Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 3

системы?Покажите,что оп-р поворота явл-сяˆунитарным. Каким образом оп-р поворота связан с оп-м углового момента ⃗ физ. системы?(a) Объясните, как в квантовой теории из изотропии пространства выводится з-н сохраненияуглового момента. Пользуясь свойствами оператора поворота, найдите явный вид оп-раˆорбитального момента ⃗ частицы в координатном представлении.ˆ(b) Выпишите (без вывода) коммутационные соотношения для операторов ^ji (i = 1, 2, 3) и ⃗ 2 .Что называют состояниями|jm >?Пользуясь коммутационными соотношениями,установите,ˆкакие знач-я принимают физ. величины, соответствующие оп-м ^ji и ⃗ 2 , в состояниях |jm >(c) Объясните (без подробностей), как выводятся коммутационные соотношения для оп-в^ji (i = 1, 2, 3).

Вычислите коммутатор [ˆ ,⃗ˆ 2 ].Какие физ. величины соответствуют оп-м ˆ ,⃗ˆ 2 ?Какие из них явл-ся одновр-но измер-ми? Каковы (б.в.) числ-е знач-я этих велич. в|jm >?(d) Введите операторы j± и, вычислив коммутаторы [^jz ,^j± ], докажите, что они являются оп-миповышения и понижения.Найдите матр. эл-ты < jm|^j± |jm′ > и получите явные выр-я для ^jiв представлении в-в |jm > для случая спина j = 1/2. Что называют матрицами Паули?Переход от одной декартовой системой осей (1) к другой (2), повернутой системе может быть осуществляться вокруг единичного вектора ⃗ на угол .ˆ )|, 1⟩.

⟨|(⃗ˆ )⟩ = ⟨(⃗ˆ )|⟩⃗ = ⃗ вектор поворота. |, 2⟩ = (⃗+−1ˆ (⃗ˆ ) = ˆ (⃗⇒) = (−⃗) - унитарность оператора.Аналогично предырущему вопросу:^⃗ˆ ) = − ~⃗ , где ⃗ˆ - векторный эрмитовый оператор не зависящий от времени:(⃗ˆ (⃗ˆ )] = 0 → [,ˆ ]ˆ = 0 → условие изотропии пространства приводит к сохраняющийся векторной[,ˆвеличине , отвечающей .По аналогии с классической механикой ˆ - оператор углового момента.a) При вращении на малый угол ⃗: ⟨⃗ − [⃗ × ⃗]|; 1⟩ = ⟨|; 2⟩.|; 2⟩ = −^⃗⃗~⃗^|; 1⟩ + (1 − ⃗~ )|; 1⟩.⃗ˆ 1⟩⟨⃗|; 1⟩ = [⃗ × ⃗]∇⟨⃗|; 1⟩ = ⟨⃗|; 1⟩ − ⃗⟨⃗||;~⇓⃗ˆ⟨⃗||⟩−⃗[⃗ × ∇]⟨⃗|⟩ = − ⃗~^⃗ˆ⃗ˆ = −~[⃗ × ∇] = [⃗ × ⃗ˆ] - оператор орбитального момента.

⃗ˆ = ⃗ ; [ˆ , ˆ ] = ˆ⟨⃗||⟩= −~[⃗ × ∇]; ~⃗^ ˆˆˆ ˆ ˆb) ⃗ = ~ ; ⃗ 2 = ⃗2 +⃗2 +⃗2 ; [ˆ , ˆ ] = ˆ ; [ˆ 2 ; ˆ⎧] = 0 ⇒ существует общая система собсивенных векторов.⎨ ⃗ˆ 2 |⟩ = ()|⟩ˆ2 ˆ⃗|⟩ - собственные векторы операторов и ; ⟨| ′ ′ ⟩ = ′ ′⎩ ⃗ˆ |⟩ = |⟩ - проекции вектора ⃗ на ; () - квадрат длины углового момента. Найдем какие значения могутпринимать () и .1) () > 0; 6 ()33∑︀∑︀ˆˆ() = ⟨|⃗ 2 |⟩ =⟨|⃗2 |⟩ =⟨ˆ |ˆ ⟩ > 0=1=133∑︀∑︀ˆˆˆˆˆ() − = ⟨|⃗2 − ⃗2 |⟩ =⟨|⃗2 |⟩ =⟨⃗ |⃗ ⟩ > 02=1=1^ ^^ −^−2) Введем операторы ˆ± = ˆ ± ˆ ; ˆ− = (ˆ+ )+ ; = + +2 − ; ⎫ = +2.ˆˆˆˆˆˆ+ˆ− = (ˆ + ˆ )(ˆ − ˆ ) = ⃗ 2 − ⃗2 − [ˆ ; ˆ ] = ⃗ 2 − ⃗2 + ⃗ ⎬→ [ˆ;ˆ− ] = 2ˆˆ−ˆ+ = (ˆ − ˆ )(ˆ + ˆ ) = ⃗ˆ 2 − ⃗ˆ2 + [ˆ ; ˆ ] = ⃗ˆ 2 − ⃗ˆ2 − ⃗ˆ ⎭3) Вычислим коммутаторы: [ˆ ; ˆ+ ] и [ˆ ; ˆ− ][ˆ ; ˆ± ] = [ˆ ; ˆ ] ± [ˆ ; ˆ ] = ˆ ± (−ˆ ) = ˆ ± ˆ = ±ˆ±⇓ˆ ˆ± = ˆ± (ˆ ± 1)Заметим, что ˆ (ˆ± |⟩) = ± ( ± 1)|⟩ = ( ± 1)(ˆ± |⟩)ˆ+ |( − 1)⟩ = |⟩; ˆ− |⟩ = |( − 1)⟩.2 6 () → ∃ = − ; = ; = −.ˆ+ |⟩ = 0 → +1 = 0; ˆ− | − ⟩ = 0 → − = 0.4) ˆ− |⟩ ∼ |( − 1)⟩; (ˆ− )2 |⟩ ∼ |( − 2)⟩.

(ˆ− ) |⟩ ∼ |( − )⟩ = | − ⟩.⇒ − = − ⇒ = 2 - целые и полуцелые значения - угловой момент ∀ = −, − + 1, ..., ; |⟩ − 2 + 1 - состояния при фиксированном .⏟⏞2+1 чисел5) ˆ 2 |⟩ = ()|⟩ т.к. () - не зависит от то положим = = ; ˆ 2 |⟩ = ()|⟩.ˆ 2 |⟩ = (ˆ−ˆ+ + ˆ + ˆ2 )|⟩ = ( + 1)|⟩ = ( + 1)|⟩⇓() = ( + 1){︃⃗ˆ 2 |⟩ = ( + 1)|⟩ˆ |⟩ = |⟩Вычислим и * = ⟨|ˆ+ |( − 1)⟩ = ⟨ˆ − |( − 1)⟩ = ⟨( − 1)|ˆ + |⟩* = - достоточно найтиˆ 2 − ˆ 2 + ˆ )|⟩ = (( + 1) − 2 + )|⟩.ˆ+ˆ− |⟩ = ˆ+ |( − 1)⟩ = | |2 |⟩; ˆ+ˆ− |⟩ = (⃗+Выберемфазывекторовсостояний|⟩:=∈R√︀√︀ = 2 + − 2 + = ( + )( − + 1) = ⇓{︃0,′ ̸= − 1 , ′ = − 1{︃0,′ ̸= + 1 , ′ = + 1√︀ˆ− |⟩ = ( + )( − + 1)|( − 1)⟩ → ⟨|ˆ+ |′ ⟩√︀ˆ+ |⟩ = ( − )( + + 1)|( + 1)⟩ → ⟨|ˆ− |′ ⟩d) рассмотрим частиц в собственным угловым моментом =| 21 21 ⟩, | 12 − 12 ⟩ - базис в пространстве спиновых состояний∑︀ 11| 2 ⟩|⟩ =⟨ |⟩=± 1⏟2 ⏞12(спин) → ˆ2амплитуда вероятности)︂ (︂ )︂11⟨ 2 2 |⟩= + () =⟨ 21 − 12 |⟩(︂() =(* * ); ⟨|⟩ = 1 = ||2 + ||2 .Найдем вид спиновых оперторов в пространстве базисных векторов | 21 ⟩ˆ → (ˆ )′ = ⟨ 21 |ˆ | 21 ′ ⟩ где (ˆ , ˆ ) - аналогичны{︃(︂)︂2ˆ⃗ |⟩ = ( + 1)|⟩1 0111→ ˆ = ⟨ 2 |ˆ | 2 ⟩ = 2= 12 0−1ˆ⃗ |⟩ = |⟩(︂)︂0 1^+ +^− 1 ′11 ′11 11 ′1 11 ′1ˆ = ⟨ 2 |ˆ | 2 ⟩ = ⟨ 2 | 2 | 2 ⟩ = 2 ⟨ 2 |ˆ+ | 2 ⟩ + 2 ⟨ 2 |ˆ− | 2 ⟩ = 2= 12 10(︂)︂(︂)︂0 10 −^+ −^− 1 ′11 ′11 11 ′1 11 ′11ˆ = ⟨ 2 |ˆ | 2 ⟩ = ⟨ 2 | 2 | 2 ⟩ = 2 ⟨ 2 |ˆ+ | 2 ⟩ − 2 ⟨ 2 |ˆ− | 2 ⟩ = 2=2= 12 −1 0 0⃗ˆ = [⃗ˆ × ⃗ˆ] = −~[⃗ × ∇]c) Оператор углового момента:⃒⃒⃒ ⃒⃒⃒⃗ˆ = ⃗^ = −[⃗ × ∇] = − ⃒ ⃒~⃒ ⃒⃒⃒ˆ = −( − ); ˆ = −( − ); ˆ = −( − ); ˆ = − ∇ .

[ˆ ; ˆ ] = ˆ ; [ˆ ; ˆ ] = ˆ .ˆ2ˆ⃗Вычислим коммутатор [ ; ]:ˆ⃗2 = ⃗ˆ2 + ⃗ˆ2 + ⃗ˆ2 → [ˆ ; ⃗ˆ2 ] = ∑︀[ˆ ; ⃗ˆ2 ].ˆ ]ˆ = [;ˆ ]ˆˆ + [ˆ ;ˆ ];ˆ [;ˆ ˆ]ˆ = [;ˆ ]ˆˆ + [ˆ ;ˆ ].ˆ[ˆ;22ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[3 ; ∑︀1 ] = 1 (2 ) + (2 ) = (1 2 + 2 1 ); [3 ; 2 ] = 2 (−1 ) + (−ˆ1 )ˆ2 = −(ˆ1 ˆ2 + ˆ2 ˆ1 ); [ˆ3 ; ˆ32 ] = 0.→ [ˆ3 ; ˆ2 ] = 0ˆˆˆ⇒ [ˆ3 , ⃗2 ] = 0 ⇒ [ˆ ; ⃗2 ] = 0 ;одновременно измеримы - ⃗ 2 и ˆБилет 19Что называют оп-м орбитального момента частицы? Докажите, что орбитальный моментˆсохраняется в центральном поле. Напишите (без вывода), как выглядят оп-ры ⃗ 2 и ˆ вкоорд. предст-ии (в декарт-х и сферич-х координатах).

Что называют сферическимигармониками? Почему орбитальный моментчастицывсегда кратен постоянной Планка ~?⃒⃒⃒⃗ ⃗ ⃗ ⃒⃒⃒^ˆ = [⃗ˆ,⃗ˆ] = −~[⃗ × ∇]; ⃗ˆ = ⃗ = −[⃗ × ∇] = ⃒ ⃒ → = − ∇ = 1 ~~⃒ ⃒⃒⃒Покажем, что орбитальный момент сохраняется в центральном поле. Проверим условия на первый интеграл.ˆ2 ˆˆ = ⃗ + (); [,ˆ ˆ ] = 0= 0; 21)~[ˆ ,⃗ˆ2 ] = ˆ ⃗ˆ2 − ⃗ˆ2 ˆ = (−~2 )(−~) 2 − (−~2 )(−~) 2 = [~3 ]··( 2 − 2 3− 2 ) = −2 (~ ) = 2 ˆ ˆ ~ = 2~ ˆ ˆ [ˆ ,⃗ˆ2 ] = 2[⃗ × ⃗] = 02)~[ , ()] = ˆ () − () ˆ = [ () + () − () ](−~) = ·(︂)︂ ′ ()′ = 0·(−~) () = −~ () = −~ - первый интеграл → угловой момент сохраняется.[ˆ ,ˆ ] = ˆˆ[⃗2 ,ˆ ] = 0ˆ ˆ ] = 0 → существует общая система собственных векторов операторов ,ˆ ⃗ˆ2 ,ˆ[,ˆ ⃗ˆ2 ] = 0[,(︀)︀ˆ2 ⃗,2 = − sin1 sin − sin12 В сферических координатах ˆ = − 2 = −∆, .(︁)︁(︀)︀^ˆ = − ~2 1′ 2 − ⃗22 + ().2 ˆСобственные функции операторов ⃗2 и ˆ - сферические гармоники (,).{︃⃗ˆ2 (,) = () (,)→ () = ( + 1), = 0, ± 1,..., ± → (2 + 1)только целые проекции!ˆ (,) = (,)ˆ = ~ˆ, где у ˆ только целые проекции, всегда кратен постоянной ПланкаТак как Сферические гармоники образуют полный базис (ОНБ) на сфере.Билет 20Частица обладает спином 1/2.

Объясните, какие значения могут принимать проекции в-распина на оси x, y, z и на произвольный единичный вектор ⃗, а также квадрат вектора спина.Приведите явные выражения для операторов указанных величин. = 12 на выбранное направление проекции может принимать значения = ± 12Это(︂ легко)︂показать, найдя собственные значения соответствующей матрицы Паули:1 01 = 20 −1⎧11 11⎪⎨ ⃗ˆ| ⟩ = ( + 1)| ⟩22 2211⎪⎩ˆ | ⟩ = | ⟩22| 21 21 ⟩ и∑︀| 21 − 12 ⟩ - образуют полный базис в пространстве спиновых состояний частицы|⟩ = =± 1 | 12 ⟩⟨ 21 |⟩2где ⟨ 12 |⟩ - амплитуда веротяности того, что измерения проекции спина на Z, в состоянии |⟩ дастзначение Наборамплитуд⃒⃒ ⃒⃒- спинор⃒⃒ этих⃒⃒⃒⃒ ⟨ 1 1 |⟩ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ = ⃒⃒ ⃒⃒ = ⃒⃒⃒⃒ 1 2 2 1⟨ 2 − 2 |⟩ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒+ = ||* * ||+ = 1- условиянормировки(︂)︂0 111 = 2 = 2(︂ 1 0 )︂0 − = 12 = 21(︂ 0 )︂1 0 = 12 = 120 −1(︂)︂cos sin −111 = 2 ⃗⃗ = 2 ( + + ) = [ = (sin cos , sin sin , cos )] = 2sin − cos (︂)︂ˆ 2 = 3 1 0 = 1 ( 1 + 1) = ( + 1)⃗ˆ2 = 14 ⃗42 20 11s принимает значения 2 и − 12 , таким образом, 2 может принимать значения 41 и 34Билет 21Спиновоесостояние частицы со спином 1/2 описывается нормированным на 1 спинором(︀ )︀ = ba .

Объясните, каков физический смысл величин a и b. Чему равны средние значенияпроекций спина на оси x,y и z в этом состоянии? = 12 на выбранное напрвление проекции может принимать значения = ± 21⎧11 11⎪⎨ ⃗ˆ| ⟩ = ( + 1)| ⟩22 2211⎪⎩ˆ | ⟩ = | ⟩22111| 2 − 12 ⟩ - образуют полный базис в пространстве спиновых состояний частицы| 2 2 ⟩ и∑︀|⟩ = =± 1 | 12 ⟩⟨ 21 |⟩2где ⟨ 12 |⟩ - амплитуда веротяности того, что измерения проекции спина на Z, в состоянии |⟩ дастзначение Наборамплитуд⃒⃒ этих⃒⃒ ⃒⃒, ⃒-⃒ спинор⃒⃒ ⟨ 1 1 |⟩ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ = ⃒⃒ ⃒⃒ = ⃒⃒⃒⃒ 1 2 2 1⟨ 2 − 2 |⟩ ⃒⃒ ⃒⃒ ⃒⃒+ = ||* * ||+ = 1- условиянормировки(︂)︂0111 = 2 = 2(︂ 1 0)︂0 = 12 = 21(︂ 0 )︂1 0 = 12 = 120 −1⟨ ⟩ = ⟨|ˆ |⟩ = + ˆ a)(︂)︂ (︂ )︂0 11 * *+ ˆ = 2 ( )(︂1 0)︂ (︂ )︂0 + ˆ = 21 (* * ) )︂(︂ 0 )︂ (︂10+ ˆ = 12 (* * )0 −1Билет 22В чём сост.задача слож-я угл.

моментов в квант.теории?Что такое коэф-ты Клебша–Гордана?(a) Как связаны между собой индексы, используемые при записи этих коэффициентов?Установите знач-я угл. момента j, возникающего при сложении угловых моментов j1 и j2 .(b) Объясните на примере сложения моментов j1 = j2 = 1/2, как вычисляются эти коэф-ты.Выпишите спин. ф-ии 2-x ч-ц со спинами 1/2, соотв-е сост-м с опред-м полным спином S.а)Пусть имеется две системы с 1 и 2 .

Каждая определена в своем кофигурационном пространстве.[ˆ1 , ˆ2 ] = 0 ∀, .21ая: ˆ1 |1 1 ⟩ = 1 (1 + 1)|1 1 ⟩; ˆ1 |1 1 ⟩ = 1 |1 1 ⟩; где 1 = −1 , −1 + 1,..., 1 .22ая: ˆ2 |2 2 ⟩ = 2 (2 + 1)|2 2 ⟩; ˆ2 |2 2 ⟩ = 2 |2 2 ⟩; где 2 = −2 , −2 + 1,..., 2 .22объединенная система "1+2"характеризуется набоом коммутирующих операторов ˆ1 , ˆ1 , ˆ2 , ˆ2 ивекторами |1 1 2 2 ⟩ ≡ |1 1 ⟩|2 2 ⟩; (21 + 1)(22 + 1) штук22ˆ ˆˆВведем оператор полного углового момента 1 и 2: ⃗ = ⃗1 + ⃗2 . Возник новый набор ˆ1 , ˆ2 , ˆ, ˆ .Набор их общих собственных функций: |(1 2 )⟩ ≡ |⟩22ˆ1 |(1 2 )⟩ = 1 |(1 2 )⟩; ˆ2 |(1 2 )⟩ = 2 |(1 2 )⟩.ˆ 2 |(1 2 )⟩ = ( + 1)|(1 2 )⟩; ˆ 2 |(1 2 )⟩ = |(1 2 )⟩.Задача сложения состоит в том, чтобы по изветным 1 и 2 , а так же |1 1 ⟩ и |2 2 ⟩ установить , 1 , 2и вид векторов∑︀ состояний |(1 2 )⟩ ≡ |⟩|1 1 ⟩|2 2 ⟩|⟩ = 1 ,2 1 1 2 2где 1 1 2 2 - коэффициенты Клебша-Гордана22Действуем наоператорами ˆ1 , ˆ2 → найдем1 = 1 (1 + 1), 2 = 2 (2 + 2)∑︀это разложение1) |⟩ = 1 ,2 (1 + 2 )|1 1 ⟩|2 2 ⟩ ⇒ = 0, если ̸= 1 + 21 1 2 21 1 2 2∑︀⇒ |⟩ = 1 1 2 (−1 ) |1 1 ⟩|2 − 1 ⟩2) = = 1 + 2 = 1 + 2 → = 1 + 2при 1 = 1 = 1 и 2 = 2 = 22 1 +22 1 +2| ⟩11+|1 1 ⟩|2 2 ⟩ ⇒ 11+=11 2 21 2 23) Пусть = |1 − 2 | причем 2 6 1 тогда = 1 − 2Полнoе число собственных векторов:1 +2∑︁=2∑︁+∑︁1 = 2(22 + 1)1 −2(1 − 2 ) + (1 + 2 )+ (22 + 1) = (21 + 1)(22 + 1)2-как и должно бытьb) 1 = 2 = 21 → | 12 1 ⟩| 12 2 ⟩; ˆ = ˆ1 + ˆ2 ; = 1( = −1,0),0( = 0).∑︀|⟩ = 1 ,2 | 1 1 ⟩| 12 2 ⟩; = | 12 12 ⟩; = | 12 − 12 ⟩.1 1 2 2 211 111 1 1 1 | 2 1 ⟩| 2 2 ⟩ ≡ (1)(2)2 2 2 2ˆ ≡ ˆ − ˆ = ˆ1− − ˆ 2−√︀ˆ− |⟩ = ( + )( − + 1)| − 1⟩√︁√︀(1 + 1)(1 − 1 + 1)|10⟩ = (ˆ1− | 12 12 ⟩))| 12 21 ⟩ + | 21 12 ⟩(ˆ2− | 21 21 ) = ( 12 + 12 )| 12 − 21 ⟩ + | 12 12 ⟩| 21 − 12 ⟩|10⟩ = √12 | 21 12 ⟩| 12 − 12 ⟩ + | 12 − 21 ⟩| 12 − 12 ⟩ = √12 ((1)(2) + (1)(2)) 10= 10= √1211 1 1− 12 12 12− 1222 2 2√ˆ− |10⟩ = √1 ((1)ˆ2− (2) + (1)ˆ1− (2)) = 2(1)(2)2√︀√(1 + 0)(1 − 0 + 1)|1 − 1⟩ = 2|1 − 1⟩ 1−1=11−1 1−122 22|00⟩ = 00(1)(2) 00(1)(2)1 1 11− 12−1 1−12 2 2⏟ ⏞⏟ 2 2⏞2 2==⟨00|00⟩ = 1 ⇒ ||2 + ||2 = 1⟨10|00⟩ = 0 ⇒ √12 + √12 = 0 ⇒ = − = √12|00⟩ = √12 (1)(1) − √12 (1)(1)Нечетный спин - симметричен; четный спин - антисимменртичен.Билет 23Что называют линейным гармоническим осциллятором? Напишите стационарное уравнениеШредингера в координатном представлении и выведите закон, по которому волновые ф-иистац.