Затеханные билеты с небольшими опечатками

Потный квантмех в LATEXФедотова МарияМуталова Ренатапри поддержкеБедраня ЗахараБерезутского АлександраКараваевой НаталииКарпушкина НиколаяСтельмаха ИванаШайкиной Анастасиипредставляют29 декабря 2016 г.Билет 1Частица(a) свободно движется в интервале 0<x<a между беск-но высокими потенц-ми стенками2 2(b) движется вдоль оси x в потенциальном поле U(x) = m2 x .Какие значения могут принимать коорд-та x, имп-с p, эн-я E (b—без вывода) частицы?Приведите явные выражения для операторов указанных величин.ˆ =;Операторы: ˆ = ; ˆ = −~ А)^22+ () - оператор полной энергии⎧⎪⎨ − ∞, < 0 () = 0, 0 < < ⎪⎩ ∞, < I. < 0 : 1 (0) = 02~II.

0 < < : − 2”2 = 2 ;III. > : 3 () = 0~2”2 2+ 2 = 0; ={︃Сшивка:√︁2; 2 ()~2= + 1 (0) = 2 (0)2 () = 3 ()1. 2 = 1 (0) = 0 ⇒ = 02 () = = 0; ̸= 0 ⇒ = 0 2 ~2 2 = = , = 1,2,3...; = 22 , = 1,2,3...√︁´ 22. Нормировка: 0 || = 1 ⇒ = 2√︁ () = 2 sin( )Вне ямы: = 0 ⇒ ∈ (0, ) ∈ (−∞, +∞); p принимает непрерывные значения (но то что энергия дискретна не мешает импульсубыть непр,потому что мы для энергии рассматриваем только стационарные состояния(n = 1,2,3,4,5),ностационарные состояния не единственны есть и другие , но которые мы не рассматриваем или вероятностьих реализации мала)22 ; ∈ (−∞, +∞); = ~( + 12 ) p принимает непрерывные значения ∈ (−∞, +∞)Б) () = 2Далее следует вывод, который не требуется в билете:⃒⎧22 2⃒~1⎨−”() +() = ()⃒⃒ ×22~⎩() → 0, → ±∞ 2~ 2 = ~; − 21 = + 12 () = ()2~⏟ ⏞2−() + 2 () = 2(); =√︀ ~...

() = ()⏟ ⏞Полиномы Эрмита2 − 2(−1) 2 () =0 = 1; 1 = 2; 2 = 4 2 − 2... = + 12 ⇒ = ~( + 12 )2− 2 - внутри параболамиБилет 2Волновая функция Ψ(r̃,t) описывает эволюцию состояния частицы в потенциальномполе (⃗). Что называют плотностью вероятности и плотностью потока вероятности?Выведите уравнение, связывающее эти величины (уравнение непрерывности).Плостность вероятности: = |Ψ(⃗, )|2ˆ , )= Ψ(⃗Уравнение Шредингера: ~ Ψˆ2ˆ = ⃗ + (⃗)2⃒⃒Ψ~2~=−∆Ψ + Ψ⃒⃒ × Ψ*2⃒⃒Ψ*~2**⃒Cопряженное: − ~=−∆Ψ + Ψ ⃒ × Ψ2Вычитаем из верхнего нижнее, в итоге получим:~(Ψ*ΨΨ*~2 *+Ψ)=−(Ψ ∆Ψ − Ψ∆Ψ* )2~ *(Ψ Ψ) = −(Ψ* ∆Ψ − Ψ∆Ψ* )2Заметим, что∇(Ψ* ∇Ψ* − Ψ∇Ψ* ) = ∆Ψ* ∇Ψ + Ψ* ∆Ψ − ∇Ψ∇Ψ* − Ψ∆Ψ* = Ψ* ∆Ψ − Ψ∆Ψ*Тогда получим:~=−∇(Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* )2Плотность потока вероятности:⃗ = ~ (Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* )2= −∇⃗+ div ⃗ = 0 - уравнение непрерывностиБилет 3Какую роль в квантовой теории играют операторы? Какие оп-ры называют линейными,эрмитово сопряженными, эрмитовыми, унитарными? Почему оп-р физ.

величины долженбыть эрмитовым? Что называют одновременно измеримыми величинами? Выведите соотн-енеопределённостей для величин, которые не являются одновременно измеримыми.(a) Являются ли составляющие радиуса-вектора r̃ и импульса p частицы одновр-но измеримымвеличинами? Если «нет», то сформулируйте соот-я неопр-тей для этих составляющих.(b) Являются ли проекции спина s = 21 частицы на оси x, y и z одн-но изм-ми величинами?Если «нет», то сформулируйте соотношения неопределённостей для этих проекций.Оператор в квантовой механике — это линейное отображение, которое действует на волновую функцию,являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы.^ˆ () = () () −→ (); ^ˆˆ = |⟩ Если ∀ ∈ Ω ,∃ ∈ Ω,Аналогично можно представить в любом пространстве: −→ |⟩= |⟩ˆтогда - оператор в Ωˆ 1 |1 ⟩ + 2 |2 ⟩) = 1 |ˆ 1 ⟩ + 2 |ˆ 2⟩Определение - оператор называние лилейным если (∀1 , 2 ∈ C , ∀1 , 2 ∈ ΩОпределение - ˆ+ - эрмитово сопряженный по отношению к ˆ на Ω, если ∀, ∈ Ω →ˆ = ⟨ˆ+ |⟩ ≡ ⟨|⟩ˆ *⟨|⟩Если ˆ = ˆ+ то оператор называется эрмитовымОпределение- - унитарный оператор, если + ≡ + = , где - единичный операторˆ ⟩ = | ⟩; | ⟩ - собственный вектор, соответвует собственному значению a.(на картинкеВозмем ; |не дискретные спектры, а дискретный спектр) : → | ⟩, = 1,2,3..., → |⟩ ∈ Естественно принять, что любой физической величине А соответсвует линейный и эрмиторый операторˆ такой что:1) Cобственные значения ˆ есть значения, которые принимает .2) Собственные векторы есть состояния, в которых наблюдается .Заметим, что физические величины действительны, а значит собственные значения оператора, описывающего ее, должны быть действительными, то есть оператор должен быть эрмитовым.Определение - , называются одновременно измеримыми, если ∃ общая система собственных вектоˆров операторов ˆ и ˆ=ˆ ˆ ⇒ [,ˆ ]ˆ =Теорема , - назыв аются одновременно измеримыми тогда и только тогда, когда: ˆ0ˆ=ˆ+Теорема Пусть → ˆ = ˆ+ ; → ˆ ]ˆ = ˆ ̸= 0 Тогда ∀ ∈ Ω → ⟨(∆)2 ⟩⟨(∆)2 ⟩ > ⟨⟩2[,4ˆ⟨⟩ ≡ ⟨||⟩⟨(∆)2 ⟩ ≡ ⟨|(ˆ − ⟨⟩)2 |⟩ = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2То же самое для В∆ˆ = ⏟ ˆ⏞ − ⟨⟩ ⇒ ∆ˆ = ∆ˆ+ - эрмитов.⏟ ⏞эрмитовчислоˆ ]ˆ = ˆТогда [∆,∆Доказательствоˆˆ () = ⟨(∆ˆ + ∆)|(∆ˆ + ∆)⟩> 0, ∀ ∈ Rˆˆˆˆ () = ⟨|(∆ − ∆)(∆ + ∆)⟩ˆ 2 + (∆∆ˆ ˆ − ∆∆ˆ )ˆ +(∆)ˆ 2 )⟩ () = ⟨|(2 (∆)⏟⏞^ˆ 2 ⟩ − ⟨⟩ + ⟨(∆)ˆ 2⟩ > 0 () = 2 ⟨(∆)ˆ 2 ⟩⟨(∆)ˆ 2⟩ 6 0(Дискриминант) = ⟨⟩2 − 4⟨(∆)2ˆ 2 ⟩⟨(∆)ˆ 2 ⟩ > ⟨⟩ что и требовалось доказать⟨(∆)4) − (−~ ( ())) = ~ ()[ˆ,ˆ ] = ~; [ˆ ,ˆ ] = ~()[ˆ,ˆ ] () = ˆˆ () − ˆˆ () = (−~~24()[ˆ ,ˆ ] = ˆ⟨(∆ˆ)2 ⟩⟨(∆ˆ)2 ⟩ >Требуемое соотношение неопределенностей так же получается из вышедоказанной теоремы:⟨(∆ )2 ⟩⟨(∆ )2 ⟩ >⟨ ⟩24Билет 4Что называют оператором инверсии? Найдите оп-ры, явл-ся обратным и эрмитово сопряж-мпо отношению к оп-ру инверсии.

Является ли оператор инверсии эрмитовым, унитарным?Найдите собственные функции и собственные значения оператора инверсии. Рассмотритев качестве примера случай одномерного движения частицы в потенциале U(x) = U(−x).Что можно сказать о св-вах волновых функций стационарных состояний в таком потенциале?ˆ () = (−) − оператор инверсии. ˆ+ : ⟨|ˆ ⟩ = ⟨ˆ+ | ⟩.ˆ∞ˆ∞ˆ ⟩=⟨|ˆ ()) = [ = −] = () (⏟ ⏞′*−∞ (−)ˆ*′′∞ˆ ′ ))* (′ )′ = ⟨|ˆ ⟩ ⇒ ˆ = ˆ+((′ (− ) ( ) =−∞−∞оператор инверсии является эрмитовымˆ () = (−) ⇒ () = ˆ−1 (−); ˆ−1 = ˆˆУнитарность: ˆˆ−1⃒ () = (−) = () ⇒является унитарным.

Cобственные функции:⃒ˆ () = ()⃒ × ˆ → () = (ˆ ()) ⇒ 2 = 1 ⇒ = ±1⃒⏟ ⏞⏟ ⏞ (−) () = 1 ⇒ 1 (−) = 1 (); = −1 ⇒ −1 (−) = −1 () () =11( () + (−)) + ( () − (−))⏞⏞2⏟2⏟четнаянечетнаяРассмотрим в качестве примера случай одномерного движения в потенциале () = (−)ˆ ]ˆ =[;1 ˆ2 ˆˆ[ ; ] + [ (); ]222ˆ = ˆ2 ˆ − ˆˆ2 = −~2 (−) + ~2 () = 0[ˆ2 ; ]22ˆ ()] () = (ˆ () ()) − ()ˆ () = (−) (−) − () (−) = (−)( (−) − ())[,ˆ ()] = ( (−) − ())ˆ[,ˆ ]ˆ = 0 - значит ˆ и ˆ одновременно измеримы, а значит существует общая система (−) = () → [,собственных функций, но собственные функции ˆ - четные, либо нечетные.Делаем вывод, что волновые функции стационарных состояний либо четные, либо нечетные.Билет 5Что называют оператором сдвига? Найдите оп-ры, явл-ся обратным и эрмитово сопряж-мпо отношению к оператору сдвига.

Является ли оператор сдвига эрмитовым, унитарным?Обсудите (без вывода) явный вид собственных функций оп-ра сдвига. Рассмотрите в кач-вепримера случай одномерного движения частицы в потенциалеU(x) = U(x + a), где a = const.Что можно сказать о св-вах волновых функций стационарных состояний в таком потенциале?ˆ () = ( + ) - оператор сдвига 1.

Исследуем на унитарность и эрмитовость:ˆ∞⟨|ˆ ⟩ =ˆ∞ ()(ˆ ()) =*−∞ˆ(ˆ− ()) = ⟨ˆ− |⟩ ⇒* (−)() = ()(+) =−∞ˆ∞∞*−∞−∞ˆ− = ˆ+ - не является эрмитовымˆ ˆ− = ˆ− ˆ = - значит, оператор сдвига - унитарный2. Собственные значения и собственные функции:Для унитарного оператора ||2 = 1. = - собственные значения.() = () ( где ( + ) = ()) - собственные функции.Рассмотрим в качестве примера случай одномерного движения в потенциале ( + ) = ()ˆ ˆ ] = 1 [ˆ2 ; ˆ ] + [ (); ˆ ][;222[ˆ2 ; ˆ ] = −~2 2 ( + ) + ~2 2 () = 0[ (); ˆ ]() = ()( + ) − ( + )( + ) = 0ˆ ˆ ] = 0 - значит ˆ и ˆ одновременно измеримы, а значит существует общая система собственных[,функций, но собственные функции ˆ - периодические с периодом a.Делаем вывод, что волновые функции стационарных состояний также периодические с периодом a.Билет 6Как связаны между собой волновая функция и вектор состояния частицы? Что называюткоординатным и импульсным представлениями? Считая известными оп-ры координаты x^и импульса p^ частицы в координатном представлении, найдите эти же оп-ры в импульсномпредставлении.

Получите явные выражения для собственных функций операторов x^иp^(a) в координатном представлении,(b) в ∑︀импульсном´ представлении.|⟩ = | ⟩ + Ra ()| ⟩Волновая функция в a-представлении: () = ⟨|⟩⎛ ⎞1( ) = ⟨ |⟩ = → ⎝ ... ⎠ - вектор состояния частицы (полностью определяет состояние системы)Волновая функция в x-представлении: () = ⟨|⟩Волновая функция в p-представлении: () = ⟨|⟩Известно в x-представлении: ⟨|ˆ⟩ = ⟨|⟩ ⇒ ˆ = ; ⟨|ˆ⟩ = ˆ⟨|⟩ = −~∇ ⟨|⟩Найдем в p-представлении:ˆ ∞ˆ⟩ =⟨|⟩⟨|ˆ⟩⟨|ˆ⟩ = ⟨|⟩ ⇒ ˆ = ; ⟨|↑´условие полноты: ^1= |⟩⟨|−∞⟨|⟩ =? Проецируцем на координатное представление:⟨|ˆ|⟩ = ⟨|⟩; ˆ⟨|⟩ = ()⏟ ⏞ () (): −~= (); ⟨|⟩ = () = ~ - волна де-Бройля′′Ищем С: ⟨| ⟩ = ( − ) - обоснование в разделе этого билета о собственных функциях(ниже)ˆ ∞ˆ ∞ ⟨|⟩ ⟨|⟩ = ( − ′ )|⟩⟨|;1̂ =⏟ ⏞⏟ ⏞−∞−∞ˆ = −~ˆ⟨|⟩* ′ ()= ~∞2| |(−′ )~ˆ∞′ = 2() = ( − );−∞−∞′−1) = ( − ′ ); () =()~||1||2 2~( − ′ ) = ( − ′ ) ⇒ = √2~ˆ ∞11√Тогда: ⟨|⟩ = ⟨|⟩* = √ ~ ; ⟨|ˆ⟩ = ~ ⟨|⟩ = ~ ⟨|⟩2~2~−∞⏟⏞2||2 = (⟨|⟩=()~ ⟨|ˆ⟩ = ˆ⟨|⟩ ⇒ ˆ =- в импульсном представлении.Собственные функции:а) х-представление1) ˆ|′ ⟩ = ′ |′ ⟩ проекция на x-представление.

⟨|′ |′ ⟩ = ′ ⟨|′ ⟩ = ′ ()⏟ ⏞′⟨|′ ⟩=′ ′ ()′′ () = ′ () ⇒ ( − )′ () = 0′ () = ( − ′ )1 ~ .2) ⟨|ˆ|⟩ = ⟨|⟩.См. выше ⟨|⟩ = √2~b) p-представление1) ˆ|′ ⟩ = ′ |′ ⟩; ⟨|ˆ|′ ⟩ = ′ ⟨|′ ⟩. ⟨|′ ⟩ = ′ ′ (). ( − ′ )′ () = 0 ⇒ ′ () = ( − ′ )⏟ ⏞′ ()*2) ⟨|⟩ = ⟨|⟩ ; () =* ()=√ 1 − ~2~Билет 7Что называют условиями нормировки векторов состояний (волновых функций) на единицу и -функцию? Возьмите в ка-ве примера с.

ф. опер-в координаты x^ и импульса p^ частицы(a) в координатном представлении,(b) в импульсном представлениии покажите, что они нормированы на -функцию.|⟩ =∑︀ | ⟩ +´Ra()| ⟩Условия нормировки: =⎧⎪⎨⟨ | ⟩ = , дискретные значения , ⟨ |⟩ = 0, дискретное и непрерывное значение⎪⎩⟨| ⟩ = ( − ), непрерывные значения , ′′′a) Координатное представние⟨|′ ⟩ = ( − ′ ) () =√ 1 − ~2~= ⟨|⟩ˆ∞1⟨| ⟩ = ⟨|⟩ ⟨| ⟩ =⏟ ⏞ ⏟ ⏞2~−∞′1̂ =´ˆ∞′⟨|⟩* ′ ()(−′ )~ ≡−∞ − ′12()2~~|⟩⟨|() =1()||⟨|′ ⟩ = ( − ′ )б) импульсное представление:⟨|′ ⟩ = ( − ′ )ˆ∞′=⟨|⟩* ⟨|′ ⟩○⟨| ⟩ =1̂ =´−∞|⟩⟨|⟨|⟩ =√ 1 2~~= ()1=○2~ˆ∞−∞(−′ )~ =12( − ′ )2~⟨|′ ⟩ = ( − ′ )Билет 8^ составляет базис.Совокупность собственных векторов |n > некоторого эрмитового опер-ра AЧто называют условием полноты этого базиса? Выпишите условие полноты собственныхвекторов операторов координаты x^ и импульса p^ .

Какой вид приобретают эти условия(a) в координатном представлении,(b) в импульсном представлении?Если есть базис:{︃ˆ ⟩ = | ⟩, = 1,2,3...| () =ˆ|⟩= |⟩, ∈ ∀ эрмитовый оператор порождает полный базис.Базисполон, ´когда:∑︀|⟩⟨| = 1̂ | ⟩⟨ | +´∑︀=|Ψ⟩ = | ⟩ + ()|⟩○() = ⟨|⟩ˆ∑︁=(○| ⟩⟨ | + |⟩⟨|) |⟩⏞⏟^1a) Координатное представление:´∞ ⟨′ |⟩ ⟨|”⟩ = ⟨′ |”⟩⏟ ⏞ ⏟ ⏞⏟ ⏞−∞(−′ ) ()⏟(′ −”)⏞(′ −”)б) Импульсное представление:´∞ ⟨|⟩ ⟨|′ ⟩ = ⟨|′ ⟩⏟ ⏞⏟ ⏞−∞~ √1 ~2~− ~√1 2~где−√1 -волна2~´∞ (′ −)√12~~де-Бройля = ( − ′ )−∞Условие полноты в импульсном пространстве = условие ортогональности волн де-Бройля в координатном пространстве.Условиев общем виде:∑︀ * ′ полноты ´базиса′* ′()()()+ () = ( − ) Билет 9Частица движется вдоль оси x в потенциальном поле U(x).

Выведите ур-е, определяющеееволновую функцию (p) стационарного состояния частицы в импульсном представлении(считая известным ур-е, определяющее волновую функцию в координатном представлении).Как по известной функции (p) найти явный вид в. ф. (x) в координатном представлении?Известно:x-представление:ˆ = ^2 + (), ˆ = −~ 2⟨|ˆ ⟩ = ()⟨|⟩Тогда в импульсном представлении:´∞´∞ ′´∞ ()⟨|⟩ =⟨|⟩ () ⟨|⟩⟨′ |⟩ =⟨|ˆ ⟩ =⟨|⟩⏞⏟−∞−∞−∞ ()= √ 1=´∞2~ˆ∞′−∞−−~⟨|⟩ ()⟨|′ ⟩][´∞⟨′ |⟩ =′ (,′ )(′ ) - интегральный оператор−∞−∞⏟⏞ядро интегрального оператора (,′ )Тогда Уравнение Шредингера:х-представление:ˆ|⟩= |⟩~2− 2”() + ()() = ()p-представление:ˆ|⟩= |⟩´∞ ′2()+ (,′ )(′ ) = ()2−∞Как по () найти ()?´∞´∞|⟩ =|⟩⟨|⟩ =|⟩⟨|⟩−∞() = ⟨|⟩ =´∞−∞⟨|⟩⟨|⟩ =−∞Также:´∞() = ⟨|⟩ =⟨|⟩⟨|⟩ =−∞√12~√12~´∞~()−∞´∞−∞−~()Билет 10Стационарное состояние ч-цы, движущейся вдоль оси x, описывается в.ф.