Краткий курс термодинамики, страница 10

Чтобы выяснить это, проанализируемцикл Карно, в котором рабочим телом служит идеальный газ.Тепло в цикле Карно рабочее тело получает и отдаёт только наизотермах. А внутренняя энергия идеального газа, как мы знаем, наизотерме не меняется. Поэтому полученное на изотерме тепло равнопроизведённой газом работе. Например, на участке 12 (рис.

8)ZZ12 = 1 ln .1 = 1 = =11212Аналогично, на изотерме 3–4|2 | = ′2 = 2 ln3.4Теперь вспомним уравнение адиабаты идеального газа = constи с помощью уравнения состояния преобразуем его к виду −1 == const. Так как обе адиабаты цикла (23 и 41) лежат в интервалетемператур от 1 до 2 , мы получаем(︂ )︂−1 (︂ )︂−11121232==, или=, т. е.=.3423414Следовательно, |2 |/1 = 2 /1 , но мы приняли, что эта величинаравна Θ2 /Θ1 .

Значит, при выборе одинаковых единиц (или, что экви­валентно, одинаковых реперных точек), все три шкалы температур —44Глава II. Постулаты термодинамикиидеальногазовая, газокинетическая и термодинамическая — совпада­ют. Поэтому в дальнейшем мы и для термодинамической температурыбудем использовать обозначение .4∘. Необратимые процессы. Вторая теорема Карно. Цикл Кар­но обратим, так как обратимы все процессы, из которых он состоит.Но обратимый процесс — идеализация. Не может в реальности осуще­ствиться в точности обратимый цикл.Одну из причин необратимости мы не раз уже упоминали — этотрение.Теплоотдача при конечной разности температур также необрати­ма. Действительно, одним из критериев обратимости является возмож­ность запустить процесс в обратную сторону, ничтожно мало изменивпараметры процесса, параметры состояния участвующих в процессетел. Чисто формально допустима лишь бесконечно малая разностьтемператур.

Но здесь важно не перегнуть палку. Как говорил вели­кий Гиббс, «математик может говорить всё, что ему придёт в голову;но физик должен, хотя бы отчасти, находиться в здравом рассудке».Проследим за этим противоречием между требованиями математиче­ской строгости и «здравым рассудком» на примере адиабаты.Обратимый адиабатический процесс должен удовлетворять двумкритериям.

Во-первых, должен отсутствовать теплообмен. Конечно,невозможно реально создать идеальную адиабатическую оболочку. Ноесли интенсивность теплообмена невелика, а процесс происходит быст­ро, полученное тепло может быть сколь угодно мало. Если процесспровести бесконечно быстро, теплообмена не будет. С другой стороны,чтобы процесс был подлинно квазистатическим, чтобы не нарушалосьравновесие между частями системы, чтобы в любой момент системев целом и любой его части можно было приписать одну и ту же тем­пературу, одно и то же давление, процесс должен быть бесконечномедленным. Итак, мы пришли к обескураживающему выводу: адиаба­тическим можно признать только бесконечно быстрый и в то же времябесконечно медленный процесс! Что же это может означать?По-видимому, только одно: процесс должен быть настолько медлен­ным, чтобы внутри системы её части успевали уравновеситься, чтобыу всех частей системы были одни и те же параметры состояния; с дру­гой стороны, процесс должен быть настолько быстрым, чтобы теплооб­меном с окружающими телами можно было пренебречь.

Необходимоеусловие возможности такого процесса можно сформулировать так: ха­рактерное время установления теплового равновесия с окружающейсредой 1 должно быть гораздо больше характерного времени уста­§ 6. Второе начало термодинамики45новления равновесия внутри системы 2 . И тогда достаточным услови­ем квазистатического адиабатического процесса будет промежуточноезначение характерного времени изменения параметров системы в ре­зультате внешнего воздействия 0 , т.

е. условие 1 ≫ 0 ≫ 2 .От устройства системы зависит, возможен ли вообще в ней адиа­батический процесс. Будет ли процесс обратимой адиабатой, зависитот характера («скорости») внешнего воздействия. Но есть ещё один,несколько неожиданный аспект вопроса, можно ли применять уравне­ние адиабаты для анализа того или иного процесса. Как ни странно напервый взгляд это звучит, ответ зависит ещё и от степени подробностинашего анализа. Поясним это утверждение.Газ находится под поршнем в сосуде со слабо проводящими теплостенками. Если слишком медленно двигать поршень, некоторое коли­чество теплоты все же будет потеряно, процесс нельзя считать проте­кающим в условиях отсутствия теплообмена. Но если поршень двигатьслишком быстро, уплотнение газа, создаваемое поршнем, не будет рав­номерным по объёму сосуда — не успеют прийти в равновесие различ­ные порции газа.

В частности, в газе могут возникнуть звуковые (илидаже ударные) волны. У газа в целом не будет определённого состоя­ния, пользоваться уравнением адиабаты нельзя.В то же время сам процесс распространения звуковой волны мы рас­сматривали, используя уравнение адиабаты, и утверждали, что опира­ющаяся на него формула Лапласа прекрасно согласуется с эксперимен­том. Да, но в этом случае мы не рассматривали весь газ в сосуде или втой части атмосферы, где распространяется звуковая волна.

«Нашейсистемой» мы считали некоторую порцию газа, находящуюся, к при­меру, в области повышенного давления. Внутри этой порции равнове­сие успевает установиться, находящемуся здесь газу можно приписатьвполне определённые значения параметров. А вот теплообмен с други­ми «системами» — с порциями того же газа, находящимися в областипониженного давления — этот теплообмен за время прохождения вол­ны пренебрежимо мал.Между прочим, мы отметили третий (кроме трения и теплопереда­чи при конечной разности температур) механизм нарушения обратимо­сти процессов — наличие скачков давления, взаимодействие областейс конечной (НЕ бесконечно малой) разностью давлений.Наконец, назовем четвёртый типичный механизм — это диффузия.Если мы бросим кусок сахара в стакан воды и подождем достаточнопродолжительное время, сахар практически равномерно распределит­ся по всему объёму.

А вот обратно он не соберется — процесс пере­46Глава II. Постулаты термодинамикимешивания молекул сахара и воды, процесс диффузии сахара в воденеобратим.Если цикл включает хотя бы один необратимый процесс, он необ­ратим в целом. Чего же можно ждать от такого цикла? Ответ таков:Т е о р е м а К а р н о (II). КПД любой машины, работающейпо необратимому циклу, не может превышать КПД машины Карно,работающей между теми же тепловыми резервуарами.Доказательство аналогично таковому для первой теоремы Карно.Обратимую машину Карно запустим по холодильному циклу, исполь­зуя работу, полученную от необратимой тепловой машины. Если КПДпоследней превышает КПД машины Карно, результатом совместнойработы двух машин будет передача тепла от менее нагретого тела кболее нагретому, что противоречит второму началу термодинамики.Итак, машины Карно имеют не только одинаковый, но и макси­мально возможный для заданных температур нагревателя и холодиль­ника КПД.

Это заключение может показаться несколько поспешным.Мы пока знаем, что КПД необратимых машин не может превышатьКПД машины Карно. Надо ещё разобраться с машинами, работающи­ми по обратимым циклам, отличающимся, однако, от цикла Карно. Ив первую очередь возникает вопрос: а возможны ли такие циклы?Ясно, что с двумя тепловыми резервуарами осуществить обрати­мый цикл, отличный от цикла Карно, нельзя.

Даже если изменениесостояния рабочего тела происходит квазистатически, в системе в це­лом — рабочее тело плюс два термостата — неизбежны необратимыепроцессы, когда теплообмен происходит при температуре рабочего те­ла, отличающейся от температуры термостата.Влияние увеличения числа термостатов 6 1пояснимна простом примере (рис. 9).

Пусть2имеется три термостата с температурами,3в порядке убывания, равными 1 , 3 и 2 .14Цикл 12345671, состоящий из изотерм с тем­73пературами термостатов и из адиабат, бу­65 2дет обратим. Но что можно сказать о егоКПД? Заметим, что он эквивалентен сово­купности двух циклов Карно — 123671 и34563, причём КПД второго из этих цикловРис. 9меньше, чем первого. Очевидно, КПД наше­го цикла будет меньше, чем КПД цикла Карно, проведённого междутермостатами с температурами 1 и 2 , например, цикла 123671.

Рас­суждая подобным образом, переходя в пределе для произвольного цик­ла к бесконечно большому числу бесконечно малых циклов Карно, мы§ 6. Второе начало термодинамики47можем обобщить свойство цикла Карно следующим образом: он име­ет максимально возможный при заданном температурном интервалекоэффициент полезного действия (максимальный КПД при заданныхмаксимальной и минимальной температурах).5∘. Тепловой насос.

Холодильная машина. Тепловая машина, за­пущенная в обратном направлении, потребляет механическую энергию(«работу»), отнимает тепло у сравнительно холодного тела и передаёттепло более нагретому телу. В зависимости от того, что именно мысчитаем полезным эффектом, такое устройство называется тепловымнасосом или холодильной машиной (чаще — просто холодильником, номы будем избегать такого словоупотребления, чтобы не перепутать снизкотемпературным термостатом).Для обратимой машины соотношения между , 1 и 2 при рабо­те по обратному циклу сохраняются. К примеру, используем машинуКарно для поддержания в комнате температуры 1 = 293 K (+20 ∘ C,когда на улице мороз — 2 = 253 K (−20 ∘ C).

Производительностьтеплового насоса, то есть отношение «закачанного» в комнату с улицытепла к произведённой работе = 1 / = 1 /(1 − 2 ) = 1/ == 293/40 = 7,3. На каждый затраченный джоуль работы мы получаембольше семи джоулей тепла! На использовании этого соотношения ос­нован предложенный Томсоном так называемый динамический способотопления. При динамическом отоплении тепло, выделяющееся присгорании топлива, используется не прямо для нагрева помещения, адля запуска теплового насоса. Допустим, мы получили 1 Дж теплапри температуре 0 = 673 K (400 ∘ C). Это все, что получит отапли­ваемая комната при традиционном способе.