Затеханные билеты с небольшими опечатками, страница 2

(x), норм. на 1.Каковы средние знач-я коорд-ты и имп-са частицы в этом состоянии? Как найти вер-ть того,что при измер-ии p этой ч-цы будут получены значения, лежащие в интервале от p1 до p2 ?´∞ * ()ˆ()⟨⟩ = ⟨()|ˆ|()⟩ =⟨⟩ = ⟨()|ˆ|()⟩ =−∞´∞ * ()ˆ() = −−∞Вероятность: { ∈ (1 , 2 )} =() =√12~´∞−∞´21− ~()´∞−∞ * ()~ () * ()() =´21|()|2 Билет 11Частица, совершающая одномерное финитное движение в потенциальной яме и обладающаяэнергией En , описывается собственной функцией n (x) гамильтониана. Пусть ч-ца движется вэтой яме, но её сост-е в некоторый момент t задано в.ф.

(x), норм.на 1 и не совпадающей нис одной из функций n (x). Как найти вер-ть того,что при измер-ии (в тот же момент t) эн-иичастицы будет получено значение En ? Какова средняя энергия < E > частицы в момент t?В момент t: ()ˆˆˆ|⟩=∑︀ |⟩. Оператор определяет ОНБ собственных векторов |⟩. (|⟩ = |⟩)|⟩ = |⟩В координатномпредставлении (при фиксированном t)∑︀() = () () -раскладываем по базису| |2 = 1 ∑︀- Нормировка⟨ |⟩ = ⟨ | ⟩ = | |2 = ⟨|⟩ˆ то при измерении полной энегрии системы будет полученоТак как - собственная функция ,2значение с вероятностью | ()|Среднее значение :(︃)︃ (︃)︃∑︁∑︁∑︁ˆ⟨⟩ = ⟨||⟩= ⟨| |⟩ = | |2⟨⟩ =∑︀| ()|2 Билет 12Что называют матричными представлениями?Как преобразуются векторы состояний и оп-рыфизических величин от одного матричного представления к другому? Покажите, что соответствующий оператор преобразования является унитарным.

Покажите, что унитарное преоб-еоператоров не меняет коммутационных соотношений между ними.ˆˆ ≡ ⟨∑︀ | | ⟩оператор в мартичном a-представлении|⟩ = | ⟩ ⟨ |⟩⏟ ⎛⏞ ⎞⎜ 1⎟⎜⎟ =⎜ ... ⎟⎝⎠⎛ ⎞1 = ⎝ ... ⎠ - вектор столбец в а - представлении∑︀ˆ⟨ | |⟩ = Теперь: ′ ≡ ⟨ |ˆ | ⟩ оператор ˆ в мартичном b-представленииВыразим⟩∑︀ | ⟩ через |∑︀| ⟩ = | ⟩⟨ | ⟩ = ⟨ | ⟩* | ⟩⏟ ⏞**= ⟨ | ⟩{︃⟨ | ⟩ = Покажем унитарность:∑︀⟨ | = * ⟨ |∑︀∑︀∑︀∑︀+⇒ ( ⟨ |)( * ⟨ |) = * ⟨ | ⟩ = = ⟨ | ⟩ = ⏟ ⏞⇒ + = 1 ⇒ + = −1 - унитарностьУнитарная матрица∑︀ преобразовывает ортонормированный базис в другой ортонормированный базис.′ = ⟨ |⟩ = ⟨ | ⟩ ⟨ |⟩⏟∑︀ ⏞⏟ ⏞ ⏟ ⏞↑^1= | ⟩⟨ |∑︀′ = ∑︀′ = ⟨ | | ⟩ = ⟨ | ⟩ ⟨ |ˆ | ⟩ ⟨ | ⟩⏟ ⏞ ⏟ ⏞⏟ ⏞* = +′ = +Итог:′ = ′ = +Покажем, что унитарное преобразование не меняет коммутационных соотношений между операторамиˆ ]ˆ = ˆ → − = в некотором матричном представленииПусть [;+( )( + ) − ( + )( + ) = ( − ) + = +Получаем:ˆ ′ ] = ˆ ′′ ′ − ′ ′ = ′ ; [ˆ′ ; ∑︀Билет 13Как описываются физические величины и состояния квантовых систем в представлении^ H (t)Гейзенберга? Объясните, как из сравнения ур-й для «гейзенберговского» оператора Aи физической величины A(t) устанавливается связь между коммутаторами и скобками Пуассо(a) Что называют уравнениями Гейзенберга?^ i ,P^ j ], где Q^i и P^ j – операторы обобщённых координат и(b) Найдите значения коммутаторов [Qимпульсов,основываясь на значениях скобок Пуассона {Qi ,Pj } .1)() → ()ˆ ≡ ˆ (в замкнутой системе гамильтониан не зависит от времени)→Ψ{︃не зависит от , , : {, } = ⇒2) (), (), ()ˆ } = ˆ - квантовая скобка Пуссона⇒ ∃ операция {ˆ , 3)^ ()ˆ ˆ ()}= {, } → = {,Квантовая скобка пуассона:Требования:ˆ }ˆ = −{,ˆ }ˆ а) {,ˆ ,ˆ }ˆ = {ˆ ,ˆ }ˆ + {,ˆ }ˆ ˆb) {,+ˆ }ˆ = {,ˆ }ˆ c) {,^ ]^ˆ }ˆ ] = [][d) [{,[][][ Cтроим по типу классических скобок Пуассона]Этим требованиям удовлетворяют:ˆ ]ˆˆ }ˆ = [,{,~Получаем уравнение Гейзерберга:^ ()ˆ ˆ ()]= ~ [,При этом { , } = − - было в классической СПˆ ,ˆ } = ⇒ [ˆ ,ˆ ] = ~Тогда {Билет 14Как описываются физические величины и состояния квантовых систем в представленииШредингера? Считая известными уравнения Гейзенберга, получите оп-р эволюции в-в сост-йв представлении Шредингера.Покажите, что оп-р эволюции является унитарным оператором.Что называют ур-ем Шредингера? Какие состояния называют стационарными? Установитеобщий вид «шредингеровских» в-в, зависящих от времени и описывающих стац-е состояния.Из уравнения Гейзенберга:^ ()ˆ ˆ ()]= ~ [,^^Следует: ˆ () = ~ ˆ (0)− ~^− ~ -оператор эволюции ˆ ()^^Тогда ⟨⟩() = ⟨Ψ |ˆ ()|Ψ ⟩ = ⟨Ψ | ~ ˆ (0) − ~ |Ψ ⟩⏟ ⏞⏟⏞⟨Ψ()||Ψ()⟩ˆˆ (0)(ˆ ̸= ())- Шредегингеровское представление оператораˆ → ˆ ≡ ˆ (0) = |Ψ()⟩ = ˆ () |Ψ ⟩⏟ ⏞|Ψ(0)⟩^− ~|Ψ()⟩ = |Ψ(0)⟩^|Ψ⟩= − ~ |Ψ()⟩|Ψ()⟩ˆ~ = |Ψ()⟩- уравнение Шредингера ^−ˆ () = ~ - оператор эволюцииˆ (0) = 1̂ˆ + (0) = 1̂^ ()ˆ ˆ ()= − ~ +^ ()ˆ= ˆ + ()~ ˆ+ˆ ())(()ˆ+ ˆ^+^ˆ ˆ () − ˆ + () ˆ ˆ () = 0= () ˆ () + ˆ + () () = ~ ˆ + ()~ () () = = ˆ + (0)ˆ (0) = 1̂ → Является унитарнымСтационарные состояния - состояния, в которых энергия имеет определенные значения:ˆ не зависит явно от tИщем решения уравнения шредингера в виде:(,) = ()()Подстановка:ˆ= ()()~ ()()~ =^()=()− ~ = () = ˆˆ() удовлетворяет уравнению ()= () и является собственными функциями оператора Таким образом (,) = ()− ~ˆ () = () - стационарное уравнение Шредингера ()- волновая функцмя стационарного состоянияБилет 15Что называют представлениями Гейзенберга и Шредингера? Считая известным уравнениеШредингера, выведите ур-я Гейзенберга для операторов.

Рассмотрите в качестве примера(a) свободное движение частицы вдоль оси x,(b) движение заряженной частицы вдоль оси x в постоянном электрическом поле E,2 2(c) движение частицы массой m вдоль оси x в поле U(x) = m2 xи найдите явный вид «гейзенберговских» операторов x^H (t) и p^ H (t).^− ~ + ˆˆˆˆˆПредставление Гейзенберга: () = (0) , () = - оператор эволюции, |⟩ = |(0)⟩ =constˆˆПредставление Шредингера: ˆ ̸= ();|⟩ = |()⟩.

Пусть в общем в виде: ˆ = ()⟨⟩ = ⟨()||()⟩ˆ= Имеем ~ ⟨⟩ ˆˆ |⟩ˆˆˆ ]|⟩ˆ= ⟨ ||⟩ + ⟨| |⟩ + ⟨|| ⟩ = ~ ⟨|+ ⟨| |⟩ − ~ ⟨||⟩= ⟨| + ~ [,≡⟨| |⟩^ˆ ]ˆ= + ~ [,Примеры:а)2ˆ = ^2ˆ ()−?; ˆ ()−?^ ()ˆ ˆ ] = 0= ~ [,ˆ () = ˆ (0) = = ˆШред = −~ ^ ()ˆ ˆ ] = [ˆ− ~ [,2 , ˆ ] = 2~(ˆ [ˆ ,ˆ ] + [ˆ ,ˆ ]ˆ )2~ ˆˆˆˆˆ{ , } = → [ , ] = −~⏟⏞ ^^ ][ ,~{,} = −1 ⇒ [ˆ (),ˆ ()] = ~^ ()= 2~ (−2~)ˆ = ^ˆ () = ˆ (0) + ^ = + ^ ⏟ ⏞^=b) ⃗ = ⃗ = − = − , = 2ˆ = ^ − ˆ2^ ()ˆ ()] == [,ˆ]︁−ˆˆ = − ~ ~ = ~]︁]︁[︁ 2[︁ 2^ () ˆ ^ ^= ~ [,ˆ ()] = ~ 2 − ˆ ˆ = ~ 2 , ˆ () − 0 = ^()ˆ () = ˆ (0) + 2ˆ () = ˆ (0) + ^(0) + 2c)2 () = 222ˆ = ^ + 2222222^ ˆ=[,ˆ] = ~ [ˆ2 , ˆ ] = (ˆ [ˆ ,ˆ ] + [ˆ ,ˆ ]ˆ ) = ~ (2~ˆ ) = − 2 ˆ~2~2~2~2^ˆ ˆ ] = [ˆ= [,2 , ˆ ] = ... = ^~~ 2~~[︁^22⎧ˆ⎪⎨ = − 2 ˆˆˆ⎪⎩=2 ^2 2 = − 2 ˆˆ = cos + sin ; = ˆ (0); =ˆ = − sin + cos ^ (0)Билет 16^Считая известным ур-е Шредингера, получите выражение для «шредингеровского» оп-ра ddtAизменения физической величины A во времени.

В чём смысл этого оператора? Какие физ.величины называют интегралами движения? Рассмотрите в качестве примера одномерноедвижение ч-цы массой m в потенц-м поле U(x). Найдите явный вид «шредингеровских»x d^, p и объясните, что называют теоремой Эренфеста.операторов d^dt dtˆПусть в общем в виде: ˆ = ()⟨⟩ = ⟨()||()⟩ˆИмеем ~ = ⟨⟩ ˆˆ |⟩ˆˆˆ ]|⟩ˆ= ⟨ ||⟩ + ⟨| |⟩ + ⟨|| ⟩ = ~ ⟨|+ ⟨| |⟩ − ~ ⟨||⟩= ⟨| + ~ [,≡⟨| |⟩^ˆ ]ˆ - Шредингеровский оператор изменения величины во времени= + ~ [,^Если = 0, то ⟨⟩ = - тогда говорят что - интеграл движения1)Движение в поле[︁ 2 ()]︁^^2^ ˆ= ~ [, ˆ] = ~ 2 + (), ˆ = 2~(ˆˆˆ − ˆˆˆ + ˆˆˆ − ˆˆˆ) = 2(ˆ[ˆ,ˆ] + [ˆ,ˆ]ˆ) = ^^ˆ ˆ] = [ (), ˆ] = − ()= ~ [,~[ (), ˆ] () − ~ () ′ () + ~( ′ () () + ′ () ()) = ~ ′ () ()⇒ ⟨⟩= ⟨⟩⟨⟩=−⟨⟩2 ⟨⟩⟩⇒ 2 = −⟨ Пусть ∆ - областьлокализации частицы,∆ << , где - характерный размер изменения ′⃒⃒⃒⃒2 ⟨⟩ ⃒ ⃒→⇒ −⟨ ⟩≃≃−2 ⃒ ⃒≃⟨⟩≃⟨⟩Квантовая динамика перешла в классическую (мы получили второй закон Ньютона) - Теорема Эренфеста - классическая механика - предельный случай квантовой.Билет 17Что называют оператором сдвига векторов состояний физической системы? Покажите, чтооператор сдвига является унитарным.

Каким образом оператор сдвига связан с операторомимпульса ⃗ˆ физ. системы? Объясните, как в квантовой теории из однородности простр-вавыводится закон сохранения импульса. Пользуясь свойствами оператора сдвига, найдитеявный вид оператора импульса частицы в координатном представлении.Если пространство однородно, то сдвиг физической лабораторной системы отсчета на произвольный вектор ⃗ не меняет результатов измерений.|Ψ; 1⟩ - состояние исходной системы|Ψ; 2⟩ - состояние системы, сдвинутой на ⃗ вместе с лабораторной.Если ⃗ отсчитывается от фиксированного в пространстве начала координат, то⟨⃗|Ψ; 1⟩ = ⟨⃗ + ⃗|Ψ; 2⟩ ←→ ⟨⃗ − ⃗|Ψ; 1⟩ = ⟨⃗|Ψ; 2⟩|Ψ; 2⟩ = ˆ(⃗)|Ψ; 1⟩; ˆ(⃗) - оператор сдвига на ⃗⃗^ - некоторый векторный эрмитовый оператор, независящий от времени.

ПокаПредставим ˆ(⃗) = − ~ ,ˆˆ ˆ(⃗)] = 0. В силу однородности пространства |Ψ; 2⟩ = ˆ(⃗)|Ψ; 1⟩∀жем, что [,|Ψ; 2⟩ˆ(⃗)|Ψ; 1⟩ˆ= ~= ˆ(⃗)|Ψ;1⟩ˆ ˆ(⃗) − ˆ(⃗))|Ψ;ˆ→ (1⟩ = 0|Ψ; 2⟩ˆˆ ˆ(⃗)|Ψ; 1⟩~= |Ψ;2⟩ = ~^ ∑︀+∞ (− ⃗)ˆˆ ˆ(⃗)] = 0 ⇒ [,ˆˆ ] = 0.Заметим, что (⃗) = =0 !~ → [,Из однородности пространства следует существование такого эрмитового оператора ˆ, что 1) ˆ не заˆ ] = 0 ⇒ ˆ - интеграл движения. В классической механике величиной, сохраняювисит от ; 2) [,ˆщей в результате однородности пространства является импульс → ˆ - оператор импульса. (из билета5: ⟨|ˆ(⃗)|Ψ⟩ = ⟨ˆ(−⃗)|Ψ⟩ ⇒ ˆ+ (⃗)ˆ(−⃗) = ˆ−1 (⃗))Рассмотрим вид оператора при малом сдвиге ⃗ → ⃗.⃗⃗⃗ˆ(⃗) = − ~ ≃ 1 − ⃗ˆ~^⟨⃗ − ⃗|Ψ; 1⟩ = ⟨⃗|Ψ; 2⟩(︃)︃ˆ^⃗⃗⃗⃗|Ψ; 2⟩ = − ~ |Ψ; 1⟩ = 1 − |Ψ; 1⟩~(︃)︃⃗⃗ˆ⟨⃗ − ⃗|Ψ; 1⟩ = ⟨⃗ 1 − |Ψ; 1⟩ =~{︃}︃∑︁Ψ⃗= Ψ(⃗ − ⃗) = (⃗) −= Ψ(⃗) − ⃗∇(⃗) = ⟨⃗|Ψ; 1⟩ − ⃗∇⟨⃗|Ψ; 1⟩ = ⟨⃗|Ψ; 1⟩ − ⟨⃗|⃗ˆ|Ψ; 1⟩~⟨⃗|⃗ˆ|Ψ⟩ = −~∇⟨⃗|Ψ⟩⃗ˆ = −~∇Билет 18Что называют оп-м поворота в-в состояний физ.