П.В. Попов - Диффузия

министерство образования и науки российской федерациифедеральное государственное автономноеобразовательное учреждение высшего образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)»Кафедра общей физикиП. В. ПоповДиффузияУчебно-методическое пособиепо курсу Общая физикаМОСКВАМФТИ2016УДК 539.12(075)ББК 22.151я73РецензентДоктор физико-математических наук, профессор Э. В. ПрутП58Попов, П. В.Диффузия. : учебно-методическое пособие по курсу Общаяфизика / П.

В. Попов. — М. : МФТИ, 2016. — 94 с.В пособии даётся углубленное изложение некоторых вопросов теории процессов случайного переноса. Часть материала выходит за рамки программыкурса общей физики, однако уровень изложения материала доступен студентампервого курса. Пособие может быть использовано для углубленного изученияматериала и для подготовки вопроса по выбору к устному экзамену.

Материал сопровождается задачами, часть которых предлагалась студентам в разноевремя в качестве домашних или экзаменационных.Предполагается, что читатель знаком с основами молекулярнокинетической теории (особенно с функцией распределением частиц поскоростям) и элементарными понятиями теории вероятностей; первичноезнакомство с основами явлений переноса рекомендуется, но не обязательно.Для студентов младших курсов и преподавателей.УДК 539.12(075)ББК 22.151я73c Попов П.

В., 2016○c Федеральное государственное автономное○образовательное учреждение высшего образования«Московский физико-технический институт(государственный университет)», 2016Содержание1. Обзор основных понятий§ 1.1. Элементы√ теории вероятностей§ 1.2. Закон . . . . . .

. . . . . .§ 1.3. Плотность потока . . . . . . . .Теорема Гаусса . . . . . . . . . . .§ 1.4. Односторонний поток . . . . . .Усреднение по полусфере . . . . . .................................................................................................................................................556891111121315161617..........202123252628........Зависимость термодиффузии от характера взаимодействия частиц .§ 3.7. Применимость диффузионного приближения . . . . . . . ...........3131343536373839414345.....464647495254............Односторонний поток в идеальном газе .......................................2. Элементарная теория диффузии§ 2.1.

Диффузия лёгкой примеси . . . . .Уточнение численного коэффициента . .§ 2.2. Дрейф под действием внешних сил§ 2.3. Диффузия как течение . . . . . . .§ 2.4. Вязкость и теплопроводность . . ..................................................................3. Обобщения элементарной теории§ 3.1. Диффузия тяжёлой примеси . . . . . .§ 3.2. Взаимная диффузия . .

. . . . . . . .Закон Фика для бинарной смеси . . . . . .Коэффициент диффузии в бинарной смеси .§ 3.3. Влияние «собственных» столкновений§ 3.4. Самодиффузия . . . . . . . . . . . . .§ 3.5. Подвижность в бинарной смеси . . . .§ 3.6. Термодиффузия . . . . . . . . . . . . .........................................................................................4. Диффузия как процесс случайных блужданий§ 4.1. Одномерное случайное блуждание . . . . . . . . .

. .§ 4.2. Коэффициент диффузии при случайных блужданиях§ 4.3. Закон движения диффундирующих частиц . . . . . .§ 4.4. Расплывание облака при диффузии . . . . . . . . . .§ 4.5. Диффузия в пространстве скоростей . . . . . . . . . ...........Применения понятия одностороннего потока§ 1.5. Длина свободного пробега . .Частота столкновений . . . . .

.Распределение по длинам пробега .Учёт относительного движения . .3.............5. Броуновское движение§ 5.1. Подвижность броуновской частицы . . . . . . . . . . .§ 5.2. Закон движения броуновской частицы . . . . . . . . .§ 5.3. Связь флуктуаций и диссипации . . . . .

. . . . . . .Закон движения броуновской частицы (уточнение вывода) . .§ 5.4. Некоторые особенности броуновской траектории . . .Частота столкновений броуновских частиц . . . . . . . . . .Длина броуновской траектории . . . . . . . . . . . . . . . .Самоподобие броуновской траектории . . . . . . . . . . . .................................5656575961626263656. Макроскопическое описание§ 6.1.

Диффузия и энтропия . . . . . . . . . . . . .Парадокс Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . .Необратимость диффузии и потеря информации . .§ 6.2. Уравнение диффузии . . . . . . . . . . . . . .Интегральное уравнение переноса . . . . . . . . . .Дифференциальное уравнение переноса . . . . . .

.Функция Грина уравнения диффузии . . . . . . . .Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 6.3. Квазистационарное приближение . . . . . . .Время испарения капли . . . . . . . . . . . . . . .Измерение коэффициента диффузии . . . . . . . .Течение разреженного газа . .

. . . . . . . . . . .................................................666666697070727374757576787. Недиффузионные процессы случайного§ 7.1. Случайные блуждания с памятью . . .§ 7.2. Супердиффузия. Полеты Леви . . . . .§ 7.3. Субдиффузия . . . . . . . . . . .

. . . .............................................................переноса79. . . . . . . . . . . . 80. . . . . . . . . . . . 82. . . . . . . . . . . . 85Ответы и решения задач87Литература9441. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙПрежде чем переходить непосредственно к изучению диффузии, рассмотрим несколько важных понятий, необходимых при дальнейшем изложении.§ 1.1.

Элементы теории вероятностейВ основе диффузионных процессов переноса вещества (а также импульса, энергии и т. д.) лежит хаотическое движение индивидуальных частиц, для описания которого нам понадобятся некоторые статистическиепонятия и законы.Вероятность. Под вероятностью будем понимать долю наблюдений1) некоторого результата в серии измерений в пределе большого ихчисла : = lim,(1.1) →∞ где — количество наблюдений результата .Случайная величина.

Пусть каждому случайному результату измерения приписана числовая характеристи- ка, которую мы назовём случайной величиной. Ограничимся случаем, когда величина может приниматьнекоторый непрерывный набор значений. Тогда можнозадать вероятность ≡ () того, что значениеслучайной величины попадёт в элементарный интервалРис. 1.1[; + ] (рис. 1.1).

Функцию () называют плотностью вероятности или коротко распределением непрерывной случайнойвеличины .2) На плотность вероятности должно быть наложено условиенормировки, т. е. сумма вероятностей выпадения всех возможных значений равна единице:ZZ ≡ () = 1,(1.2)где интегрирование ведётся по всей области значений .1) Это наглядное определение вероятности иногда называют «частотным» или «физическим». Современная аксиоматическая теория вероятностей использует другое, более абстрактное определение, к которому однако нет смысла прибегать в рамках курсаобщей физики. То же касается и вводимых ниже определений среднего, случайной величины и т. п.

Наша цель — наглядное описание физики явлений, а не построениестрогой формальной теории.2) Иногда () называют просто «функцией распределения». Мы будем избегать этойтерминологии, поскольку в теории вероятностей «функцией распределения» называютдругую характеристику случайной величины — вероятность того, что она не превосходит некоторое значение. В англоязычной литературе различают соответственно partialdistribution function (pdf) и cumulative distribution function (cdf).5Средним значением ¯ случайной величины назовём среднее арифметическое результатов испытаний , получаемое в пределе их большогочисла:1 ∑︁ .¯ = lim →∞ =1Если известно распределение вероятностей, среднее значение найдётсякак сумма (интеграл) по всем возможным , домноженным на соответствующие доли:ZZ¯ = = () .(1.3)Также для обозначения среднего мы будем использовать угловые скобки⟨⟩ ≡ , руководствуясь в основном компактностью и удобством записи.Независимые случайные величины. Рассмотрим две случайные величины и , получаемые в независимых друг от друга измерениях (например, на не связанных друг с другом установках).

Два события и являются независимыми, если наступление одного из них не изменяетвероятности наступления другого. Из определения (1.1) следует, что вероятность одновременного появления независимых событий равна произведению их вероятностей: = .Отсюда, используя (1.3), нетрудно получить важное свойство, которыммы еще не раз воспользуемся — среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних: = · .(1.4)Пример. Простейший пример зависимых величин — и = (), где — произвольная функция. Отметим важное свойство — среднее значение функции не равнофункции от среднего: () ̸= ()(в частности, ̸= ).

Часто (но не всегда!) справедливо приближённое равенство попорядку величины () ∼ (), чем можно пользоваться для грубых оценок. Именнозаменой в целях упрощения вычислений среднего от функции на значение функцииот среднего обусловлена нестрогость значительной части приближённых вычисленийв этом пособии. Например, замена среднего квадрата скорости на квадрат среднейскорости 2 ≈ ¯2 для частиц газа в тепловом равновесии ведёт к относительной ошибке∼ 15%.§ 1.2. Закон√Рассмотрим кратко одну из фундаментальных для описания диффузии задач теории вероятностей, результаты которой будут неоднократноиспользованы в данном пособии.611Пусть имеется частица, совершающая22из некоторой точки случайные скачки на−10−2123расстояние = ±1 вдоль координатнойпрямой вправо-влево с равной вероятРис.