Затеханные билеты с небольшими опечатками (1182891)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Потный квантмех в LATEXФедотова МарияМуталова Ренатапри поддержкеБедраня ЗахараБерезутского АлександраКараваевой НаталииКарпушкина НиколаяСтельмаха ИванаШайкиной Анастасиипредставляют29 декабря 2016 г.Билет 1Частица(a) свободно движется в интервале 0<x<a между беск-но высокими потенц-ми стенками2 2(b) движется вдоль оси x в потенциальном поле U(x) = m2 x .Какие значения могут принимать коорд-та x, имп-с p, эн-я E (b—без вывода) частицы?Приведите явные выражения для операторов указанных величин.ˆ =;Операторы: ˆ = ; ˆ = −~ А)^22+ () - оператор полной энергии⎧⎪⎨ − ∞, < 0 () = 0, 0 < < ⎪⎩ ∞, < I. < 0 : 1 (0) = 02~II.

0 < < : − 2”2 = 2 ;III. > : 3 () = 0~2”2 2+ 2 = 0; ={︃Сшивка:√︁2; 2 ()~2= + 1 (0) = 2 (0)2 () = 3 ()1. 2 = 1 (0) = 0 ⇒ = 02 () = = 0; ̸= 0 ⇒ = 0 2 ~2 2 = = , = 1,2,3...; = 22 , = 1,2,3...√︁´ 22. Нормировка: 0 || = 1 ⇒ = 2√︁ () = 2 sin( )Вне ямы: = 0 ⇒ ∈ (0, ) ∈ (−∞, +∞); p принимает непрерывные значения (но то что энергия дискретна не мешает импульсубыть непр,потому что мы для энергии рассматриваем только стационарные состояния(n = 1,2,3,4,5),ностационарные состояния не единственны есть и другие , но которые мы не рассматриваем или вероятностьих реализации мала)22 ; ∈ (−∞, +∞); = ~( + 12 ) p принимает непрерывные значения ∈ (−∞, +∞)Б) () = 2Далее следует вывод, который не требуется в билете:⃒⎧22 2⃒~1⎨−”() +() = ()⃒⃒ ×22~⎩() → 0, → ±∞ 2~ 2 = ~; − 21 = + 12 () = ()2~⏟ ⏞2−() + 2 () = 2(); =√︀ ~...

() = ()⏟ ⏞Полиномы Эрмита2 − 2(−1) 2 () =0 = 1; 1 = 2; 2 = 4 2 − 2... = + 12 ⇒ = ~( + 12 )2− 2 - внутри параболамиБилет 2Волновая функция Ψ(r̃,t) описывает эволюцию состояния частицы в потенциальномполе (⃗). Что называют плотностью вероятности и плотностью потока вероятности?Выведите уравнение, связывающее эти величины (уравнение непрерывности).Плостность вероятности: = |Ψ(⃗, )|2ˆ , )= Ψ(⃗Уравнение Шредингера: ~ Ψˆ2ˆ = ⃗ + (⃗)2⃒⃒Ψ~2~=−∆Ψ + Ψ⃒⃒ × Ψ*2⃒⃒Ψ*~2**⃒Cопряженное: − ~=−∆Ψ + Ψ ⃒ × Ψ2Вычитаем из верхнего нижнее, в итоге получим:~(Ψ*ΨΨ*~2 *+Ψ)=−(Ψ ∆Ψ − Ψ∆Ψ* )2~ *(Ψ Ψ) = −(Ψ* ∆Ψ − Ψ∆Ψ* )2Заметим, что∇(Ψ* ∇Ψ* − Ψ∇Ψ* ) = ∆Ψ* ∇Ψ + Ψ* ∆Ψ − ∇Ψ∇Ψ* − Ψ∆Ψ* = Ψ* ∆Ψ − Ψ∆Ψ*Тогда получим:~=−∇(Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* )2Плотность потока вероятности:⃗ = ~ (Ψ* ∇Ψ − Ψ∇Ψ* )2= −∇⃗+ div ⃗ = 0 - уравнение непрерывностиБилет 3Какую роль в квантовой теории играют операторы? Какие оп-ры называют линейными,эрмитово сопряженными, эрмитовыми, унитарными? Почему оп-р физ.

величины долженбыть эрмитовым? Что называют одновременно измеримыми величинами? Выведите соотн-енеопределённостей для величин, которые не являются одновременно измеримыми.(a) Являются ли составляющие радиуса-вектора r̃ и импульса p частицы одновр-но измеримымвеличинами? Если «нет», то сформулируйте соот-я неопр-тей для этих составляющих.(b) Являются ли проекции спина s = 21 частицы на оси x, y и z одн-но изм-ми величинами?Если «нет», то сформулируйте соотношения неопределённостей для этих проекций.Оператор в квантовой механике — это линейное отображение, которое действует на волновую функцию,являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы.^ˆ () = () () −→ (); ^ˆˆ = |⟩ Если ∀ ∈ Ω ,∃ ∈ Ω,Аналогично можно представить в любом пространстве: −→ |⟩= |⟩ˆтогда - оператор в Ωˆ 1 |1 ⟩ + 2 |2 ⟩) = 1 |ˆ 1 ⟩ + 2 |ˆ 2⟩Определение - оператор называние лилейным если (∀1 , 2 ∈ C , ∀1 , 2 ∈ ΩОпределение - ˆ+ - эрмитово сопряженный по отношению к ˆ на Ω, если ∀, ∈ Ω →ˆ = ⟨ˆ+ |⟩ ≡ ⟨|⟩ˆ *⟨|⟩Если ˆ = ˆ+ то оператор называется эрмитовымОпределение- - унитарный оператор, если + ≡ + = , где - единичный операторˆ ⟩ = | ⟩; | ⟩ - собственный вектор, соответвует собственному значению a.(на картинкеВозмем ; |не дискретные спектры, а дискретный спектр) : → | ⟩, = 1,2,3..., → |⟩ ∈ Естественно принять, что любой физической величине А соответсвует линейный и эрмиторый операторˆ такой что:1) Cобственные значения ˆ есть значения, которые принимает .2) Собственные векторы есть состояния, в которых наблюдается .Заметим, что физические величины действительны, а значит собственные значения оператора, описывающего ее, должны быть действительными, то есть оператор должен быть эрмитовым.Определение - , называются одновременно измеримыми, если ∃ общая система собственных вектоˆров операторов ˆ и ˆ=ˆ ˆ ⇒ [,ˆ ]ˆ =Теорема , - назыв аются одновременно измеримыми тогда и только тогда, когда: ˆ0ˆ=ˆ+Теорема Пусть → ˆ = ˆ+ ; → ˆ ]ˆ = ˆ ̸= 0 Тогда ∀ ∈ Ω → ⟨(∆)2 ⟩⟨(∆)2 ⟩ > ⟨⟩2[,4ˆ⟨⟩ ≡ ⟨||⟩⟨(∆)2 ⟩ ≡ ⟨|(ˆ − ⟨⟩)2 |⟩ = ⟨2 ⟩ − ⟨⟩2То же самое для В∆ˆ = ⏟ ˆ⏞ − ⟨⟩ ⇒ ∆ˆ = ∆ˆ+ - эрмитов.⏟ ⏞эрмитовчислоˆ ]ˆ = ˆТогда [∆,∆Доказательствоˆˆ () = ⟨(∆ˆ + ∆)|(∆ˆ + ∆)⟩> 0, ∀ ∈ Rˆˆˆˆ () = ⟨|(∆ − ∆)(∆ + ∆)⟩ˆ 2 + (∆∆ˆ ˆ − ∆∆ˆ )ˆ +(∆)ˆ 2 )⟩ () = ⟨|(2 (∆)⏟⏞^ˆ 2 ⟩ − ⟨⟩ + ⟨(∆)ˆ 2⟩ > 0 () = 2 ⟨(∆)ˆ 2 ⟩⟨(∆)ˆ 2⟩ 6 0(Дискриминант) = ⟨⟩2 − 4⟨(∆)2ˆ 2 ⟩⟨(∆)ˆ 2 ⟩ > ⟨⟩ что и требовалось доказать⟨(∆)4) − (−~ ( ())) = ~ ()[ˆ,ˆ ] = ~; [ˆ ,ˆ ] = ~()[ˆ,ˆ ] () = ˆˆ () − ˆˆ () = (−~~24()[ˆ ,ˆ ] = ˆ⟨(∆ˆ)2 ⟩⟨(∆ˆ)2 ⟩ >Требуемое соотношение неопределенностей так же получается из вышедоказанной теоремы:⟨(∆ )2 ⟩⟨(∆ )2 ⟩ >⟨ ⟩24Билет 4Что называют оператором инверсии? Найдите оп-ры, явл-ся обратным и эрмитово сопряж-мпо отношению к оп-ру инверсии.

Является ли оператор инверсии эрмитовым, унитарным?Найдите собственные функции и собственные значения оператора инверсии. Рассмотритев качестве примера случай одномерного движения частицы в потенциале U(x) = U(−x).Что можно сказать о св-вах волновых функций стационарных состояний в таком потенциале?ˆ () = (−) − оператор инверсии. ˆ+ : ⟨|ˆ ⟩ = ⟨ˆ+ | ⟩.ˆ∞ˆ∞ˆ ⟩=⟨|ˆ ()) = [ = −] = () (⏟ ⏞′*−∞ (−)ˆ*′′∞ˆ ′ ))* (′ )′ = ⟨|ˆ ⟩ ⇒ ˆ = ˆ+((′ (− ) ( ) =−∞−∞оператор инверсии является эрмитовымˆ () = (−) ⇒ () = ˆ−1 (−); ˆ−1 = ˆˆУнитарность: ˆˆ−1⃒ () = (−) = () ⇒является унитарным.

Cобственные функции:⃒ˆ () = ()⃒ × ˆ → () = (ˆ ()) ⇒ 2 = 1 ⇒ = ±1⃒⏟ ⏞⏟ ⏞ (−) () = 1 ⇒ 1 (−) = 1 (); = −1 ⇒ −1 (−) = −1 () () =11( () + (−)) + ( () − (−))⏞⏞2⏟2⏟четнаянечетнаяРассмотрим в качестве примера случай одномерного движения в потенциале () = (−)ˆ ]ˆ =[;1 ˆ2 ˆˆ[ ; ] + [ (); ]222ˆ = ˆ2 ˆ − ˆˆ2 = −~2 (−) + ~2 () = 0[ˆ2 ; ]22ˆ ()] () = (ˆ () ()) − ()ˆ () = (−) (−) − () (−) = (−)( (−) − ())[,ˆ ()] = ( (−) − ())ˆ[,ˆ ]ˆ = 0 - значит ˆ и ˆ одновременно измеримы, а значит существует общая система (−) = () → [,собственных функций, но собственные функции ˆ - четные, либо нечетные.Делаем вывод, что волновые функции стационарных состояний либо четные, либо нечетные.Билет 5Что называют оператором сдвига? Найдите оп-ры, явл-ся обратным и эрмитово сопряж-мпо отношению к оператору сдвига.

Является ли оператор сдвига эрмитовым, унитарным?Обсудите (без вывода) явный вид собственных функций оп-ра сдвига. Рассмотрите в кач-вепримера случай одномерного движения частицы в потенциалеU(x) = U(x + a), где a = const.Что можно сказать о св-вах волновых функций стационарных состояний в таком потенциале?ˆ () = ( + ) - оператор сдвига 1.

Исследуем на унитарность и эрмитовость:ˆ∞⟨|ˆ ⟩ =ˆ∞ ()(ˆ ()) =*−∞ˆ(ˆ− ()) = ⟨ˆ− |⟩ ⇒* (−)() = ()(+) =−∞ˆ∞∞*−∞−∞ˆ− = ˆ+ - не является эрмитовымˆ ˆ− = ˆ− ˆ = - значит, оператор сдвига - унитарный2. Собственные значения и собственные функции:Для унитарного оператора ||2 = 1. = - собственные значения.() = () ( где ( + ) = ()) - собственные функции.Рассмотрим в качестве примера случай одномерного движения в потенциале ( + ) = ()ˆ ˆ ] = 1 [ˆ2 ; ˆ ] + [ (); ˆ ][;222[ˆ2 ; ˆ ] = −~2 2 ( + ) + ~2 2 () = 0[ (); ˆ ]() = ()( + ) − ( + )( + ) = 0ˆ ˆ ] = 0 - значит ˆ и ˆ одновременно измеримы, а значит существует общая система собственных[,функций, но собственные функции ˆ - периодические с периодом a.Делаем вывод, что волновые функции стационарных состояний также периодические с периодом a.Билет 6Как связаны между собой волновая функция и вектор состояния частицы? Что называюткоординатным и импульсным представлениями? Считая известными оп-ры координаты x^и импульса p^ частицы в координатном представлении, найдите эти же оп-ры в импульсномпредставлении.

Получите явные выражения для собственных функций операторов x^иp^(a) в координатном представлении,(b) в ∑︀импульсном´ представлении.|⟩ = | ⟩ + Ra ()| ⟩Волновая функция в a-представлении: () = ⟨|⟩⎛ ⎞1( ) = ⟨ |⟩ = → ⎝ ... ⎠ - вектор состояния частицы (полностью определяет состояние системы)Волновая функция в x-представлении: () = ⟨|⟩Волновая функция в p-представлении: () = ⟨|⟩Известно в x-представлении: ⟨|ˆ⟩ = ⟨|⟩ ⇒ ˆ = ; ⟨|ˆ⟩ = ˆ⟨|⟩ = −~∇ ⟨|⟩Найдем в p-представлении:ˆ ∞ˆ⟩ =⟨|⟩⟨|ˆ⟩⟨|ˆ⟩ = ⟨|⟩ ⇒ ˆ = ; ⟨|↑´условие полноты: ^1= |⟩⟨|−∞⟨|⟩ =? Проецируцем на координатное представление:⟨|ˆ|⟩ = ⟨|⟩; ˆ⟨|⟩ = ()⏟ ⏞ () (): −~= (); ⟨|⟩ = () = ~ - волна де-Бройля′′Ищем С: ⟨| ⟩ = ( − ) - обоснование в разделе этого билета о собственных функциях(ниже)ˆ ∞ˆ ∞ ⟨|⟩ ⟨|⟩ = ( − ′ )|⟩⟨|;1̂ =⏟ ⏞⏟ ⏞−∞−∞ˆ = −~ˆ⟨|⟩* ′ ()= ~∞2| |(−′ )~ˆ∞′ = 2() = ( − );−∞−∞′−1) = ( − ′ ); () =()~||1||2 2~( − ′ ) = ( − ′ ) ⇒ = √2~ˆ ∞11√Тогда: ⟨|⟩ = ⟨|⟩* = √ ~ ; ⟨|ˆ⟩ = ~ ⟨|⟩ = ~ ⟨|⟩2~2~−∞⏟⏞2||2 = (⟨|⟩=()~ ⟨|ˆ⟩ = ˆ⟨|⟩ ⇒ ˆ =- в импульсном представлении.Собственные функции:а) х-представление1) ˆ|′ ⟩ = ′ |′ ⟩ проекция на x-представление.

⟨|′ |′ ⟩ = ′ ⟨|′ ⟩ = ′ ()⏟ ⏞′⟨|′ ⟩=′ ′ ()′′ () = ′ () ⇒ ( − )′ () = 0′ () = ( − ′ )1 ~ .2) ⟨|ˆ|⟩ = ⟨|⟩.См. выше ⟨|⟩ = √2~b) p-представление1) ˆ|′ ⟩ = ′ |′ ⟩; ⟨|ˆ|′ ⟩ = ′ ⟨|′ ⟩. ⟨|′ ⟩ = ′ ′ (). ( − ′ )′ () = 0 ⇒ ′ () = ( − ′ )⏟ ⏞′ ()*2) ⟨|⟩ = ⟨|⟩ ; () =* ()=√ 1 − ~2~Билет 7Что называют условиями нормировки векторов состояний (волновых функций) на единицу и -функцию? Возьмите в ка-ве примера с.

ф. опер-в координаты x^ и импульса p^ частицы(a) в координатном представлении,(b) в импульсном представлениии покажите, что они нормированы на -функцию.|⟩ =∑︀ | ⟩ +´Ra()| ⟩Условия нормировки: =⎧⎪⎨⟨ | ⟩ = , дискретные значения , ⟨ |⟩ = 0, дискретное и непрерывное значение⎪⎩⟨| ⟩ = ( − ), непрерывные значения , ′′′a) Координатное представние⟨|′ ⟩ = ( − ′ ) () =√ 1 − ~2~= ⟨|⟩ˆ∞1⟨| ⟩ = ⟨|⟩ ⟨| ⟩ =⏟ ⏞ ⏟ ⏞2~−∞′1̂ =´ˆ∞′⟨|⟩* ′ ()(−′ )~ ≡−∞ − ′12()2~~|⟩⟨|() =1()||⟨|′ ⟩ = ( − ′ )б) импульсное представление:⟨|′ ⟩ = ( − ′ )ˆ∞′=⟨|⟩* ⟨|′ ⟩○⟨| ⟩ =1̂ =´−∞|⟩⟨|⟨|⟩ =√ 1 2~~= ()1=○2~ˆ∞−∞(−′ )~ =12( − ′ )2~⟨|′ ⟩ = ( − ′ )Билет 8^ составляет базис.Совокупность собственных векторов |n > некоторого эрмитового опер-ра AЧто называют условием полноты этого базиса? Выпишите условие полноты собственныхвекторов операторов координаты x^ и импульса p^ .

Какой вид приобретают эти условия(a) в координатном представлении,(b) в импульсном представлении?Если есть базис:{︃ˆ ⟩ = | ⟩, = 1,2,3...| () =ˆ|⟩= |⟩, ∈ ∀ эрмитовый оператор порождает полный базис.Базисполон, ´когда:∑︀|⟩⟨| = 1̂ | ⟩⟨ | +´∑︀=|Ψ⟩ = | ⟩ + ()|⟩○() = ⟨|⟩ˆ∑︁=(○| ⟩⟨ | + |⟩⟨|) |⟩⏞⏟^1a) Координатное представление:´∞ ⟨′ |⟩ ⟨|”⟩ = ⟨′ |”⟩⏟ ⏞ ⏟ ⏞⏟ ⏞−∞(−′ ) ()⏟(′ −”)⏞(′ −”)б) Импульсное представление:´∞ ⟨|⟩ ⟨|′ ⟩ = ⟨|′ ⟩⏟ ⏞⏟ ⏞−∞~ √1 ~2~− ~√1 2~где−√1 -волна2~´∞ (′ −)√12~~де-Бройля = ( − ′ )−∞Условие полноты в импульсном пространстве = условие ортогональности волн де-Бройля в координатном пространстве.Условиев общем виде:∑︀ * ′ полноты ´базиса′* ′()()()+ () = ( − ) Билет 9Частица движется вдоль оси x в потенциальном поле U(x).

Выведите ур-е, определяющеееволновую функцию (p) стационарного состояния частицы в импульсном представлении(считая известным ур-е, определяющее волновую функцию в координатном представлении).Как по известной функции (p) найти явный вид в. ф. (x) в координатном представлении?Известно:x-представление:ˆ = ^2 + (), ˆ = −~ 2⟨|ˆ ⟩ = ()⟨|⟩Тогда в импульсном представлении:´∞´∞ ′´∞ ()⟨|⟩ =⟨|⟩ () ⟨|⟩⟨′ |⟩ =⟨|ˆ ⟩ =⟨|⟩⏞⏟−∞−∞−∞ ()= √ 1=´∞2~ˆ∞′−∞−−~⟨|⟩ ()⟨|′ ⟩][´∞⟨′ |⟩ =′ (,′ )(′ ) - интегральный оператор−∞−∞⏟⏞ядро интегрального оператора (,′ )Тогда Уравнение Шредингера:х-представление:ˆ|⟩= |⟩~2− 2”() + ()() = ()p-представление:ˆ|⟩= |⟩´∞ ′2()+ (,′ )(′ ) = ()2−∞Как по () найти ()?´∞´∞|⟩ =|⟩⟨|⟩ =|⟩⟨|⟩−∞() = ⟨|⟩ =´∞−∞⟨|⟩⟨|⟩ =−∞Также:´∞() = ⟨|⟩ =⟨|⟩⟨|⟩ =−∞√12~√12~´∞~()−∞´∞−∞−~()Билет 10Стационарное состояние ч-цы, движущейся вдоль оси x, описывается в.ф.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий