Краткий курс термодинамики, страница 5

Параметры и уравнения21стоянном давлении), то есть ( / ) > 0, то и ( / ) > 0 — еслинагревать тело при постоянном объёме, вырастет давление.Вспомним об аномалии воды в диапазоне 0–4 ∘ C: ( / ) < 0.Не производя эксперимента, можно с уверенностью утверждать, что и(/ ) в этом диапазоне температур у воды отрицательна.jСоотношение (1.5) — факт чисто ма­тематический. Это не есть свойство объ­ёма, температуры и давления. Подобно­го рода связь существует между любы­ми тремя параметрами, если они доста­точно полно описывают состояние телаРис.

3(или если другие параметры, входящиев уравнение состояния, фиксированы). Чтобы это утверждение не вы­глядело слишком абстрактным, рассмотрим такой опыт. С помощьюгруза растянем резиновый шнур (рис. 3). Чтобы увеличить длину ре­зинки, надо увеличить силу — (/ ) > 0. Теперь изменим темпера­туру — подогреем резинку. Мы видим, что длина её уменьшилась —(/ ) < 0.

Достаточно очевидно, что возвращение к прежней длинепри новой температуре требует увеличения силы: > 0, > 0, а мывернулись к прежней длине — ( / ) > 0. Из трёх производных однаотрицательна. Количественные измерения убеждают, что(︂ )︂ (︂)︂ (︂)︂= −1. Таким образом, соотношение, полученное для набора , оказы­вается справедливым и для параметров . В этом случае аналогиямежду , , c одной стороны, и , — с другой, достаточно прозрачна.В случае, к примеру, электрического, магнитного полей, силы тяжестии т.д. не все бывает так просто.

И все же общие закономерности сохра­няются.Это и позволяет упрощать вывод некоторых соотношений, рассмат­ривая лишь удобный конкретный объект. Конечно, затем должна бытьвнимательно прослежена правомерность обобщения полученного ре­зультата.Таким удобным объектом нам будет служить идеальный газ.22Глава I. Предмет термодинамики§ 3. Модели. Идеальный газМатематика — языкДж.У.

ГиббсМатематика — язык естественных наук. Это язык весьма универ­сальный (недаром сказано И. Кантом: «В каждой науке ровно столькоистины, сколько в ней математики.»). Но это и язык весьма специфи­ческий. Нельзя прямиком перевести на него явления природы. Обяза­тельно сначала надо построить достаточно ясную, удовлетворяющуютребованиям математики модель. В конце концов, если позволено бу­дет допустить некоторую легковесность суждения, можно сказать, чтовся наука состоит в построении (и последующем анализе с помощьюматематики) моделей.Смысл построения модели — выделить те черты явления и харак­теристики объекта, которые в рассматриваемом круге событий играютсущественную роль, отметая всё несущественное, второстепенное.

Ко­роче говоря — упростить. Достаточно очевидно, что всякое упрощениев конечном счёте не может не привести к противоречию. И здесь оченьважно не выйти за пределы применимости, справедливости, разумно­сти данной конкретной модели.Что же такое идеальный газ? Очевидный, а с точки зрения стро­го математической и единственно возможный, ответ — это вещество,подчиняющееся уравнению = (имеется в виду моль газа).Однако сейчас нас интересует вопрос: какая модель приводит куравнению идеального газа, какую модель это уравнение адекватноописывает.Мы не имеем в виду исторический аспект проблемы. С этой точкизрения все было, так сказать, наоборот. Уравнение идеального газа по­явилось в результате обобщения эмпирических законов Бойля—Мари­отта, Гей-Люссака, Шарля, а лишь затем под него была подведена базав виде молекулярной модели.

Более того, сами эти законы служилиподспорьем в создании молекулярной теории строения вещества.Итак, идеальный газ — это совокупность, «ансамбль» упругих ша­риков, хаотически мечущихся в доступном им объёме и взаимодейству­ющих лишь при непосредственном соприкосновении.Это, конечно, модель, приспособленная к нашим макроскопическимпредставлениям. А описывает она объекты сугубо микроскопические —молекулы, атомы. Но сложности возникают ещё до вступления в игруспецифических свойств микрообъектов.§ 3. Модели. Идеальный газ23Уже простейший вопрос о размере «шариков» не имеет однознач­ного ответа.

Если строго следовать уравнению, следует признать этиразмеры бесконечно малыми, нулевыми. Действительно, поднимем до­статочно высоко давление, и объём газа станет сколь угодно малым.Значит, собственно молекулы (шарики) объёма не имеют. Но, с дру­гой стороны, шарики всё же, хотя бы изредка, взаимодействуют другс другом — сталкиваются, обмениваются скоростями. Ведь без этого, вчастности, невозможно было бы установление равновесия в газе. Зна­чит, они должны иметь какие-то конечные размеры. В главе VII мыувидим, что молекулам идеального газа разумно приписать вполне кон­кретный, порядка 10−10 м, диаметр.Каковы же рамки применимости модели идеального газа?Во-первых, это модель разреженного газа, когда размеры молекулпренебрежимо малы по сравнению с размерами сосуда, в котором нахо­дится газ. Ясно, что модель никуда не годится, когда суммарный объём«шариков» становится сравним с объёмом сосуда.

В действительности,однако, требования ещё более жёсткие. Размер молекул должен бытьзаметно меньше расстояния, которое молекула пролетает от соударе­ния до соударения — длины свободного пробега. Тогда можно считать,что они лишь изредка взаимодействуют друг с другом. Тогда можносчитать, что взаимодействуют они по законам соударения упругих ша­ров.Во-вторых, есть круг явлений, для анализа которых, даже каче­ственного, модель идеального газа непригодна.Наконец, в-третьих, пригодность или непригодность модели всегдазависит от точности, которой мы требуем для расчётов, проводимыхпо соответствующим формулам.

Если воздух сжимают при комнатнойтемпературе от нормального давления до удвоенного, можно ожидатьточности расчёта конечного объёма не хуже десятой доли процента.Если же речь идёт о сотнях атмосфер, можно ошибиться на несколькопроцентов, может быть даже на десяток-другой. Устраивает нас такаяпогрешность — будем считать по формуле для идеального газа. Неустраивает — ищем другую модель.⋆ ⋆ ⋆В сосуде летают шарики и при упругом соударении со стенкой пе­редают ей некоторый импульс. В результате — газ оказывает давлениена стенку.Рассмотрим группу молекул численностью (в расчёте на единицуобъёма) ∆ , имеющую составляющую скорости по оси , равную .24Глава I.

Предмет термодинамикиИз этой группы на поверхность за единицу времени попадает ∆молекул, каждая из которых передаст стенке импульс 2 . Сумми­руя по всем значениям одного знака ( противоположного знакапринадлежат молекулам, летящим от стенки), учитывая, что по смыс­лу рассуждений здесь должно фигурировать среднее значение 2 , при­дём к соотношению = 2 2 · /2. Так как все направления равно­правны, т.е. 2 = 2 = 2 = 2 /3, имеем окончательно = 2 /3.То, что мы в первой части рассуждений не интересовались состав­ляющими скорости по осям и , роли не играет.

Действительно, частьмолекул, находящихся над некоторой единицей поверхности, на неё непопадает. Но рассмотрим достаточно большой участок стенки площади. Все находящиеся над ней молекулы попадут на неё, и не важно, ка­кая из них попадёт на какой участок стенки. На единицу поверхностипридётся ∆ / = ∆ молекул в единицу времени.Важно лишь выбрать достаточно малый промежуток времени ,чтобы толщина слоя, равная , была гораздо меньше размеров участ­ка . С другой стороны, эта величина все же должна быть такой, что­бы число ударов по единице площади за это время было достаточнобольшим.Не мешают соударения между молекулами: просто вместо выбыв­шей из потока, направленного к стенке, туда полетит другая молекула.Соударения со стенкой могут быть неупругими: если установилось рав­новесие и суммарная кинетическая энергия молекул постоянна, некото­рые из них при соударении потеряют энергию, передадут стенке мень­ший импульс, но тогда некоторые должны увеличить свою энергию, иимпульс, переданный ими, будет больше среднего.Более того, некоторые молекулы могут прилипать к стенке.

Но то­гда (опять мы должны учесть наличие равновесия) в среднем такое жеколичество молекул должно «отлипать», отрываться от стенки, уносяимпульс.Вспомним, что 2 /2 — кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы, и окончательно запишем:⟨︀ ⟩︀⟨︀ ⟩︀ 22 22== ⟨⟩пост.(1.6)3323Теперь вернёмся к формуле (1.1). Учтём, что = / , а / == . Кроме того, введём новую константу, называемую постояннойБольцмана — = / .

Тогда (1.1) примет вид = .(1.7)§ 3. Модели. Идеальный газ25Сравнивая (1.6) и (1.7), имеем пост = 32 , или =2пост .3(1.8)Полученное выражение можно считать ещё одним определениемтемпературы. Это так называемая газокинетическая температура, ко­торая по самому смыслу её определения совпадает с температурой иде­альногазовой.Отметим, что кроме идеальности газа, играет роль характер связимежду энергией и импульсом частицы. Так, у фотона эта связь = ,( — скорость фотона, то есть скорость света), в то время как у мас­сивной частицы = 2 /2.