Краткий курс термодинамики, страница 7

Однако оно не ограничивается провоз­глашением принципа tertium non datur: тепло, работа, а третьего недано.Изменение энергии системы равно сумме работы ′ , совершённойнад системой, и подведённого к ней тепла :∆ = + ′ .(2.1)Обратите внимание: в формулировке нетэпитета «внутренняя» при слове «энергия». Иэто не случайно. Действительно, представимсебе, что мы положили сосуд с газом на глад­кий стол (рис.

4) и надавили на поршень. ГазРис. 4подвергнется сжатию, над ним будет соверше­на работа, его внутренняя энергия увеличится. Но кроме этого, сосуд30Глава II. Постулаты термодинамикис газом начнёт двигаться, у газа (конечно, и у сосуда) появится кине­тическая энергия, на это пойдёт часть работы.Впрочем, как уже отмечалось, это обычно неинтересно при анали­зе тепловых процессов, и в формулах фигурирует именно внутренняяэнергия.

Если ещё вместо работы внешних сил подставить работу си­стемы, запись первого начала — закона сохранения энергии в тепловыхпроцессах — примет вид∆ = − .(2.2)Запишем первое начало для элементарного процесса, т. е. для бес­конечно малого изменения состояния системы: = − .(2.3)Различие в обозначениях малых величин ( , но и ) отражаетразличный их математический смысл. Величина — дифференциалфункции состояния, внутренней энергии системы. Это полный диффе­ренциал, то есть он может быть записан как сумма частных диффе­ренциалов. Например, изменились объём и температура на величинысоответственно и .

Тогда величину изменения внутренней энер­гии можно записать в виде(︂(︂)︂)︂ +.(2.4) = И конечно, результат не зависит от порядка слагаемых.А вот о величинах и этого сказать нельзя. Работа и коли­чество теплоты не являются функциями состояния, они — функциипроцесса. Поэтому их малые приращения нельзя считать дифференци­алами. Если изменения объёма и температуры равны и , мы ещёне знаем, каковы и .

Разные величины мы получим, если сна­чала изменится объём, а затем температура, или, наоборот, сначалатемпература, а затем объём. Ни с одной из этих величин не совпадаетрезультат, если объём и температура меняются одновременно. Тольковнутренняя энергия во всех трёх случаях изменится одинаково.⋆ ⋆ ⋆Первое начало термодинамики можно в определённом смысле рас­сматривать как определение количества теплоты. Подсчитаем, на­сколько изменилась внутренняя энергия системы, измерим совершён­ную системой работу — сумма этих величин и есть подведённое к си­стеме тепло. Так или иначе, мы «только» оформили количественно,§ 5.

Первое начало термодинамики31математически некоторое обобщение знакомого нам из механики (ииз школьного курса физики) закона сохранения энергии. Тем не менееуже это позволяет нам получить ряд важных результатов и ввести рядполезных понятий, чем мы и займёмся.1∘. Опыт Гей-Люссака. Разделим жёсткий теплоизолированный со­суд перегородкой на две части; одну из них заполним газом, в другойсоздадим вакуум (рис. 5). Теперь уберём перегородку и тем самым поз­волим газу заполнить весь сосуд. Измерим температуру газа до удале­ния перегородки и тогда, когда установится равновесие после заполне­ния газом всего сосуда.Оказывается, что для идеального газа этиp p ppтемпературы всегда равны. Неважно, какуюp p pp p p p pp pppчасть сосуда газ занимал вначале, какова былаpp p p pp ppp p 1его начальная температура — конечная будет1такой же.Рассмотрим энергетический баланс процес­Рис.

5са. Сосуд по условию теплоизолирован — тепло к газу не подводится (ине отводится от него). Работы газ не совершает: оболочка жёсткая —нет перемещения, нет работы. Но вместе взятые эти два утвержденияозначают, что не изменилась внутренняя энергия газа. Нетрудно сде­лать вывод, что внутренняя энергия идеального газа не зависит отобъёма и является функцией одной температуры. Это хорошо согла­суется с газокинетической моделью упругих шариков; но подчеркнём,что опыт Гей-Люссака приводит к такому выводу независимо от моде­ли, независимо от того, приняли мы какую-то модель или нет.2∘.

Теплоёмкость, политропа, адиабата. Как изменится температу­ра тела, если к нему подвести некоторое количество теплоты ? Это,конечно, зависит от свойств тела. Но это зависит ещё и от конкретноговида процесса, в ходе которого подводится тепло. В качестве количе­ственной характеристики, повторим, и тела, и процесса используетсятеплоёмкость , определяемая как количество теплоты, которое надоподвести в данном процессе, чтобы температура возросла на единицу(на один кельвин):=.(2.5)Заметим, что работу мы будем записывать в виде = .(2.6)Действительно, работа равна произведению силы на перемещение32Глава II.

Постулаты термодинамики. Если действует давление , то на площадке сила равна = .Но = , и мы приходим к формуле (2.6).Если теперь свести воедино соотношения (2.3) – (2.6), мы получим(︂(︂)︂)︂ + + .(2.7) = Рассмотрим несколько частных случаев.1) И з о х о р и ч е с к и й п р о ц е с с: = const.Перепишем (2.7), только укажем нижним индексом величину, кото­рая в данном процессе остаётся постоянной:(︂(︂)︂)︂V = + + .

Само собой разумеется, что = 0. И тогда(︂)︂V =. 2) И з о б а р и ч е с к и й п р о ц е с с: = const.(︂)︂)︂(︂ + + .P = Но ≡получаем(︀ )︀. Используя ещё результат предыдущего пункта,(︂P − V =)︂ [︂(︂)︂]︂+ .(2.8)Таково общее соотношение между теплоёмкостями при постоянномобъёме и постоянном давлении. Если мы рассмотрим идеальный газ, укоторого, как мы выяснили, внутренняя энергия не зависит от объёма,и для определённости возьмём один моль [тогда ( / ) = / ], мыприходим к соотношению Роберта Майера:P − V = .3) П о л и т р о п а (для идеального газа). Любой процесс, в ходекоторого теплоёмкость остаётся постоянной, называется политропиче­ским.

Заметим, что изохора и изобара, вообще говоря, даже для идеаль­ного газа не обязательно являются политропами, так как V (а значит,§ 5. Первое начало термодинамики33и P ) может зависеть от температуры. В любом случае для идеальногогаза можно записать дифференциальное уравнение политропы: или ( − V )=.Если же V не зависит от температуры, после интегрирования получа­емV − · = const.

= V +Используя уравнение состояния, преобразуем это соотношение в стан­дартное уравнение политропы:−P−V= = const.(2.9)−Pназывается показателем политропы.Величина = −VНаиболее важной из политроп является адиабата — процесс, в ко­тором = 0, а значит, и = 0. Для показателя адиабаты принятоспециальное обозначение = P /V , а уравнение = const(2.10)называется уравнением адиабаты Пуассона, или просто адиабатойПуассона. Отметим ещё раз, что это уравнение квазистатического адиа­батического процесса для идеального газа с постоянной теплоёмкостьюV (и конечно, P ).3∘.

Скорость звука (в идеальном газе). Из механики известно, чтоскорость продольных волн (а в газе возможны только такие волны)определяется соотношением 2 = / ( — плотность). Но величинапроизводной может отличаться в разных процессах. В конденсирован­ных средах — жидкостях и твёрдых телах — это отличие ничтожномало. А в газах сжимаемость от процесса к процессу может менять­ся довольно значительно, и здесь важно выбрать правильную модельраспространения звуковых волн.Ньютон предположил, что этот процесс — изотермический.

Тогда/ = const, и значит: ( ) = / = /. Однако вычисленнаяпо этой формуле скорость звука в воздухе при нормальных условияхдолжна составлять около 280 м/с, в то время как эксперимент даётвеличину 332 м/с. Лаплас решил, что процесс распространения зву­ка — адиабатический. Тогда 2 = ( )ад = /, и полученная изэтой формулы величина прекрасно согласуется с опытными данными.(Теплоёмкость моля воздуха при постоянном объёме V = 5/2, соот­ветственно = 7/5.)34Глава II. Постулаты термодинамики4∘.

Дросселирование. Позволим газу выте­кать из сосуда, где поддерживается давление121 , в пространство, где давление равно 2 , на­пример, в атмосферу, через пористую перего­родку (рис. 6). Такой процесс называется дрос­Рис. 6селированием. Если дросселирование происходит в условиях отсут­ствия теплообмена, то оно называется адиабатическим дросселирова­нием или процессом Джоуля—Томсона.Для того чтобы вытеснить газ, занимающий в сосуде объём 1 , надосовершить работу 1 = 1 1 . Если после дросселирования газ займётобъём 2 , то при выходе из пробки он совершит работу 2 = 2 2 . Приотсутствии теплообмена первое начало в таком случае будет выглядетьследующим образом: 2 − 1 = 1 1 − 2 2 .

Иначе, величина = + (2.11)в процессе Джоуля—Томсона остаётся постоянной. Так как и являются функциями состояния системы, их сумма , очевидно, то­же функция состояния. Называется она энтальпией. То есть можносказать, что процесс адиабатического дросселирования — изэнтальпи­ческий процесс.Нетрудно видеть, что в отсутствие теплоизоляции подведённое к га­зу количество теплоты должно быть равно изменению энтальпии газа.В частном случае идеального газа можно записать (для моля) = ( + ) = ( + ) = V + = P .Отсюда немедленно следует, что для идеального газа, во-первых, приадиабатическом дросселировании температура остаётся неизменной, и,во-вторых, если дросселирование не адиабатично, то подведённое к га­зу тепло равно = ∆ = P ∆ .5∘.

Адиабатическое истечение газа.Немного изменим условия опыта. Пусть газ вы­текает из сосуда через короткую трубку. Имен­но короткую и не слишком узкую. Тогда те­чение газа будет организованным, направлен­Рис. 7ным, поток будет сформировавшимся, а с дру­гой стороны, гидродинамическое сопротивление будет небольшим, газбудет заметно ускоряться, то есть будет меняться кинетическая энер­гия газа. Мы отмечали, что, вообще говоря, тепло и работа внешнихсил, конечно, изменяют полную энергию системы. И лишь тогда, ко­гда все компоненты энергии, кроме внутренней, несущественны, от них§ 5.

Первое начало термодинамики35можно отвлечься. Такой и была ситуация в процессе Джоуля—Томсо­на. Из-за большого сопротивления пористой перегородки протеканиюгаза скорость последнего как до пробки, так и после неё достаточномала, изменением кинетической энергии движения порций газа какцелого можно пренебречь (заметим, что в этом отношении пористаяперегородка эквивалентна длинной тонкой трубке).Теперь этого делать нельзя. Но внутри сосуда сечение велико, а втрубке — мало (рис. 7).