⃒ˆ ) = (⃗); ⃗ = rot (⃗⃗ ); ⃗ = ⃗ ; [∇ × ]⃗ = ⃒∇ ∇ ∇ ⃒⃗ ; = , = 0; ˆ = (⃗ − ) ; (⃗‖⃒⃒⃗2⃒ ⃒⃗ Мы выберем: ⃗ = (0, · ,0).Существует множество различных .11 2ˆ ] = 0, [,ˆˆ ] = 0,[,ˆˆ ] ̸= 0; [ˆˆ = (ˆ=(ˆ + ˆ2 − 2ˆ · + ˆ2 ); [,ˆ ,ˆ ] = 02 + (ˆ − · )2 + ˆ2 )22ˆ ,ˆИмеется система с.ф.

общая для ,ˆ . С.ф. гамильтониана будем искать в классе собственных функций( + )~операторов импульса - плоские волны. Пусть (,,) = (). Подставим в уравнение. Когда ˆи ˆ будут действовать на , они будут действовать на свою с.ф. и мы будем получать с.з. и .)︂(︂ 2( − )2( − )2222ˆ++() = ();() +() =( − ) ()222222 ()кин.эн-я вдоль м.поля(︀ )︀2 (︀)︀22( − )2 20)Рассмотрим () и осц. . 2 = (−. − = 2 2 ( − 0 )2 ⇒ по аналогии ⇒ 0 =2, = -циклотронная ч-та. Для осциллятора было: (⊥ ) = ~( + 12 ).

В нашем случае получаемуровни Ландау:( + )21~ = + ~( + ); = ()22В.ф. зависит от , , , а E от , . Получается, что уровни Ландау вырождены.Поле ограничено площадью и помещено в ящик. Из гран условий получим =чтобы частица поместилась в ящик, нужно 0 < 0 < , где 0 = ⇒0<2~ , ∈ , но т.к.,2~ ℎ < ; 0 <; 0 < <;-кратность вырождения <2~ 2~Билет 47Как выглядит стац.ур-е Шредингера для гелиепод.атома(без релят.поправок и в прибл.беск.тяж.ядра)?От каких перем-х зависит в.ф.гелиепод.атома?Написать усл-е норм.для этой в.ф.Получите(с объяснениями)ф-лы,приближ.(в пренебр.кул.отталк.эл-в)описывающие:(a) волновую функцию и энергию основного состояния гелиеподобного атома,(b) в.

ф. и эн-ии возбужденных состояний гелиеподобного атома.Что такое обменное взаим-е?Как оценить точность использованного метода?ˆˆ(1 ,2 ) = (1 ,2 ); (1 ,2 ) = −(2 ,1 ); =2∑︁22⃗ˆ2)+; = (⃗ , )( −212=1a) Спиновая функция в данном случае не нужна (не "работает")2ˆ 1 ,⃗2 ) = (⃗1 ,⃗2 ); ˆ =ˆ0 + = ˆ 0 + ˆ(⃗122 2ˆ 0 0 (⃗1 ,⃗2 ) = 0 0 (⃗1 ,⃗2 ) → 0 (⃗1 ,⃗2 ) = 1 1 1 (⃗1 )2 2 2 (⃗2 ); 0 = − ( 1 + 1 )2 21 22 2 20.. (1 ,2 ) = 1 (⃗1 )1 (⃗2 )(1 ,2 )00=−= 1 (⃗1 )1 (⃗2 ); ...В.ф. меняет знак при перестановке, радиальные нет, следовательно спиновая должна менять.1=0, =0 (1 ,2 ) = √ ((1 )(2 ) − (1 )(2 ))2b) Рассмотрим возбужденное состояние.1+ (1 ,2 ) = (⃗1 ,⃗2 ) (1 ,2 ); = 0,(1,2) = −(2,1),(1,2) = (2,1); = 1,(1,2) = (2,1),(1,2) = −(11+ (⃗1 ,⃗2 ) = √ (1 (⃗1 ) (⃗2 ) ± (⃗1 )1 (⃗2 )); = 0,+; = 1, −22 2 21(1)(1 + 2 ); 1+ = ⟨ (0) | | (0) ⟩ = ± 212Оператор не зависит от спина, получим 6-энмерный интегралˆ2 = |1 (⃗1 )|2 | (⃗2 )|2 3 1 3 2 > 0 - прямой(у каждой ч-цы свое сост-е)12ˆ2** = 1 (⃗1 ) (⃗2 ) (⃗1 )1 (⃗2 )3 1 3 2 - обменный (ч-ца может нах-ся как в одном, так и в др.

со12(0)1+ = −(1)Как оценить точность? Чтобы оценить точность, нужно посчитать поправку первого порядка .. . Она52. Условие применимости:85гелия) 16 < 1, но не сильно, поэтомуравна(1)|.. | ≪ | − ±1 |0.В нашем случае:грубо метод можно применить.(1)..(0)..=5.8При = 2(атомБилет 48Что называют вариационным методом поиска в.ф. и эн-й осн.сост-й квант.сис-м?Рассмотритев кач-ве примера(без дет.выв.)поиск эн-ии и в.ф.осн.сост-я атома гелия.ˆВариационный метод: Нужна .

для .1) Возьмем пробную ф-ю координат и N вариационных параметров: (,1 ,2 ,..., )ˆ () = (); 1 ≤ 2 ≤ 3 ...,⟨ | ⟩ = .2) Воспользуемся теоремой: ˆТогда ⟨||⟩=∑︀1.∑︀ ≤ 1 , ∀,⟨|⟩ˆˆ ⟩ = ∑︀ | |2 = 1 |1 |2 + 2 |2 |2 + ...,⟨||⟩ˆ(△ : = + ,⟨||⟩ = * ⟨ ||≥ 1 (|1 |2 +|2 |2 + ...) = 1 ).ˆУ нас: ⟨||⟩= (1 ,2 ,..., ) ≥ 1003) (1 ,..., ) → ,10 ,20 ,...,⇒ (,10 ,20 ,...,) - наилучшее приближение к .. .Как пример рассмотрим He:21(0).. (⃗1 ,⃗2 ) = 1 (⃗1 )1 (⃗2 ) ∼ − − . Внутренний электрон экранирует внешний и наоборот. ⇒ → * (1 +2 )* * < .

(⃗1 ,⃗2 , * ) = − = (−1 )(−2 ). Пусть = . Из условия нормировки: 2 =∑︀∑︀* 2⃗^2Найдем () = =1,2 ⟨1 2 | 2 − |1 2 ⟩ − =1,2 ( − * )2 ⟨| 1 |⟩ + 2 ⟨| 112 |⟩ =*2 2* 2* 2= − − 2( − * ) + 2 58 25 25; = − ( − 16) = ..(( * )) = 0 → * = − 16 *(︀ 16−5 )︀2 − 16−5 ( + )12.. = 16 163.Билет 49Напишите гамильтониан сложн.атома без учёта релят.поправок.В чём суть приближ.методовХартри и Хартри–Фока,использ.для описания сложн.атомов?Что такое самосоглас.поле?Каквыглядит гамильтониан сложн.атома в рамках этих прибл-й?Что такое терм сложн. атома?)︃(︃2ˆ2∑︁ 2∑︁⃗ˆ =−+2< =1Рассмотрим приближенные методы Хартри и Хартри-Фока.Метод Хартри: Ψ(1 ,..., ) = 1 (1 )2 (2 )... ( ), ⟨ | ⟩ = .

Каждая функция определяется (одночастичным) ур-м Шредингера.Представим,что покоится, а остальные движутся.2 ∑︁ ( ) = −+̸=ˆ| (⃗ )|22 3 - потенциал i-го эл-на)︃⎧ (︃ˆ2⎪⎨ ⃗ + ( ) ( ) = ( ) 2Ур-я Хартри:⎪⎩ = 1,2,...,Красиво, физически понятно, но явно неправильно! (ˆ Ψ ̸= −Ψ).Фок сообразил, как это исправить. Уравнения Хартри следуют из вар. метода. Фок считает, что Ψ =1 (1 )... ( ) - пробная функция, такая, что ( ) - неизвестна, а остальные известны. По вар. принципуˆпостроим ⟨Ψ||Ψ⟩и min, найдем .ˆ⟨Ψ||Ψ⟩= ⟨ |∑︁22⃗ˆ2 2 ∑︁⃗ˆ2 2−| ⟩++ ⟨ | | ⟩| = +⟨ | −+ ⟨ | | ⟩| ⟩ → 2 )2 ̸≠=Минимум будет, если = ..