Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 4

сост-й спадают в пределе x → ±∞. Объясните (без детального вывода), каков вид в.ф.n (x) стац. сост-й и нарисуйте(не заботясь о масштабах)графики этих функций для первых3-4 стационарных состояний. Каков спектр линейного осциллятора (без вывода)? Покажите,что в.ф. общего вида, описывающая эволюцию линейного осцил-ра, периодична во времени.Линейным гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую малые гармонические колебания около положения равновесия. Гамильтониан линейного осциллятора имеет вид222ˆ = ˆ + 1 2 2 = − ~ + 1 2 22 22 2 2Решим стационарное уравнение Шредингера~2 ′′ 22~2 ′′ 1ˆ + 2 2 = ⇐⇒ − () + () =(); =()= () ⇒ −222~~√︂, =~~− ′′ () + 2 () = 2()Исследуем асcимптотику решений на бесконечности, т.е.

при → ±∞. Пренебрегая слагаемым 2(),малым по сравнению с 2 (), получим2→∞ ′′ () ≃ 2 () ⇒ () = − (() −−−→ 0)Проверим, что () - решение:22 ′ () ≃ −2 +1 − = −2; ′′ () ≃ 42 +2 − = 42 2 ⇒ 42 = 1 ⇒ =2Полное решение ищем в виде: () = ()− 2 , () =либо 0 → 2 → ... → ̸= 0 → 0 → 0..., = + 121 ≡ 0 → 3 = 0 → 0...либо 0 ≡ 0 → 2 = 0 → 0...∑︀=0,1,... , +2 =21⇒ () = − 22 (2−2+1).(+2)(+1)1 → 3 → ... → ̸= 0 → 0 → 0..., = + 12Зануление "руками"− выбор четного или нечетного решения.2 () = ()− 2 ; = ~( + 12 ), = 0,1,2,...1 )~(+ 2∑︀ ∑︀−= − 2⇒ |(,)| = |(, + )|, =(,) = ()− ~ ()2Есть два пути:Билет 24Каким ур-м определяются векторы стац. сост-й и уровни эн-ии линейного гармон.осцил-ра?Опишите метод установления спектра линейного осцил-ра, основанного на введении оп-впонижения ^a и повышения ^a+ .

Выведите ф-лу для спектра линейного осцил-ра. Получитеф-лу, связывающую n-й в-р сост-я |n > с вектором основного сост-я линейного осцил-ра.⎧2 22⎨ − ~ ′′ () + () = () 22⎩→±∞ −−−−→ 0Мы можем найти спектр задачи(︃зная только [ˆ,ˆ] = −~.1. Подготовка:обезразмерим (поделим на ~) ≡⃗ˆ2 2 ˆ2+22,ℎ̂~=^;~)︃| ⟩ = | ⟩ℎ̂|⟩ = |⟩; |⟩ ≡ | ⟩.)︂(︂ 2ˆ1 2 ˆ21ˆ 2=+ = (ˆ + )ℎ̂ =~2 ~~2 √︂1ˆ[ˆ ,] = √(−~) = −; ˆ = − ,ˆ = ~~ˆ2 + ˆ2 = (ˆ2 − ˆ )(ˆ2 + ˆ ) + 1⎧⎪ˆ + ˆ⎪⎪ˆ≡ √⎨12→ [ˆ,ˆ+ ] = 1,ℎ̂ = ˆ+ ˆ+ˆ⎪ + − ˆ2⎪⎪⎩ˆ = √2[ℎ̂,ˆ] = [ˆ+ ˆ]ˆ = −ˆ; ℎ̂ˆ−ˆℎ̂ = −ˆ⇒ˆ+ ℎ̂ − ℎ̂ˆ+ = −ˆ+ ; ℎ̂ˆ+ = ˆ+ (ℎ̂ + 1)ℎ̂(ˆ|⟩) = ˆ(ℎ̂ − 1)|⟩ = ( − 1)(ˆ|⟩)Предположим, что − 1 = −1 ⇒ ˆ|⟩ ∼ | − 1⟩ с точностью до константы.111⟨ˆ|ˆ⟩ = ⟨(−1)|(−1)⟩ = ||2 ⟨−1|−1⟩ = ||2 ; ⟨ˆ|ˆ⟩ = ⟨|ˆ+ ˆ|⟩ = ⟨|ℎ̂− |⟩ = ( − )⟨|⟩ = −222√︁√︁√︁ˆ|⟩ = − 21 | − 1⟩; = 0 = 12 ; ˆ|0⟩ = 0 − 21 = 0.||2 = − 21 ≥ 0 → ≥ 12 ,∀.

Пусть = − 12 . |0⟩ → 0 = 12 . |1⟩ → 1 = 0 + 1 = = ~( + 12 ), = 0,1,2,...3...2= + 21 . Только дискретные состояния лин. осциллятора.Подробней: ℎ̂(ˆ+ |⟩) = ˆ+ (ℎ̂ + 1)|⟩ = ( + 1)(ˆ+ |⟩) = +1 ′ | + 1⟩. Найдем ′ .1111 1⟨ˆ+ |ˆ+ ⟩ = |′ |2 ; ⟨ˆ+ |ˆ+ ⟩ = ⟨|ˆˆ+ |⟩ = {ˆˆ+ −ˆ+ ˆ = 1; ˆˆ+ = ˆ+ ˆ+1 = ℎ̂− +1 = ℎ̂+ } + = + + = 2222 2√︁√ = + 1; = −′12√︁= + 12 −12=√. Получили операторы понижения и повышения:⎧√ˆ|⟩ = | − 1⟩⎪⎨√ˆ+ |⟩ = + 1| + 1⟩⎪⎩ˆ|0⟩ ≡ 0ˆ+ |0⟩ = |1⟩ → |1⟩ = ˆ+ |0⟩√ˆ+ |1⟩ = 2|2⟩ → |2⟩ = √12 ˆ+ |1⟩ =√ˆ+ |2⟩ = 3|3⟩ → |3⟩ = √13 ˆ+ |2⟩ =...(^+ )2√ |0⟩2(^+ )3√ |0⟩3!|⟩ =(ˆ+ )|0⟩!Билет 25Что такое квазиклассическое приближение?При каких усл-х оно справедливо?Вывести выр-едля в.ф.

ч-цы в квазиклас. прибл-ии в классически разрешенной и клас. запр-й областях. Бездет.вывода объясните,как в рамках квазикл.прибл-я найти знач-я,кот-е может принимать эн-яч-цы.Что такое:правило Бора–Зоммерфельда и фазовый объем,прих-сяЕсли дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим.

Тогда локально () ∼ ± ~ , тогда мыбудем искать решение в виде: () = ()=2+ ()2 (1 ) = (2 ) = 2 () = 2( − ()){︃ˆΨ()=EΨ()Ψ() → 0, → ±∞2ˆ = ˆ + ()2−~2· Ψ′′ () + ()Ψ() = Ψ()22 ()Ψ′′ () + 2 Ψ() = 0~Если = , тоΨ() ∼ (±2~~), =,¯=~Если << |2 −1 | или ¯ << где - характерный масштаб изменения потенциала, то Ψ() ∼ (± ())~′ () ∼()~⇒ ∼ ′ >> ¯⇒|~′| << 12- это условие применения квазиклассикиВывод ВФ в квазиклассике:1.Ψ() ∼ (()), () ∼Ψ′′ () +∼= >> 1~~~2 ()Ψ() = 0~2⇒Ψ′ () = ′ (), Ψ′′ = () − ( ′ )2 ()⇒ ′′ − ( ′ )2 +2 ()=0~2′| << 12. Приближение ¯ << или | ~2() = 0 () + 1 () + 2 () + ...0 ∼¯, 1 ∼ 1, 2 ∼¯()2(0′′ + 1′′ + 2′′ + ...) − (0′ + ...)2 + 2 = 0~ˆ(′ )′()⇒ 0 () = ± 0 )( )+ 00′ () = ±~~(1′ =0′′= · (|0′ |)′202⇒√︀1 () = ( |0′ |) + 1 = (()) + 2ˆ ˆ √︀(′ )′(′ )′) · (− |()|) = √︀)(±Ψ() ≈ (0 + 1 ) = (±~~|()|00√︀() = 2( − ()На графике три области:III:√︀2( () − ) = |()|ˆ 1(−) → 0, → +∞ < () : () = Ψ () = √︀|()|II:Ψ = √︀()I:ˆ· sin(12ˆ 2(′ )′′(′ )′· sin(+ ) = √︀+ ′)~~()Ψ () = √︀()ˆ· sin(1(′ )′→ 0, → −∞)~Правило квантования Бора-Зоммерфельда:ˆ1() = 2~( + ), = 0,1...2(Условие на энергию)() =√︀2( − ())Фазовый объем (объем в фазовом пространстве) для n-го уровня энергии:1Γ = 2~( + )2Билет 26Что называют туннельным эффектом?В каких случ.для его опис-я может быть использованоквазикл.

прибл-е?Выведите выр-ие для в.ф. ч-цы в классически запрещ.обл-ти.(Без дет.выв.)объясните,как выглядит ф-ла для вер-ти прох-я ч-цы сквозь потенц. барьер в квазикл. прибл.Тунельный эфеект - явление прохождения частицы через потенциальный барьер. (В классической механике барьер непроницаем для частицы, в квантовой же механике частица может пройти сквозь него сотличной от нуля вероятностью)~′<< 12Значит, применимо квазиклассическое приближениеˆ 2ˆ 22|()|2; = || ≃ (− ·Ψ = √︀ ; || ≈ exp −())~~ 1||1Расмотрим движение частицы в поле на рисунке.

С потенциальным барьером(потенциальная энергия () превышает полную энергию )Пусть квазиклассическая волновая функция в области справа от точки поворота = имеет вид´бегущей волны: = √ ( ~ + 4 )Найдем волновую функцию: положим: − () ≈ 0 ( − ), 0 > 0´ √√1Запишем ввиде: () = (20 )1/4 (−)20 − + 4 )1/4 ( ~ − = ´ √+ cos 3) − = 23 3/2 (− sin 322Фаза меняется от 0 до . При обходе справа налево по полуокружности () сначала убывает, затемвозрасает по модулю и в конце равно:´ √︀11() = (20 )1/4 (−)1/4() 20 ( − ) + 4~/4Находим правило соотвествия:´´11√√(+)→(||~4~||<<Пусть частица попадает барьер из области I слева направо.

тогда в области III - волна прошедшаячерез барьер волна, распростроняющаяся вправо.√︁´ = exp( ~ + 4 ), где = / -скорость частиц, а D-плостность потока в волне.По правилу соотвествия, находится ВВ в области II:√︁√︁´´´exp( ~1 | |) = ||exp( ~1 | | − ~1 | |) = ||В области пере барьером:√︁´´ = 2 exp( ~1 ||) cos( ~1 − 4 )Положим = exp(− ~2 ||) ⇒ =√2cos( ~1´ + 4 ) =√1exp( ~´+ 4)+4Падаюшая волнаКоэффициент прохождения через барьер и есть вероятность прохождения.√1exp(− ~´− 4)4Отраженная волнаБилет 27Частица движется в центрально симметричном потенциальном поле U(r).Объясните, как используются в этой задаче сферические гармоники Ylm (,).

Каким диф. ур-м удовл-т сфер.гармоники?Как зависят функции Ylm (,) от углов (без дет. выв.) и (с дет. выв.)?(︂)︂~2~21 21ˆ2ˆ+ () = −∆ + () = −− ∆, + () = (); = |⃗|; =222 2 21 21 sin +- угловой лапласианsin sin2 2ˆ ˆ2 ] = 0 ⇒ с.ф. ˆ2 будут с.ф. для .ˆ Поэтому решениеМожно показать, что ˆ2 = −∆, ,[ (),ˆ2 ] = 0 ⇒ [,естественно искать в виде: (⃗) = () (,).)︂⎧ (︂1 21 ⎪{︃⎪−sin + (,) = ( + 1) (,)⎨ˆ2 (,) = ( + 1) (,)sin sin2 2→ˆ (,) = (,)⎪⎪⎩ − (,) = (,)∆, =Ищем решение в виде (,) = ()().−()= () → () = ,( + 2) = (), 2 = 1; = 0, ± 1, ± 2,.., = 0,1,2,...1 2−sin () +() = ( + 1)()sin sin2 Замена = cos , = 1−sin = − sin (︂− sin )︂(︂)︂2() = ( + 1)()sin − sin () +1 − 2 22( − 1) () +() = ( + 1)()1 − 2Решение - присоединенные полиномы Лежандра.

≥ 0 : (,) = ()* < 0 : (,) = (−1) −(,)Билет 28Как выглядит стац. ур-е Шредингера, описывающее ч-цу в центр. поле U(r), в декартовых исферических координатах? В какой форме ищется в.ф. ч-цы в центр. поле? Выведите ур-едля рад. в.ф. Объясните, какому усл-ю нормировки удовлетворяет радиальная ф-я.Рассмотрите в кач-ве примера водородопод. атом и установите,как изм-ся рад.в.ф.

при r → 0,r → ∞.2ˆ = ; − ~ ∆ + () = 2∆=ˆ22∆,221 21 2+−++==2 2 22 22 2Ищем решение в виде: (⃗) = () (,). (,)- собственные функции ˆ2 Для ():(︂)︂~21 2( + 1)−−() + ()() = ()2 2 2Делаем замену () =()1 ′′ ()1 2 ′=(()−())=2 2 (︂)︂22~ ′′~ ( + 1)− () ++ () () = ()2222(0) = 0, водородоподобный атом () = − . Обезразмерим =−~2, 2=2,=,= . ~2 ′′ ~2 ( + 1) 2+− = 2 22 222 1 ( + 1) 1− () = ()− ′′ () +22 2−′′ () +( + 1) 2−() = 2()22 = −2 , т.к. ищем связные состояния, то < 0.ˆнорми-ка:()|(⃗)| = 1, = (,);23(︂ˆ|()|2 2 2)︂ (︂ˆ ˆ)︂ ˆ∞| (,)| Ω = |()|2 = 120 → ∞, ′′ () − 2 () = 0() = − ; ′ () = −1 − − − = − − ; ′′ () = 2 − → 0, ′′ () −(+1)()2=0() = ; ( − 1) = ( + 1) → = + 1Билет 29Что в квант.

теории называют полным набором физ. величин? Каков этот набор в случаеводородопод. атома?Выпишите ур-е, кот-е определяет в.ф. стац. сост-й водородопод.атома и его энерг-й спектр.Выведите з-н,по кот-му рад.в.ф. связанных сост-й зависят от rв пределах r → 0,r → ∞.Объясните(без дет. выв.),какой вид имеют эти рад.ф-ии и нарисуйте(не заботясь о масштабе)графики этих ф-й для первых 3-х энерг-х сост-й. Каков (без выв.)спектр водородоподобного атома?Что называют атомной системой единиц?Полным набором наблюдаемых квантовой системы называют максимальный набор взаимнокоммутирующих наблюдаемых.

(Из википедии: Полная система коммутирующих наблюдаемых (ПСКН) — множествокоммутирующих самосопряжённых операторов, описывающих квантовые наблюдаемые и определяющихобобщённый базис пространства чистых состояний квантовой системы. Это понятие впервые было предложено Дираком и является одним из основных в квантовой механике. Обобщенные собственные значенияоператоров ПСКН называются квантовыми числами. Чистое состояние — это полностью указанное квантовое состояние. Если данный квантовый объект (например, какая-то элементарная частица) находится вчистом состоянии, это означает, что у нас есть вся информация о нем.