Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 9

. Пусть теперь пробная функция удовлетворяет ⃒антисимметрии.⃒ 1 (1 ) 1 (2 )⃒⃒ ( ) 2 (2 )1Метод Хартри-Фока: пробная ф-я - определитель Слеттера:(1 ,2 ,..., ) = √ ! ⃒⃒ 2 1...⃒ ...⃒ (1 ) (2 )Выполняется антисимметрия и принцип Паули ( = → Ψ ≡ 0).(︃)︃∑︁⃗ˆ22 ∑︁22−+⟨ | | ⟩ −⟨ ( )| | ( ) ( ) = 2̸≠= ( ) = −(0)(0)→ (1)→ 22 ∑︁+⟨ | | ⟩ − обм ( )̸=(1)→ (∞)→ ...(∞) - потенц. самосоглас.поля... 1 ( )... 2 ( ).........

( )⃗ˆ = ∑︀ ⃗ˆ ⃗ˆ ∑︀ ⃗ˆТерм атома: =1 ; ==1 2+1 - терм; = 0(),1(),2(),3( ),...В приближении самосогласованного поля гамильтониан атома выглядит так:)︃(︃∑︁ ⃗ˆ2ˆ =+ ( )2ˆ |⟩ = |⟩, = 1,2,3,...;2 +1 Каждое состояние есть терм. Низшим состоянием будет состояние с максимальным спином.Билет 50Как выглядит гамильтониан сложн.атома в прибл-ии центр.(самосогл.)поля с учетом спинорбит.взаим-я?Что такое:терм сложн.атома,тонк.структура термов,правило интервалов Ланде?)︃(︃ˆ2∑︁⃗ˆ = ˆ 0 + ⃗ˆ ;⃗ˆ ˆ 0 =+ ( )2∑︁⃗ˆ2 ⃗ˆ 2 ⃗ˆ2ˆ ⃗ˆ ⃗ˆ⃗ˆ ⃗ˆ = − − ; | ⟩ → |() ⟩ =⃗ = | ⟩+ → 2 В этом базисе поправка диаганализуется:⃗ˆ |⃗ˆ ⟩ = ( + 1) − ( + 1) − ( + 1) ; → + ∆∆ = ⟨ |2⃗ˆ = ∑︀ ⃗ˆ ⃗ˆ ∑︀ ⃗ˆПроисходит расщепление терма на тонкую структуру.

(Терм - =1 ; ==1 2+1 - терм; = 0(),1(),2(),3( ),...Пусть > 0. Тогда добавка тем больше, чем больше .∆ − ∆−1 =(( + 1) − ( − 1)) = - правило интервалов Ланде2Билет 51Как выглядит гамильт.сложн.атома,в пост.и однор.м.поле,с учетом спин-орбит. взаим-я?Получите явное выражение для оператора взаимодействия атома с полем.(a)Вывести ф-лу расщепл-я уровней тонк.структ.термов сложн.атома в слабом м.поле(эффект Зеемана).Получить ф-лу для фактора Ланде.(b)Вывести ф-лу расщепл-я уровней сложн.атома в сильном м.поле(эффект Пашена–Бака).(c)Показать,что атомы инертных газов- диамагнитные.Объяснить,как в рамках квант.механики может быть найдена диамагнитная восприим-ть атома гелия.)︂∑︁ (︂ ⃗2⃗ˆ ⃗ˆˆ =+ ( ) + 2⃗ × ⃗]; ˆ =ˆ + ˆ⃗ˆ кул.

калибровка: Φ = 0,div ⃗ = 0; (⃗⃗ ) = 1 [⃗ˆ = ;22 ∑︁∑︁ ~ ∑︁ 1 ⃗⃗ + ⃗ × ⃗ ]2[ × ⃗ ]⃗ˆ −⃗ ˆ = −[2 228 ⃗ ]⃗ˆ =a) Слабое магнитное поле ( ≪ | −−1 |) - последним членом пренебрегаем. Рассмотрим [⃗⃗ ⃗ˆ ] = ~⃗ ⃗ˆ . Рассмотрим ~ ⃗ ⃗ = ~ ⃗ ⃗ˆ . Тогда[⃗2~ ⃗ ∑︁ ˆ~ ⃗ ∑︁ ⃗ˆ⃗ ⃗ˆ + 2)⃗ˆ = (⃗ ⃗ˆ + )⃗ˆ аном.эф-т Зеемана −2⃗ = (ˆ ≃ −22′⃗ˆ⃗ˆ ′∆ = ( + ⟨ |ˆ )| ⟩(пр-во изотр. - спин.в-р смотрит по в-ру J : ⟨ || ⟩ = ⟨ || ⟩∑︁⃗ˆ ′ ⟩⟨ ′ ||⃗ˆ ⟩ = ⟨ |⃗ˆ2 | ⟩ = ( + 1)]п.ч.⟨ |ˆ | ⟩ = ⇒ ∆ = (1 + ) ; [ ⟨ ||‖′⃗^⟨ ||⟩′⃗ˆ2 ⃗ˆ2 ⃗ˆ 2ˆ⃗ˆ′⃗ˆ⃗ˆ = + − ; = 1 + ( + 1) + ( + 1) − ( + 1) - фактор Ландел.ч.[⟨ |⃗|⟩];22( + 1))︁2∑︀ (︁ ⃗^2ˆ⃗ˆ .⃗ˆb) Сильное поле. ≫ | − −1 |. Перепишем гамильтониан: = 2 + ( ) + ˆ + ⃗ˆ ⃗ˆ ⇒ отбросимПервое слагаемое порождает нерасщепленный терм: 2+1 : | ⟩ ≡ | ⟩.

ˆ ≫ ⃗ˆ .⃗ˆ ∆ = ⟨ |ˆ | ⟩; ˆ ≃ (⃗ ⃗ˆ + 2);⃗ˆ ∆ = ( + 2 ) ⇒ при переходе ∆( + 2 ) =0, ± 1, ± 1, ± 2,.... Эффект Пашена-Бака.c) Атомы инертных газов: Атомы с полностью заполненными оболочками: = 0, = 0, = 0. При⃗ˆ + 2).⃗ˆ Следовательно нужно учитывать то, чтотаких условиях ∆.. = ⟨.. |ˆ |.. ≡ 0,если ˆ = (∑︀∑︀22⃗ ]2 ⇒ ˆ = 2⃗ ]2было отброшено: 82 [ × ⃗ [ × ⃗82∆.. = ⟨.. |ˆ |.. = −> 0 ⇒ < 0 - диамагн.воспр-ть2∑︀2⃗ ]2 ⟩ = 2 2 2 ⃗ 2 ∑︀ ⟨⃗2 ⟩ = − 2На примере атома гелия: (1) = 82⟨=1,2 [ × ⃗ 8 32=−2 ∑︁ ⃗22 2⟨⟩=−≃ −2.8 · 10−3062 62 2Билет 52Что такое моды своб.эм.поля в объеме V?Написать общ.выр-я для вект.потенц.и напряж-йэл.и м.полей(в виде сумм по модам).Выведите ф-лы для эн-ии,сосред-й в одной моде клас.поля и во всех модах(последнее—без подробностей).Опишите в самых общих чертахпроцедуру квант-я своб.эм.поля.Выпишите(без вывода)гамильтониан поля и оп-ры вект.потенц.и напряж-й эл.и м.полей.Объясните,как получ-ся эн-й спектр своб.эм.поля.Строим теорию дискретного поля.

Пусть поле заключено в ящик размерами ( , , ). Если ящик велик,то эм поле внутри него неотличимо от свободного поля. С другой(︁ стороны, граничныеусловия приводят)︁222 ⃗к дискретизации мод.(0,,,) = ( ,,,) ⇐⇒ 1 = , = , , . Моды: ≡ (⃗,), =1,2, = |⃗|.∑︁⃗⃗ ,) =(⃗( ()⃗ ⃗ + к.с.

); () = −⃗ =∑︁⃗⃗ =( ()⃗ ⃗ + к.с. ); ∑︁⃗([⃗ × ⃗ ] ()⃗ + к.с.)Энергия поля определяется: = ∑︀ .ˆ ⃗2 ⃗ 21 2 2 + =4 | ()|2 =| |2=882ˆ =∑︁∑︁⃗ˆ ) =(⃗√︂∑︁2~2⃗⃗ˆ ) =(ˆ ⃗ ⃗ +э.с.); (⃗√︂1~(ˆ+ˆ + )2∑︁2~2⃗⃗ˆ ) =(ˆ ⃗ ⃗ +э.с.); (⃗√︂2~2 ⃗⃗([×⃗ ]ˆ ⃗ +э.с.)Поговорим об энергетическом спектре:ˆ |⟩ = |⟩; ˆ |{ }⟩ = |{ }⟩; ˆ0 = ˆ + ˆ ; ˆ 0 |Ψ⟩ = |Ψ⟩; |Ψ⟩ = |⟩|{ }⟩; = + Векторы |Ψ⟩ описывают стационарные состояния не взаимодействующий друг с другом атома и поля.Наличие оператора взаимодействия ˆ приводит к появлению переходов между этими стационарнымисостояниями.Билет 53Объясните,как выглядит гамильтониан атома в прибл.центр.самосогл.поля,если атом нах-ся вогранич.(но очень большом)объёме V и взаим-т со своб.эм.полем.Опишите квантов-е своб.эм.поля.Выпишите гамиль-н сис-мы«атом+своб.эм.поле»,в кот-й поле рассм-ся как квант.сис-ма.Получите оп-р взаим-я атома с квант.эм.полем.Что происx-т при взаим-ии атома и поля?)︃(︃)︂2∑︁∑︁ (︂ ∑︁ ⃗ˆ21+2⃗ ⃗ˆ − ⃗ + Φ +⃗ˆ =ˆ + ˆ + ˆ =+ ( ) +− ~(ˆ ˆ + ) +⃗ˆ 2 222⃗ ⃗ = rot ,⃗⃗ = −∇Φ⃗ − 1 ⃗ +кул.калибровкаКак получили оператор взаимодейстивя: (⃗,) = (Φ,), ⃗ = 0 ⇒ (∇⃗ )⃗ = − ⇒ (⃗ ⃗ ) = 0.div )︃(︃)︃(︃)︂⃗ )2∑︁ (⃗ˆ2 − ∑︁ ⃗ˆ2∑︁ (︂ 2 ⃗ 2ˆˆ⃗⃗ˆ + ˆˆ=+ ( )− ⃗ − ⃗ + Φ + ==2 222Квантование поля: пусть поле заключено в ящик размерами ( , , ).

Если ящик велик, то эм поле внутри него неотличимо от свободного поля. С другойусловия приводят к дискретизации(︁ стороны, граничные)︁222 ⃗, = , , . Моды: ≡ (⃗,), = 1,2, = |⃗|.Индексмод.(0,,,) = ( ,,,) ⇐⇒ 1 = моды это дискретный индекс. Общее решение - суперпозиция частных решений, отвечающих всем модам.Заметим, что оператор ˆ взаимодействия атома со свободным эм полем не зависит от времени. Поэтомув переходе полная энергия системы "атом+поле"сохраняется: = + = = + .

Если > и < , то атом теряет энергию, а поле приобретает энергию. Это означает, что происходит излучение - в одной или нескольких модах поля появляются дополнительные фотоны. Наоборот, если < и > , то происходит поглощение фотонов с возбуждением атома.Переход к операторам получаем в, но они комплексные, следовательно, берем действительную часть,получаем координаты6 импульсы, записываем гамильтониан и все работает(1 , 2 ) = Φ(⃗1 , ⃗2 ) (1 , 2 )=(2 ,1 )при = 1 - антисимметрична; при = 0 - симметрична⇒ Φ зависит от !!! {︃ − , = 12 (1) = ⟨Φ | 12 |Φ ⟩ = + , = 0⇒ ращепление ⇒ электронам выгоднее в = 1.Билет 54Атом,нах-ся в нач.возбужд.сост-ии,спонтанно излучает фотон,и перех в нек-е конеч.сост-е.Выпишите(без выв.)оп-р взаим-я атома с квант.эм.полем.Есть ли в нем доминир.

слагаемые?(a)Выведите ф-лу,опред-ю в дип.прибл.диф.вер-ть изл-я фотона с опред.поляр-й в зад.напр-ии(b)Выведите ф-лу,опред-ю в дип.прибл.полную вер-ть изл-я в ед.времени.Объясните,что называют временем жизни атома относ-но перехода между заданными нач. и конеч.состояния(c)Приведите без выв. ф-лу,опред-ю в дип.прибл.полную вер-ть изл-я в ед.времени.Выпишитеправила отбора для дип.изл-я и объясните их происх-е.)︂∑︁ (︂ 2 ⃗ 2ˆˆ⃗⃗ˆ⃗ + Φ + =− ⃗ − 2 2ˆ~ ⃗⃗ˆ . Первое слаг. опер-ра возм-я 1 ∼ ~ , второе 2 ∼2 ≪ ; ⃗ˆ = 2 2 = −2 ∑︀ ⃗ ˆ 2 = ∼ ~ 1 ≪ 1 .

Оператор возмущения сводится к ˆ ≃ − ⃗ )︁(︁ )︁ ∑︁ ∑︁ √︂ 2~2 (︁⃗⃗ˆˆ ⃗ + э.с. ⃗ˆ = − )︁ ∑︁ ∑︁ˆ)⟨ | | ⟩ = ⟨ |⟨0,0,...1⃗ ,0,...| − (︁√︂~В.ч. фотона)︁2~2 (︁⃗⃗ˆ ⃗ + э.с. ⃗ˆ |⟩|0,0...⟩ˆ |0 ⟩ = 0,ˆ+ |0 ⟩ = |1 ⟩ ≡ |1⃗ ⟩. Выживает только то слагаемое, где родился фотон в той моде, за которойследим. И эти два одинаковых состояния в силу нормировки дают 1. (Справа получаем сумму |1⃗ ⟩ повсем модам, слева |0,...1⃗ ,0,...⟩. Только одна мода и останется - та, за которой следим.)√︂2~2 * ∑︁⃗⃗⃗⟨ |−⃗ ⃗ˆ |⟩; −⃗ ≃ 1-дип-е прибл-е⟨ |ˆ | ⟩ = −(︃ˆ =∑︁)︃2⃗ˆ2~ ˆ ˆˆ , ] = [ ˆ , ] = 1 (ˆ+ ( ) ; [ [ˆ , ] + [ˆ , ]ℎ ) = − ˆ ⇒ ⃗ˆ =[ ,⃗ ]222~ˆ ⃗ˆ |⟩ − ⟨ |⃗ˆ ˆ ‖⟩) = ⟨ |⃗ |⟩( − ) = − ~⟨ |⃗ |⟩ = −⟨ |⃗ |⟩⟨ |⃗ˆ |⟩ =(⟨ |~~~√︃√︂2~2 * ∑︁2~ *⃗ˆ⟨ |ˆ | ⟩ = −⃗ (−⟨|⃗ |⟩) = ⃗⟨ ||⟩⏟⏞⃗ −переходн.дип.моментw (⃗,) =22~~|⃗* ⃗ |2 2 Ω3 1 * ⃗ 2=|⃗ | Ω - вер-ть изл-я фотона в Ω с поляриз.

23 ~ (2)3 3 ~b) Теперь просуммируем по всем поляризациям:w (⃗) =3∑︁∑︁∑︁ 3 ∑︁ * ⃗ 23 * ⃗2* ⃗⃗* ⃗ 2⃗⃗|⃗|Ω;==1(⃗)⃗;||≡=|⃗|=|⃗* ⃗ |2 + |⃗⃗ |232 ~ =1,2=1=1,2∑︁|⃗* ⃗ |2 = (|⃗ |2 − |⃗⃗ |2 ); |⃗⃗ |2 = ( )* ( ) усреднение по сфере даст=1,2˛w=3 ⃗ 2 1 ⃗ 24 3 |⃗ |2122(| | − | | ) =;=w (⃗) = 2~33 3 ~w13˛3 ⃗ 2 1 ⃗ 24 3 |⃗ |2w (⃗) = 22(| | − | | ) =2~33 3 ~⃗ˆПравила отбора в дипольном приближении:(условия ⟨ ||⟩)ˆ1. ⃗ не должен содержать спин. опер-в ⇒ слева и справа должны стоять одинаковые операторы: = , = .2. Векторный оператор ∼ волн.ф.