Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 6

Таким образом влюбой задаче рассеяния имеем при > ∑︁(−)(+)(+)(+) () = ℎ () + ℎ () = (ℎ(−) () + ℎ ()); (⃗)|> = (ℎ(−) () + ℎ ()) (cos )Предположим, что рассеивающий потенциал совершенно отсутствует ( ≡ 0 при всех ). Тогда, с одной⃗стороны, волновой функцией является плоская волна 0 (⃗) = ⃗ = cos . С другой стороны, эта плоскаяволна должна быть представима в виде суммы парциальных волн при всех ≥ 0. Соответствующееразложение действительно имеет место и называется формулой Рэлея.⃗⃗ =∑︁(2 + 1) () (cos ) =∑︁ 2 + 12(−)(+) (ℎ () + ℎ ()) (cos )Рассмотрим общий случай, когда потенциал () отличен от нуля, но исчезает при > . Тогда в этойже области > в.ф.

может быть представлена в форме:(⃗)|> =∑︁∑︁∑︁(+)(+)(+) (1 − )ℎ () (cos ) (ℎ(−) () + ℎ ()) (cos ) − (ℎ(−) () + ℎ ()) (cos ) ==⃗Первая сумма, как мы видели, при надлежащем выборе превращается в плоскую волну ⃗ . Возьмемтеперь вторую сумму с теми же коэффициентами = 2+1 и перейдем к пределу → ∞. Используя2(+)ассимптотическую формулу для функции Ханкеля ℎ (), находим(︃)︃∑︁∑︁∑︁2+1(+)− (1− )ℎ () (cos ) → − (1− )(−)+1 (cos ) =(2 + 1)(1 − ) (cos ) ·22= ()Таким образом, решение УШ при > , обладающее правильной асимптотикой имеет вид: (⃗)|> =·=∑︁ 2 + 12(−)⃗(+) (ℎ () + ℎ ()) (cos ) = ⃗ −∑︁ 2 + 12(+)→∞⃗ (1 − )ℎ () (cos ) −−−→ ⃗ + ()Для амплитуды упругого рассеяния получаем формулу Хольцмарка: () = ∑︁(2 + 1)(1 − ) (cos )2 Так как Ω= | ()|2 , то, определив (), мы полностью решаем задачу рассеяния.В методе парциальных волн амплитуда рассеяния () задается набором амплитуд , = 0,1,2...

Численное значение амплитуды устанавливается следующим образом. В парциальной волне находитсярадиальная функция () на интервале 0 ≤ ≤ . Ее сшивка в точке = с радиальной функцией:(−)(+) ()|> = (ℎ () + ℎ ()) дает . Расчеты показывают, что при > амплитуды становятсяблизкими к единице,т.е. парциальные волны с > не испытывают действия потенциала.Приведем формулы для полного и дифференциального сечений упругого рассеяния:∑︁ ∑︁ ∑︁12= | ()|2 = |= 2(2+1)(1− ) (cos )|2 ; = 2 2(2+1)|1− |2(2+1)2 |1− −|2Ω2 42+1(−)(+)Теперь введем фазы. Пусть имеет место только упругое рассеяние: = ⇒ | | = 1. В этомслучае удобно представить амплитуды в виде = 2 , где - фаза рассеяния -й парциальной волны.2 2При этом получим |1 − |2 = |1 − ∑︀| = | (− − )|2 = 2 sin2 , так что полное сечение упругого2рассеяния принимает вид = 4 (2 + 1) sin .

Существенные вклады в эту сумму дают лишь те2волны, для которых ≤ . Особенно интересен случай медленных частиц, когда ≪ 1. При этомэффективно идет только -рассеяние ( = 0), и сечение рассеяния принимает вид: = 0 = 4sin 0 .2Если 0 = 2 , то сечение упругого рассеяния значительно превосходит геометрическое поперечное сечение≫ 2 . Этот случай называют резонансным рассеянием.0 = 42Обсудим вопрос влияния потенциала на парциальные волны. Естественно ожидать, что потенциал ()существенно влияет лишь на конечно число слагаемых в выписанной сумме по .

В самом деле, пусть-прицельный параметр падающей классической частицы с импульсом = ~. Для орбитального моментападающей частицы относительно начала координат имеем = ~ ⇒ = . Если прицельный параметрчастицы превосходит радиус потенциала, то классическая частица не рассеивается. Соответственно можноожидать, что парциальные волны с орбитальными моментами = > ⇒ > , также не будутиспытывать действи потенциала ().Билет 34Покажите,как диф.ур-е Шредингера для в.ф.рассеив-ся ч-цы может быть преобр-но в инт-еур-е.Что называют ф-й Грина задачи рассеяния?Получите явное выр-е для этой фу-ии.Покажите,пользуясь инт-м ур-м,как связаны др.с др.

ампл.рассеяния и расеивающий потенциал.Запишем дифференциальное уравнение Шредингера:]︂[︂~2 222 (⃗)~2∆ + (⃗) (⃗) =(⃗) | · 2 ⇒ (∆ + 2 )(⃗) =(⃗)−22~~2Если бы справа стоял 0, то это было бы ур-е Гельмгольца (однородное). У нас - неоднородное ур-е Гельмогльца.2 (⃗)(⃗) = 0 (⃗) + 1 (⃗); (∆ + 2 )0 (⃗) = 0; (∆ + 2 )1 (⃗) =(⃗)~2введем функцию Грина: (∆+ 2 )(⃗ −⃗′ ) = (⃗ −⃗′ ), (⃗ −⃗′ ) -ф-я Грина (ФГ) ур-я Гельмольца (′ = ).´⃗′Тогда: 1 (⃗) = (⃗ − ⃗′ ) 2~2( ) (⃗′ ) 3 ′ .ˆ2 (⃗′ )(⃗) = 0 (⃗) + (⃗ − ⃗′ )(⃗′ ) 3 ′ - интегральное ур-е~2˜Как найти ФГ? Всегда можно сместить начало отсчета.

Пусть ⃗′ = 0 → (∆+ 2 )(⃗) = (⃗).∆(︀ )︀(⃗) = (⃗) →1˜(⃗) = − 4 . Докажем это физически: (⃗) = ; (⃗) = (⃗); ∆(⃗) = −4(⃗) → ∆ = −4(⃗).Задача по сути сферически симметрична: (⃗) = (|⃗|) = (). С одной стороны:(︂)︂ ()1 21 () ′′ ()∆=+∆=, ̸= 0,2 2)︀(︀)︀(︀′′С другой стороны: Δ() = ∇ ∇ ()= ∇ 1 ∇ + ∇ 1 = 1 ∇ + ∇ 1 (∇ )·2+ ∇ 1 = −4(⃗) (0){︃ ′′ () + 2 () = 0 ′′ ()()− 4(⃗) (0) + 2= (⃗);− 4 (0) = 11 () = + − ; (0) = + = − 4; (⃗) = + |⃗−⃗′ |(⃗ − ⃗′ ) =−⇒−|⃗−⃗′ ||⃗ − ⃗′ |+|⃗ − ⃗′ |↓-ФГ ур-я Гельм.↓→∞, (расход.(запазд.)ФГ)→∞, −(сход.(опереж.)ФГ)Что такое задача о рассеянии: своб.

ч-ца(волна) падает в обл-ть с потенциалом.⃗⃗ (⃗) = ⃗⃗; (⃗) = (⃗) + (⃗); =+ (,)22=~2 2,2> 0,, где (,) = (⃗) - ампл.рассеян.,⃗ =⃗→∞[︁(︁ ^2⃗⃗⃗2)︁]︁→∞+ (⃗) (⃗) = (⃗) + гр.усл. : (⃗) −−−→⃗⃗⃗1Добавим условия на асимптотику: (⃗) −−−→ ⃗ + (⃗) ; 1)0 (⃗) = (⃗) = ⃗ ; 2) = − 4, = 0 ⇒′|⃗−⃗ |(⃗ − ⃗′ ) = −-ФГ =задачи о рассеянии4|⃗ − ⃗′ |Воспользуемся интегральным уравнением и выведем связь ампл.р.

и потенциала.ˆ |⃗−⃗′ |→∞⃗⃗⃗⃗⃗′ )(⃗′ ) 3 ′ −(⃗) = −(−−→+(⃗)2~2|⃗ − ⃗′ |√︁′′√︀√≫ ( ∼-хар.рад.потенц.)′′|⃗ − ⃗′ | ≡ (⃗ − ⃗′ )2 = 2 − 2⃗⃗′ + ⃗′2 −−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 − 2⃗2⃗ ≃ (1 − ⃗⃗2 ) = −Тогда:′)(−⃗⃗=′ −⃗ ⃗=′ −⃗′ ⃗ (⃗) = −2~2ˆ⃗′− ⃗ (⃗)(⃗) 3 ⃗⃗′= − ⃗⃗′ .Билет 35Выписать(без выв.)инт-е у-е квант.задачи рассеяния.Вывести,пользуясь инт-м ур-м,связь между ампл.рассеяния и рассеив-м потенциалом.Что такое борновское прибл-е в задаче рас-я?Каквыгляд. ампл.рас-я в борн.прибл?Получите усл-я прим-ти борн.прибл.для медл-х(быстр.)ч-ц.ˆ(⃗ − ⃗′ )(⃗) = 0 (⃗) +2 (⃗′ )(⃗′ ) 3 ′ - интегральное ур-е2~Воспользуемся интегральным уравнением и выведем связь ампл.р.

и потенциала.ˆ |⃗−⃗′ |→∞⃗⃗⃗⃗⃗′ )(⃗′ ) 3 ′ −(−−→+(⃗)(⃗) = −2~2|⃗ − ⃗′ |√︁√︀√≫′ (′ ∼-хар.рад.потенц.)′′′′22′′2|⃗ − ⃗ | ≡ (⃗ − ⃗ ) = − 2⃗⃗ + ⃗ −−−−−−−−−−−−−−−−→ 1 − 2⃗2⃗ ≃ (1 − ⃗⃗2 ) = −Тогда:′)(−⃗⃗=′ −⃗ ⃗=⃗⃗′= − ⃗⃗′ .′ −⃗′ ⃗ (⃗) = −2~2ˆ⃗′− ⃗ (⃗)(⃗) 3 Борновское приближение: пусть потенциал в некотором смысле слабый. | | ≫ | | ⇒ (⃗) ≃ (⃗). (первое´ −⃗′⃗⃗ (⃗)⃗ 3 , ⃗ = ⃗ − ⃗ ′ -импульс отдачи.борн.

прибл-е). (⃗) = − 2~2ˆ (⃗) = − (⃗)⃗⃗ 3 -ампл.рассеян.в борн. прибл-ии2~2Определим условие применимости борн.прибл-я.(количественное соотн-е слабости потенциала). Возьмемначало координат (обл-ть действия потенциала). | (0)| ≪ | (0)| → | (0)| ≪ 1.{︃ˆ 0 , < ⃗| (⃗)⃗ 3 | ≪ 1; пусть (⃗) ≃22~0, > 1. Случай медленных частиц ≪ 1:ˆ ˆ 3|0 ||0 |⃗⃗ 3| | ≪ 1;|| ≪ 1;222~2~<ˆ = 22400|0 | 2~222≪1;≪1;||≪02~2~222. Случай быстрых частиц ≫ 1:|0 |1~22≪1;||≪()02~22Интеграл берется точно, но мы оцениваем его качественноБорновское приближение лучше работает для быстрых частицБилет 36Что называют «внезапным возмущением»?Выведите ф-лу,опред-ю вер-ть перех. квант.сис-мыиз одного сост-я дискр.спектра в другое под действием внезап.возм-я.В кач-ве примера обсудите(без дет.расч-в)переходы эл-на в атоме трития при бета-распаде ядра атома(тритона).Внезапным возмущением называется случай, когда ˆ () меняется от 0 до ˆ за время , малое посравнению с характерным временем изменения системы Т.~ЕслиΨˆ ~ |∆Ψ| ∼ | − ||Ψ|= Ψ;∆|∆Ψ|∆| − |~∼≪ 1, то = ∆ ≪∼|Ψ|~| − |ˆ′ = ˆ 0 + ˆ ,Тогда |Ψ(0)⟩ = |⟩; |Ψ( )⟩ ≃ |Ψ(0)⟩= |⟩, т.к.

за время в.ф. не успевает заметно измениться. ∑︀′′′′′ˆпри > | ⟩ - с.в. . |Ψ()⟩ = | ⟩, = ⟨ |Ψ()⟩ ≃ ⟨ |⟩.После изменения гамильтониана старая волновая функция больше не является собственной, но раскладывается по новым собственным функциям и коэффициенты в этом разложении - амплитуды вероятностей.31→32 + + − + ˜ (⃗) = () (,)+32 :a) (⃗) = 100 = 10 ()00 (,)б) (⃗) = 200 = 20 ()00 (,)31 : = 100⟩|2 ∼ 0.7|100a) 1 = |⟨|100б) 2 = |⟨|200 |100 ⟩|2 ∼ 0.3Билет 37Что называют стационарной теорией возмущений?(a)Выведите ф-лы для поправок 1-го и 2-го порядков к эн-ии невыр.уровня дискр.спектра.Вкач-ве примеров обсудите(без дет.расч-в)1)происх-е сил Ван-дер-Ваальса,действ-х между нейтр.

атомами2)поляризуемость атома водорода.(b)Выведите ф-лу для поправки 1-го порядка к в-ру состоя,соответ.невырожд.уровню дискр.спектра.В кач-ве примера обсудите(без дет.расч-в)изм-е в.ф.основн.сост-я атома водородав постоянном эл.поле.Каковы условия применимости стационарной теории возмущений?ˆ 0 | >= 0 | > , = 1,2,..|поместим ˆ = ˆ 0 + ˆ в поле→наруш.Стационарная теория возмущений.

ˆсферич. симметрия (остается осевая симметрия). | >= | > , = 1,2,...ˆ 0 > , ≪ 1, V-малое возмущение.Допустим < ˆ >∼ < а) Уровни исходной системы не вырождены.Шаг1: Если задача точно решаемая, то существует известный базис | >, т.е. ищем | >=ˆ 0 .(ортонорм:< | >= )Пусть | > - с.в. гамильтониана ∑︁∑︁ˆ0 | > + ˆ | >= | >]< |[∑︁ | >. 0 < | > +∑︁∑︀ < |ˆ | > = < | >0 0( − ) =∑︁ - точное ур-е для коэф-в(0)(1)(0)(2)(1)(0)(2)Пусть = + + + ..., = + + + + ..., в частности:2∼1∼∑︀ ∼(1)∑︀ (0)| >= | > + | > +... - подставим это в ур-е, приравняем слагаемые по пор-ку малости(1)(0)| >| >0(0)(1)(2)((0) + (1) + (2) + ... − + ...)(+ + )=∼1∼∼2∼1∼1∼∼2∑︁(0)(1)( + + ...)∼1∼∼0(0)0-й порядок: ((0) − )=0∑︁ (0)0(1)(0)= )+ (1) 1-й порядок: ((0) − 0(2)(1)(0)2-й порядок: ((0) − )+ (1) + (2) =∑︁(1) (0)(0)(0)0-й порядок: = : в 0-м порядке получаем несмещенную энергию = 0 , ̸= 0; ̸= : ̸=(0)(0)(0)0, = 0 ⇒ (0) = 0 , = (| >= | >).(0)(1)(1)(1)(1)001-й порядок: ( − ) + = .

= : = ≡< |ˆ |, ̸= : (0 − ) =(2)(0)< |ˆ | > 2-й порядок: нас интересует . При ней стоит = , т.е. берем = :0::0∑︀(1)(1)(1)(2)(1)(1)<|^ |>0 (2)( = 0-см.пункт b) (0−)++ · 1 =0 − 0 ) . В силу̸= , где = (∑︀ (2)^ |>|2эрмитовости оператора ˆ : ≡< |ˆ | >=< ˆ + || >=< ˆ || >=< |ˆ | >* ⇒ = ̸= |<|0 − 0 )(1) Происхождение сил Ван-дер-Ваальса, действующих между нейтральными атомами, связано с дипольдипольным взаимодействием.=∑︁ |⟨00|ˆ |⟩|2⃗ ⃗⃗⃗⃗3(⃗1 ,⃗)⃗ − ⃗11ˆ = −⃗⃗2 = − (1 ,2 ) − 3(1 ,⃗)(2⃗) ; =;⃗=;∼− 6(0)(1)33,̸=0 00 − 2(1)2) Рассмотрим поляризуемость атома водорода.

Ожидаем ∆1 = − 2 . 1 = ⟨1|ˆ |1⟩, ˆ = −⃗⃗,(в.ф.(1)(2)1сферич-я, а V меняет знак при переходе)⇒ 1 = 0. 1 (⃗) = 10 ()00 = √− , ∆1 = 1 =3∑︀ |⟨2||1⟩|2∑︀ |⟨|^ |1⟩|222=−.Поляризуемостьоцениваетсясверхуиснизу.Оценкаснизу:>=2010,21 −20 −10∑︀223- аппроксимация 1-м слагаемым. 1 ≃ 2.96 . Оценка сверху: < 2 = 2 −1 ,,=1 |⟨||1⟩|2 ≃5.333 .∑︀(1)(1)<|^ |><|^ |>b) = (00 |̸= → | >= | > + | > +0 − 0 + ...