П.В. Попов - Диффузия, страница 2

1.2ностью = 12 , причём каждый последующий шаг не зависит от предыдущих. Запишем смещение частицы послесовершения шагов:∑︁ = ,=1где — номер шага, — смещение на соответствующем шаге.Проведём усреднение по результатам большого числа испытаний по шагов каждое.3) Ясно, что в силу симметрии среднее∑︀ ¯ значение смещения¯ = 1 · (+1) + 1 · (−1) = 0, равно нулю: ¯= = 0. Для среднего22квадрата смещения имеем2=(︃ ∑︁)︃2=∑︁2=1+2∑︁ .>∑︀∑︀Сумма перекрестных членов обращается в нуль, = · = 0,ввиду симметричности и независимости шагов при ̸= . Учитывая, чтошаги распределены одинаково и 2 = 12 (+1)2 + 21 (−1)2 = 1, найдём2 = .3020100−10−20−30−400√(1.5)200400600800Рис.

1.33) «Испытания» могут проводиться как одновременно с большим числом частиц(усреднение по ансамблю), так и многократно с одной частицей (усреднение по реализациям).7На рис. 1.3 изображены примеры численно смоделированныхслучай√).Резульных траекторий ( ) (пунктиром изображенакривая||=√тат (1.5), который можно назвать «законом », довольно примечателени находит применение в самых разных задачах.Задача 1.

На какое количество оборотов в среднем перекручивается провод наушников при их 365-кратном использовании?Задача 2. Заблудившийся ночью в лесу человек старается выбраться из него,двигаясь по прямой. Считая, что при каждом шаге человек с равной вероятностьюслучайно отклоняется от курса на 2∘ вправо или влево, оценить через какое числошагов он изменит направление движения на противоположное.Пример. С одним из проявлений (1.5) студенты первого курса должны быть хорошо знакомы по обработке экспериментальных данных.

Пусть опыт представляет собой серию из независимых измерений некоторой физической величины . Среднее1 ∑︀арифметическое по измеренному набору значений равно ≡ . Обозначим =1— предельное при → ∞ среднее значение и примем его для простоты равным нулю, = 0 (обобщение на общий случай осуществляется простым сдвигом начала отсчёта → − ). Предполагая, что различные измерения независимы и одинаково распределены (измеряется одна и та же физическая величина, значение которой подверженослучайным флуктуациям, независимым от процесса измерения), вычислим среднийквадрат отклонения от предельного среднего :( − )2 = 2 =1 ∑︁ 22 =.

2 =1 Пользуясь известными определениями погрешностей среднего и отдельного измерений, этот результат можно переписать какотдср = √ .То есть случайная погрешность среднего значения по нескольким измерениям в кореньиз числа измерений меньше, чем погрешность отдельного (однократного) измерения.§ 1.3. Плотность потокаОсновной количественной характеристикой, описывающей перенос впространстве некоторой «субстанции» (вещества, импульса, энергии ит. д.), является её плотность потока — количество «субстанции», проходящее в единицу времени через площадку единичной площади. Остановимся, для определённости, на переносе вещества.Поместим в некоторой точке пространства ориентированную элементарную площадку. В трёхмерном случае её, как известно, можно характеризовать вектором S, модуль которого равен её площади, а направлениесовпадает с её нормалью.

Определим вектор плотности потока частиц jтак, чтобы число частиц , пересекающих площадку за время , определялось нормальной составляющей j, т. е.= (j · S) ≡ ⊥ .8Частицы, пересекающие площадку в разных направлениях, учитываютсяс противоположными знаками.Суммарное количество частиц , пересекающее в единицу временинекоторую поверхность , будем называть полным потоком частиц. Оннаходится интегрированием нормальной компоненты плотности потокапо рассматриваемой поверхности:Z = (j · S)(1.6)(если на поверхности ⊥ = const, то просто = ⊥ ).Направленное течение. Наиболее наглядно понятиевектора плотности потока можно проиллюстрировать напримере направленного течения сплошной среды, когдавсе частицы в окрестности некоторой точки движутсяс одной скоростью u.

Пусть концентрация4) частиц впотоке равна . За время площадку S пересекаютчастицы, находящиеся в косом цилиндре с боковой стороной |u| , основанием и, соответственно, объёмом = (u · S). Таким образом, число частиц, пересекающих площадку, равно = (u · S) и, следовательно,j = u.Рис. 1.4(1.7)Замечание.

Часто встречается запись=, которая может ввести в заблуждение неподготовленного читателя. Дело в том, чтовходящие сюда и не являются настоящими дифференциалами — они не описывают приращение какой-либо функции, — и соответственно отношения /, /не являются производными от функции . Эту формулу следует считать символической записью интегрального соотношенияZ ZZ = = (j · S) .00То есть, чтобы найти полное число частиц , пересекших поверхность за время ,необходимо проинтегрировать нормальную составляющую плотности потока по поверхности, а затем по времени наблюдения.Теорема ГауссаПонятие плотности потока можно формально ввести для любого векторного поля — векторной функции, определённой в каждой точке пространства (например, поле скоростей v(r) или напряжённости электрического E(r) и гравитационного g(r) полей).4) Под«концентрацией» в данном пособии[︀]︀ всюду понимается объёмная плотность— число частиц в единице объёма, м−3 .9Докажем аналог известной теоремы Гаусса для текучих сред.

Пустьв пространстве имеются источники вещества, испускающие частиц всекунду ( = 1,2, . . . — номер источника). Ограничим замкнутой поверхностью некоторый объём . Предположим, что в системе установилосьстационарное распределение частиц, так что концентрация (r) не зависит от времени. Тогда в силу закона сохранения вещества количество частиц, рождающихся в объёме , равно количеству уходящихв единицу времени через окружающую его поверхность . Таким образом, полный поток частиц через поверхность определяется только источниками,находящимися внутри :Рис. 1.5I∑︁ = (j · S) = .(1.8)∈Внешние по отношению к источники никак не влияют на данный баланс— каждый из них создаёт нулевой полный поток через .Пример. Воспользуемся (1.8), чтобы выразить плотность потока частиц отуединенного точечного источника, равномерно и изотропно испускающего частицыво все стороны.

Окружив источник сферой радиуса , по теореме Гаусса находим: = 42 = , т. е. rj (r) =,(1.9)42 где r — радиус-вектор от источника к точке наблюдения. Из закона сохранения вещества ясно, что полный установившийся поток вещества от источника не зависит отформы охватывающей его поверхности (рис.

1.6).Приведём для сравнения теорему Гаусса для гравитационного и электрического полей:II∑︁∑︁(g S) = −4 ,(E S) = 4∈∈( — гравитационная постоянная). Видна полнаяаналогия с (1.8), так что гравитирующие массы Рис. 1.6или заряды являются буквально «источниками»полей. Коэффициенты в правых частях подобраны так, чтобы для уединённой точечной массы/заряда получался стандартный закон тяготения = −/2 или Кулона = /2 (ср. с (1.9)). Нетрудно доказать иобратное: если для источника векторного поля справедлив закон Кулона,то имеет место и теорема Гаусса.Важное отличие потоков вещества от полей заключается в том, чтопотоки могут взаимодействовать (если только это не сильно разреженныйгаз) и для них не справедлив принцип суперпозиции.

Этот факт, однако,10не влияет на справедливость теоремы Гаусса для стационарного течения(в нестационарном случае теорема Гаусса будет справедлива только длятечения несжимаемой жидкости с постоянной плотностью = const).Задача 3. Тонкая длинная проволока находится в вакууме и испускает частицв секунду с единицы своей длины. Найти распределение плотности потока частиц,испускаемых проволокой, в зависимости от расстояния до неё.Задача 4.

Точечный источник излучает изотропно частиц в секунду. Скорости частиц имеют максвелловское распределение со средней скоростью ¯. Считая, чточастицы не сталкиваются друг с другом, найти зависимость установившейся концентрации частиц от расстояния до источника ().§ 1.4.