П.В. Попов - Диффузия (1178199), страница 6
Текст из файла (страница 6)
с выводом общеизвестного = − при = ℎ). Подчеркнем, что в газах — это не сила,действующая непосредственно на какую-то конкретную молекулу, а результирующая сила взаимодействия элементарного объёма с остальнымгазом, нормированная на число частиц в нём.Результат без труда обобщается на трехмерный случай — плотностьархимедовых сил равна градиенту давления с обратным знаком:f = −∇.(2.12)Замечание. Может возникнуть вопрос: как именно одна часть газа действуетс некоторой силой на другую, если газ на самом деле состоит из молекул, свободно пролетающих через границу выделенных объёмов? Силы Архимеда на микроскопическом уровне проявляются в том, что пересекающие границу частицы обладают определенным импульсом, а обмен импульсом между системами эквивалентен,согласно законам Ньютона, их силовому взаимоРис.
2.5действию. В приближении сплошной среды количество актов передачи импульса через границу в единицу времени достаточно велико,так что можно отвлечься от дискретности среды и считать, что два соседних объёмавзаимодействуют друг с другом на границе с некоторой усредненной силой.27Диффузия как результат баланса сил. Предположим, что имеет местотечение примеси, в котором скорость потока стационарна или меняетсяво времени достаточно медленно, так что можно пренебречь ускорением.Тогда течение определяется равнодействующей сил Архимеда , тренияо фон тр = тр = / и, может быть, внешней силы = :f + fтр + f = 0→−1 − + = 0.
Отсюда находим установившуюся скорость потока = ( + ) и, соответственно, плотность потока частиц:(︂)︂1 = −+ = −Б + .(2.13)⏞⏟ Сравнивая (2.13) с (2.7), видим, что мы получили закон Фика (первоеслагаемое) и соотношение Эйнштейна: = Б .Итак, диффузию можно рассматривать как направленное течение газа, возникающее благодаря архимедовой силе (вызванной перепадом парциального давления), и сдерживаемое силами трения о второй компонентсмеси (фон). При таком подходе соотношение Эйнштейна получается просто ввиду того, что скорость, приобретаемая частицами, не должна зависеть от природы приложенных к ним сил, будь то сила Архимеда иликакая-либо внешняя сила.Замечание. Вывод можно было провести и при = 0 — мы сохранили внешнююсилу лишь для общности рассмотрения.
Принципиальным является наличие силы трения о среду тр , сдерживающей течение примеси. Если исключить трение ( = 0), тостационарная скорость течения примеси может, вообще говоря, не установиться. Вместо простого баланса сил необходимо будет применять полноценный закон Ньютонадля течения сплошной среды, учитывающий ускорение вещества (например, уравнение Эйлера течения идеальной жидкости, или уравнение Навье–Стокса для вязкойжидкости).§ 2.4.
Вязкость и теплопроводностьКруг диффузионных явлений не ограничивается переносом вещества.Рассмотрим чистый газ, где каждая частица может нести на себе некоторую характеристику , которой она может обмениваться с другими частицами при столкновениях. Предположим, что после удара молекулыразлетаются в случайных направлениях. Тогда динамика порций , переносимых молекулами, будет вполне аналогична диффузии примеси.Пусть давление и температура газа всюду постоянны, а среднее значение переносимой величины распределено в пространстве неравномернои зависит от координаты : ¯ = ¯(). Рассмотрим плоскость = 0.
Слева направо её пересекает поток частиц + = 41 ¯ , причём эти частицы28несут на себе в среднем значение ¯|=− из области, где они испыталипоследнее столкновение ≃ −. Вычитая аналогичный поток в обратномнаправлении, получим1 = − ¯ · ¯|+− .4Считая функцию ¯ плавной на масштабах , разложим её в ряд Тейлора до первого слагаемого: ¯¯|+¯() − ¯(−) ≃ 2 . Таким образом, нахо− ≡ дим аналог закона Фика для переноса величины : = − ¯,(2.14)где «коэффициент диффузии» величины равен ≃1¯.2Рис. 2.6(2.15)Вязкость газов.
Пусть в газе имеется направленное течение вдоль оси , скорость () которого зависит от координаты . Рассмотрим перенос импульса потока (его -компоненты) в поперечном к потокунаправлении (т. е. по оси ). Этот перенос обусловлен хаотичным движением и столкновениями молекул. Учитывая, что плотность потока импульса естьне что иное, как касательное напряжение между слоРис. 2.7 законями, подставим в (2.14) и (2.15) ¯ = и = , и получимНьютона для вязкого трения в газах: = − ,⏟ ⏞ (2.16)где коэффициенты≃1¯,2 = ≃1¯2(2.17)называют кинематическим и динамическим коэффициентами вязкостисоответственно. Кинематическую вязкость можно назвать «коэффициентом диффузии импульса».Заметим, что для применимости наших рассуждений скорости потоковдолжны быть малы по сравнению со средней тепловой скоростью, ≪ ¯.Замечание.
Оценка (2.17) оказывается довольно близкой к результату строгойтеории (поправка составляет ∼0,2%, если использовать для длины пробега формулу29 = √ 1 ). Стоит однако признать, что это всего лишь удачное совпадение. Попыт2ка провести более строгие вычисления, аналогичные поправкам в § 2.1, упирается внекоторые технические трудности, поскольку в газе движущихся частиц, в отличиеот неподвижного фона, длина пробега частицы зависит от её скорости (см. (1.21)).Интегрирование при этом возможно только численными методами, поэтому мы егопроводить не будем.В учебной литературе часто можно встретить формулу=1¯.3Как оценочная она почти не уступает по точности (2.17), но если только в √выражениидля длины пробега = √ 1 произвольным образом отбросить множитель 2 (так как2√2 2 ≈ 3).
Как уже отмечалось, используемые в учебной литературе коэффициенты«1/3» в формулах вязкости и теплопроводности ни в коей мере не являются точным.Теплопроводность газов. Рассмотрим теплопередачу в газах при наличии градиента температуры. Пусть отклонение от состояния равновесиядостаточно мало, так что можно определить температуру2) как функциюкоординаты: = (). Обозначим среднюю энергию молекулы идеального газа с постоянной теплоёмкостью как ¯ = , где — теплоёмкостьпри постоянном объёме в расчёте на молекулу ( = 2 Б , где — эффективное число степеней свободы).
Из (2.15) находим так называемый законФурье для связи плотности потока тепла с градиентом температуры: = −,(2.18)где∼1¯ · 2(2.19)— коэффициент теплопроводности. Коэффициенттаки, назвать «коэффициентом диффузии тепла».12 ¯можно, опять-Замечание. Обычно представляют интерес процессы изменения температуры.Поскольку теплопроводность в газах — относительно медленный процесс, протекающий при постоянном давлении, передача элементу газа порции тепла приводит кизменению температуры на = / .
Соответственно, скорость распространениятемпературы будет характеризовать коэффициент, называемый температуропроводностью:1∼¯,где =.(2.20)=2Стоит отметить, что формула (2.19) даёт в несколько раз заниженныйпо сравнению с опытом результат. Это обусловлено тем, что частицы сбольшей поступательной энергией также будут иметь бо́льшую скорость2) Строго говоря, термодинамическая температура определена только для равновесных состояний. При слабом отклонении от равновесия температуру можно формальноопределить как параметр функции максвелловского распределения по скоростям, вы-ражаемый, например, через средний квадрат скорости ≡30 2.3Бдвижения, так что в действительности поступательная энергия будет переноситься быстрее, чем в нашей упрощенной модели.
Разделив (2.19) на(2.17), найдём∼ 1, тогда как на опыте это отношение равно ≈ 2,5. Для переноса вращательной или колебательной энергий выражение (2.19) оказывается довольноточным, поскольку поступательное движение от них не зависит.Задача 23. Приняв для одноатомных газов справедливой формулу1 =5,2т. е.51 = ¯ ,4найти коэффициенты теплопроводности двух- и многоатомных газов (в приближениижестких молекул).Примечательно, что динамическая вязкость и теплопроводность газа не зависят от его плотности: увеличение пропорционально плотностичисла частиц, участвующих в переносе, компенсируется обратным пропорциональным уменьшением длины свободного пробега. Ситуация меняется, если газ оказывается настолько разрежен, длина пробега молекулстановится ограниченной размерами установки, а не столкновениями. Заподробностями о являениях молекулярного переноса в сильно разреженных газах отсылаем читателя к рекомендуемой литературе.3.
ОБОБЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ§ 3.1. Диффузия тяжёлой примесиОбобщим сформулированную нами теорию диффузии лёгкой примесина случай, когда частицы фона не неподвижны, а масса частиц примесине мала.Свободный пробег тяжёлой частицы. Начнём с обратного предела —диффузии тяжёлой примеси в лёгком газе. Рассмотрим тяжёлую частицу , медленно движущуюся со скоростью ¯ в газе лёгких (и√︁ быстрых)¯ ≫ ¯.частиц, имеющих массу 0 ≪ и среднюю скорость ¯0 =0 Длина свободного пробега тяжёлой частицы была найдена в § 1.5. Получим её ещё раз непосредственно в пределе 0 ≪ .
Если частица «1»покоится, то частота ударов со стороны фона равна ¯ = 0 ¯0 (см. (1.19)),где — сечение столкновения примеси с фоном. С учётом небольшой, ноконечной скорости ¯, среднее смещение пробной частицы между ударамисоставит т = ¯/¯ , так что√︂0 1¯ 1=.т =¯0 0 0 31Эффективная длина пробега. В отличие от лёгкой примеси свободныйпробег тяжёлой частицы не является расстоянием, на котором существенно изменяется её направление движения. Ввиду большой массы её импульс изменяет направление или величину только в результате достаточно большого количества ударов со стороны фона. На рис.
3.1 приведенучасток численно смоделированной траектории движения тяжёлой частицы в лёгком газе, иллюстрирующий указанное обстоятельство.λλ'Рис. 3.1. Траектория тяжёлой частицы в тепловом равновесии. Расчёт проведёндля 1 /2 = 100, изображено = 200 «шагов»Оценим средний пробег ′ , на котором тяжёлая частица, имеющаясреднюю тепловую скорость, существенно отклоняется от исходногонаправления движения.Максимальный импульс, который медленно движущаяся тяжёлая частица может получить за одно соударение, равен удвоенному импульсу налетающей лёгкой частицы: max = 20 0 . Для оценки примем (см. такжезадачу 27 на с. 34), что в среднем за соударение передаётся || ≃ 0 ¯0 ,откуда относительное изменение импульса равно корню из отношениямасс1) :√︂0||∼≪ 1.Запишем приращение импульса в результате соударений как∑︀∆p =p() , где p() — импульс -го удара.
Возведём в квадрат=1и усредним по большому количеству частиц (или по большому√ количеству опытов с одной частицей). Аналогично выводу «закона » (1.5)1) Заметим, что при каждом ударе изменяется не только модуль, но и направлениеимпульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
