Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 5

Только чистые состояния полностьюможно описать волновыми функциями.) В качестве такого набора для атома водорода можно выбратьчисла n – главное квантовое число, задающее энергию уровня, l – задающее величину орбитального момента и m – число,}︁ проекцию орб. Момента на ось Z. Уравнение, определяющее пси-функцию атома{︁ ^2 задающее⃗водорода: 2 + () (⃗) = (⃗), = |⃗|, распишем ⟨⃗|,,⟩ = () (,). Тогда для радиальнойчасти имеем:{︂ 2}︂~2 ( + 1)1 ~2 ′′ + − + = , () = (),() ∼ +1 , → 0, =−222 + Для угловой части:)︂⎧ (︂1 1 2⎪⎪sin + (,) = () (,)⎨−sin sin2 2⎪⎪⎩ − (,) = (,)Введем атомные единицы: 0 = = 0 , = . Имеем:~2 2≃ 0.5 · 10−8 см, =−′′ () −20= 4~2≃ 27 эВ, и безразмерные переменные2( + 1)() +() = 2()2Будем рассматривать только связные состояния, такие что: < 0, < 0, − ≡−′′ () −22> 0.

Тогда2( + 1)() +() + 2 () = 02Для начала найдем асимптотику решения при → ∞. пренебрегая убывающими слагаемыми, находим:′′ () − 2 () ≃ 0. Решением, как легко показать, является функция () = − . Действительно,удерживая только ведущие при → ∞ слагаемые, получим: ′ () ≃ − − , ′′ () ≃ 2 − =2 (). Найдем также асимптотику () при → 0. В этом пределе уравнение принимает форму: ′′ () −(+1)() ≃ 0.

Решением является степенная функция () = , причем определяется условием ( −21) = ( + 1), так что = + 1 или = −. При отрицательном функция () не определена в нуле, анормировочный интеграл расходится. Следовательно в пределе → 0 имеем () ∼ +1 .() = ()− ; () = +1∑︀=0 ; = ++1Спектр водородоп. атома: = = − 2 2 2 4=−20 22~2 2Атомные единицы:21. Постоянная тонкой структуры - безразмерная величина = ~22. Скорость 0 = = ~ . Отсюда следует, что электрон в атоме водорода движется нерелятивистски0= ≪ 1. Это же значение скорости получается, если воспользоваться теоремой вириала, которая для 22кулоновского потенциала дает ⟨ ⟩ = − 12 ⟨ ⟩ ⇒ 2 0 = 2, и соотношением неопределенности координата02~импульс 0 = 0 , откуда сразу находим 0 = ~ .23.

Импульс 0 = 0 = = ~ .~24. Боровский радиус = ~0 = ~ = 2 . Если считать массу протона бесконечно большой (или ядробесконечно тяжелым), то численно ≃ 0.53 · 10−8 см = 0.53∘ .24 22~2 125. Энергия связи - "один Ридберг"0 = = 2 0 = 20 = 2 = = 2. Численно ≃ 13.61 эВ.2~22Билет 30Докажите,что в нерелятив. квант.

механике задача о движении двух ч-ц,взаимодействующихпосредством центр.сил,сводится к задаче о движении одной ч-цы в центр. поле.Рассмотритев качестве примера атом водорода.Считая известным спектр атома,оцените,на сколько проц-всдвигаются(↑ или ↓?)эн-ии уровней,если протон в атоме заменить на дейтрон(или тритон).В задаче двух тел с массами 1 и 2 оператор кинетической энергии в координатном представлении⃗ = 1 ⃗1 + 2 ⃗2 , где ⃗ ˆ 0 = ⃗21 + ⃗22 обычно переписывают в новых координатах ⃗ = ⃗1 − ⃗2 , 221 +21 +2⃗относительная координата двух частиц, а - координата центра масс частиц.

Пиведенная масса двух2. Тогда замену переменных можно представить в матричномчастиц определяется согласно = 11+2виде:(︂ )︂ (︂)︂ (︂ )︂(︂ )︂⃗⃗1⃗11 −1= =·⃗⃗2⃗221(︂ ⃗ )︂(︂ ⃗ )︂∇1∇= · ⃗⃗∇2∇Кинетический вклад)︀1 ⃗ 2 (︀ ⃗1 ⃗ 2⃗2 ·∇1 +∇2 = ∇1 , ∇2122(︂12100122)︂ (︂ ⃗ )︂∇1· ⃗∇2после замены переменных сводится к преобразованию(︀)︀⃗ , ∇⃗ · ·∇(︂12100122)︂(︂ ⃗ )︂∇· · ⃗∇Так что элементарное умножение матриц дает:21 ⃗ 21 ⃗ 211 ⃗ 2∇1 +∇2 =∇ +∇⃗212222(1 + 2 )ˆ =ˆ 0 + (⃗) +Поэтому, если полный гамильтониан есть сумма кинетической энергии двух потенциалов ⃗ то его можно представить как (),{︂}︂22~~ˆ =−⃗∆ + (⃗) + −∆ + ()22(1 + 2 )где первые два члена дают вклад в энергию относительного движения частиц с приведенной массой:ˆ = ⃗^2 + (⃗),⃗ˆ = −~∇⃗ , а выражение в фигурных скобках - вклад в движение центра масс системы2^2ˆ = ⃗ + (),⃗ ⃗ˆ = −~∇⃗ , где = 1 + 2 - масса системы.

Если = 0, то движениедвух частиц: 2центра масс является свободным и суммарный импульс частиц сохраняется. Так как энергия движения вцентральном потенциале является суммой независимых вкладов для энергии относительного движения иˆ ,)⃗ = Ψ(⃗,)⃗ имеет решения в виде произведенияэнергии движения центра масс, стационарное УШ Ψ(⃗⃗ = (⃗)Φ(),⃗ так чтоволновых функций Ψ(⃗,)ˆ (⃗) = (⃗),ˆ Φ()⃗ = ℳΦ(),⃗ =+ℳ24Спектр водородоподобного атома = − 2~2 2 ∼ + + 3.34 · 10−27 0.91 · 10−30 + 1.672 · 10−27==== 1 + 0.027% + + 1.672 · 10−27 0.91 · 10−30 + 3.34 · 10−275.005 · 10−27 0.91 · 10−30 + 1.672 · 10−27== 1 + 0.035%1.672 · 10−27 0.91 · 10−30 + 5.005 · 10−27Уровни сдвигаются внизБилет 31Покажите(без дет.

выв.),что в нерелят. квант. механике задача рассеяния 2 сталк-ся ч-ц преобразуется в задачу рассеяния 1 ч-цы на неподв. центре.Объясните(без выв.), что называютамплитудой и диф.сечением упругого рассеяния, и как эти величины связаны др.с др.Объясните(подробно),что меняется в постановке задачи,если сталк-ся ч-цы являются тождеств-ми.Есть ли отличия между сечениями рассеяния в задачах + (2 альфа-ч-цы) и p+p(2 протона)?Эн-ии столк-я невелики,⇒между ч-ми в обоих случ.дейст-т только кул.

силы отталк-я.⃗ = ⃗1 +⃗2 ; ⃗ = ~⃗ = ⃗1 −⃗2⃗⃗ = 1⃗1 +2⃗2 ; ⃗ = ⃗1 −⃗2 ; ⃗ = ~Это та же задача 2-х тел. Ψ(⃗1 ,⃗2 ) = 0 ()(⃗); 1 +2⃗ ⃗ (⃗)Ψ⃗1⃗2 (⃗1 ,⃗2 ) = Ψ⃗ ()ΨМожно показать, что21 ⃗ 21 ⃗ 21 ⃗ 21∇1 +∇2 =∇ +∇⃗212222(1 + 2 )⃗ =Ур для Ψ⃗ - ур Шредингера для св частицы => Ψ⃗ ()⃗⃗13(2~) 2 Задача рассеяния на неподвижном центре:⎧ 2ˆ⎪⎪⎨(+ ())⃗ (⃗) = ⃗ (⃗),2⎪⎪⎩ = ⃗⃗ + ()= пад + рас , → ∞.падрас 2 Ω~*; пад = 2∇пад(падпад~~* −( ()( − 2 ) − к.с.) ≈ | |2 122 () - амплитуда упругого рассеяния ==− к.с.) =~~*(рас∇ рас − к.с.) =рас = 22= | ()|Ω- дифференциальное сечение рассенянияЕсли частицы тождественны, то вф должна уд определенным требованиям симметрии относ перестановки()⃗ = √12 (Ψ⃗ (⃗) ± Ψ⃗ (−⃗)); + симм; - антисимм⃗ = −⃗⃗ + ( − ) ⃗ (−)примеры:1) + - бозоны ( = 0) => вф симметрична => Ψ(⃗1 ,⃗2 ) = Ψ(⃗2 ,⃗1 ) => (⃗) = (−⃗)⃗Ψ(⃗1 ,⃗2 ) = ()(⃗)(⃗) = + () ̸= (−⃗)надо симметризовать вф, т.е.

(⃗) = ( + − ) + ( () + ( − )) => Ω= | () + ( − )|22) + - фермионы = 21 => вф антисимм => Ψ(⃗1 ,1 ,⃗2 ,2 ) = −Ψ(⃗2 ,2 ,⃗1 ,1 )⃗Ψ(⃗1 ,1 ,⃗2 ,2 ) = ()(⃗)(1 ,2 )⃗(⃗) = ∓(−⃗); - при = 1 + при = 0 => (1 ,2 ) = (((+)00 (1 ,2 ) + (−)1 (1 ,2 ))т.к. ∃ 4 сост, 3 из них - нечетн спин ( = 1) и 1 - чётн ( = 0), то= 14 | () + ( − )|2 + 34 | (⃗) − ( − )|2ΩБилет 32Частица упруго рассеивается на неподвижном центре. Что называют амплитудой рассеяния идиф.сечением рассеяния?Выведите ф-лу,связывающую ампл. рассеяния и диф.сечение.(⃗) = (⃗) = (⃗пад=+ (⃗)⃗) - амплитуда рассеяния|⃗|(⃗) = ⃗ + (⃗) == пад + рас , → ∞рас 2 Ω; - диф сечение рассеянияпад~( * ∇ − ∇ * )2~~(− − − ) =(− − (−)− ) =пад |= =22~~=(2) =2~ − * (⃗) − (⃗) −− − − *→∞рас |= (⃗) =( (⃗)()−(⃗) (⃗)) −−−→222 − − 1~~~→∞| (⃗)|2 ( + 2+ ∼ 3) =| (⃗)|2 (2 2 ) =| (⃗)|2 ⇒−−−→22 22~| (⃗)|2 2 Ω ⇒ == | (⃗)|2 Ω2~ = | (⃗)|2 Ω=Билет 33Ч-ца упруго рас-ся на неподв.

центре.В каком виде ищут в.ф. ч-цы в методе парц-х волн.(a)Выведите ур-е,кот-му удовл-т рад.ф-я,соотв-я произв-й парциальной волне,и выразите общреш-е этого ур-я вне обл-ти действ. потенциала через сфер.ф-ии Бесселя,Неймана и Ханкеля.Каковы асимптотики этих ф-й на малых и больших расст-х?Выпишите(без выв.)разл-ев.ф.своб.движ-ся ч-цы по парц.волнам(ф-лу Рэлея),получите ф-лу ампл.рас-я(Хольцмарка)(b)Выразите(без выв.)рад.ф-.ю,соотв-ю произв.парц.волне,через сфер.ф-ии Бесселя,Нейманаи Ханкеля.Что такое фаза рассеяния парц.волны?Объясните(бездет.выв.),как выгляд.ф-лыдля диф. и полного сеч-й упр. рассеяния в методе парц.волн.При каких усл-х данная парц.волна искаж-ся(или нет)потенц-м рассеив.центра?Что такое резон-е рас-е медл-х ч-ц?⎧2 2⎪⎪ˆ ) = (⃗), = ~ > 0,⎨ (⃗2⎪⎪⎩ (⃗) = ⃗⃗ + (), → ∞.Амплитуда рассеяния () не зависит от угла .

В самом деле, ось выбрана нами вдоль направлениядвижения падающих частиц. Поэтому она является осью аксиальной (цилиндрической) симметрии нетолько для сферически симметричного потенциала, но и волновой функции падающих частиц.Перейдемв полярные координаты:(︂(︂)︂)︂)︂(︂~2 2~21 ( + 1)2 ()−+()()=−2 2 222 2Это уравнение при заданной энергии = ~2> 0 имеет решения для любого значения орбитальногомомента, = 0,1,2...ˆˆ ⃗ˆ2 и ˆ имеют общую систему собственных функций. СлеНапомним, что [⃗2 ,ˆ ] = 0, поэтому операторы ,довательно мы вправе искать частные решения УШ в виде:∑︁ () (,)(⃗) = () (,); (⃗) =В случае сферически симметричного потенциала, как мы уже выяснили, это решение не зависит от угла.

В то же время имеем (,) ∼ (cos )Таким образом, в суперпозицию следует включать только те частные решения, для которых = 0.Соответствующие сферические гармоники имеют вид√︂2 + 10 () = (cos )4Включим нормировочные постоянные в радиальные функции и перепишем общее решенеие:∑︁(⃗) = (cos )Каждое слагаемое в этой сумме называется парциальной волной. Соответственно данный способ построения решения УШ для задачи рассеяния называется методом парциальных волн.Радиальную функцию () можно представить в виде отношения () . Для функции () тогда получим(︂)︂(︂)︂~2 ( + 1)~2 22 () ( + 1)~2 ′′′′− () + () + () = (); − () ++ () = 2 ; = 2 222~22(︂)︂2 () ( + 1)′′ () −+ () + () = 0~2 22Пусть > ⇒ () = 0. Тогда уравнение для радиальной функции () принимает "универсальный"(одинаковый для любой задачи рассеяния) вид′′ () −( + 1) () + () = 02Аналогичное "универсальное"уравнение может быть выписано для радиальной функции () = () .Если = 0, то ′′0 () + 0 () = 0, так что 0 = sin или 0 = cos .

Следовательно 0 () = sin или0 () = cos . В случае ≥ 1 решениями соответствующих "универсальных"уравнений(справедливых при > )являются следующие функции:(︂(︂)︂)︂1 1 sin cos () = () ≡ (−); () = () ≡ (−) Этот результат может быть доказан с помощью метода метматической индукции.

Функции () и ()называются сферическими функциями Бесселя и Неймана соответственно. Их асимптотики выглядят так:→0 () −−→→∞ sin( −, () −−−→(2 + 1)!!)2→0; () −−→(2 + 1)!!→∞ cos( −, () −−−→+1)2Сферические функции Бесселя и Неймана представляют собой линейно независимый решения дифференциального уравнения второго порядка для радиальной функции. В качестве двух линейно независи(±)мых решений того же уравнения могут быть также взяты две сферические функции Ханкеля: ℎ () ≡(︀(︀)︀(︀)︀)︀±→∞(±)= (∓) () ∓ (). ℎ () −−−→ 1 sin − 2 ∓ cos − 2±(− 2 ) = (∓)+1 .