П.В. Попов - Диффузия, страница 5

⃒=0Рис. 2.2Тогда, сложив встречные потоки = + + − , получим закон Фика икоэффициент диффузии лёгкой примеси в газах:1 = − ¯ .⏟2 ⏞ (2.3)Полученное соотношение, конечно, не зависит от выбора начала отсчётасправедливо в любой точке . Множитель перед градиентом концентрации есть коэффициент диффузии, который ввиду нестрогости использованного подхода корректно будет записать как оценку по порядку величины, отбросив численный коэффициент: ∼ ¯=¯.0 (2.4)Замечание. Вообще говоря, именно на масштабе должна сказываться дискретная (молекулярная) структура газовой среды. Соответственно, предположение о гладкости функции () может показаться сомнительным. В связи с этим следует отметить, что среднее число частиц газа, находящихся в кубике с ребром , равное2 = 3 = ≫ 1, всё ещё весьма велико, поэтому понятие концентрации на такихмасштабах использовать правомерно, если определить его как среднее число частицв единице объёма.

С другой стороны, приходится признать, что это принципиальнонеустранимый недостаток выбранного подхода к описанию процессов переноса — более строгая теория основывается на вероятностном подоходе и использует не среднююконцентрацию, а плотность вероятности того, что частица окажется в рассматриваемой области пространства.22Уточнение численного коэффициентаПопытаемся уточнить полученную выше оценку. Учтём, во-первых,что частицы, движущиеся под углом к оси, дают меньший вклад в потоквещества и, во-вторых, за один свободный пробег они смещаются вдоль на меньшее расстояние (см. рис.

2.3). Важно, что оба эти фактора неявляются независимыми, и потому их нужно учесть одновременно.Выделим параллельный пучок частиц, движущихся слева направо соскоростью под некоторым углом к оси. Их средний1) пробег по оси есть = cos ,а их вклад в односторонний поток равен+ = − = cos −(здесь − ≡ |− — концентрация таких частиц в точке = − ). Повторяя рассуждениявыше, найдём вклад этих частиц в суммарнуюплотность потока в точке = 0: = − cos2 ¯·Рис. 2.3.Проведём усреднение по возможным углам (по полусфере):/2Z⟨︀2cos ⟩︀+cos2 ·=2 sin 1=230(ответ может быть получен и без вычислений — в силу симметрии направлений аналогично решению задачи 16). Находим окончательно:=1¯.3(2.5)Итак, мы получили коэффициент диффузии примеси на фоне неподвижных рассеивающих центров.

Отметим, что это точный результат,полностью совпадающий с результатом более строгого кинетического рассмотрения в модели Лоренца [5]. Непосредственно он применим для вычисления коэффициента диффузии примеси лёгкого газа в тяжёлом (в1) В модели твёрдых шариков и при неподвижных частицах фона длина свободногопробега не зависит от скорости частицы, поэтому мы не совершаем ошибки, подставляясразу усреднённое значение .23приближении твёрдых шариков). Несмотря на кажущуюся узость области приложения модели (в реальности масса частиц примеси не нулевая,а фона — не бесконечная, фон не является неподвижным, концентрация«примеси» не стремится к нулю, газы не идеальны, молекулы не являютсятвёрдыми шариками и т.

п.), она имеет фундаментальное значение.Во-первых, модель Лоренца даёт качественно верное описание процессов диффузии в целом, ухватывая основу физики «диффузионного»переноса, заключающуюся в хаотичном движении частиц, испытывающих время от времени по какой-либо причине случайные изменения направления своего движения.

Поэтому в общем случае в газовых смесяхона может быть использована как для грубых оценок, так и в качестве«фундамента» для построения более общей теории. И, во-вторых, онауже является весьма общей теорией: если какие-либо частицы движутсяхаотичным образом, то именно закон Фика и формула (2.5) описываютдвижение облака таких частиц, если только под понимать эффективную длину свободного пробега, то есть длину пробега, на которой значимоизменяется направление движения частицы. Примеры таких обобщенийбудут рассмотрены в п.

3.Задача 19. Коэффициент диффузии водяных паров в воздухе при нормальныхусловиях составляет 0,2 см2 /с. Оценить по порядку величины длину свободного пробега молекул воды в воздухе и размеры молекул.Задача 20. Найти относительное по сравнению с нормальными условиями изменение коэффициентов диффузии примесей в атмосфере при температуре 27 ∘C идавлении 720 мм рт. ст.Учёт распределения по длинам пробега. Внимательный читатель должен заметить,что при выводе (2.5) выбор именно средней длины пробега в качестве расстояния, скоторого летят частицы, пересекающие рассматриваемую плоскость, нами обоснованне был.

На самом деле частицы примеси могут прилетать без столкновений с любогорасстояния, хотя вероятность этого согласно (1.20) экспоненциально быстро убывает.Покажем, что учёт этого обстоятельства не меняет ответ (2.5).Рассмотрим частицы, прилетающие на выделенную плоскость слева направопод углом [; + ] к оси . Средний модуль скорости этих частиц совпадает сосредней скоростью частиц газа ¯. Вклад этих частиц в поток слева направо равен = 21 · ¯ cos 2 sin, где = () · (ℓ) ℓ — концентрация частиц, испытавших2последнее столкновение в плоскости с абсциссой = −ℓ cos , (ℓ) — распределениепо длинам пробега (1.20).

Получаем суммарный поток слева направо:+ =¯2∞Z/2Z sin 0(︂)︂ℓ ℓ(−ℓ cos ) · cos · exp −. 0Поскольку вероятность пробега экспоненциально быстро убывает с расстоянием, функцию () в выписанном интеграле можно разложить в ряд до линейного слагаемого:(−ℓ cos ) ≃ (0) − ℓ cos . Тогда, проинтегрировав сперва по ℓ, а затем по , получим/2]︂Z [︂11 ¯(0) − cos + =cos sin = ¯(0) − ¯.246 024Записывая аналогично выражение для потока в обратную сторону, получим искомыйдиффузионный поток1 = − ¯3 ⏟ ⏞в полном соответствии с (2.5). Этот вывод уже можно считать вполне строгим — врамках оговорённой модели.Замечание. В учебниках можно встретить вывод коэффициента диффузии (атакже вязкости и теплопроводности), использующий неправильную «школьную» формулу одностороннего потока частиц + = 61 ¯ (причём зачастую через несколько страниц после вывода правильной формулы (1.12)).

При таком выводе получается корректный численный коэффициент «1/3», что, конечно, выглядит надувательством. Болеетого, как мы увидим далее, строгим образом он получается только для рассмотренной выше упрощенной модели Лоренца. Для диффузии же в общем случае, а такжедля вязкости и, особенно, теплопроводности коэффициент «1/3» годится разве что какотносительно грубая оценка.§ 2.2. Дрейф под действием внешних силСогласно закону Фика хаотичное движение частиц в процессе диффузии приводит к возникновению макроскопических направленных потоков вещества. Между потоками частиц имеет место обмен импульсом пристолкновениях, то есть трение потоков друг о друга (например, в моделиЛоренца примесь «трётся» о неподвижный фон).

Следовательно, коэффициент диффузии должен быть как-то связан с силами сопротивлениясреды, возникающими при направленном движении частиц в ней.Рассмотрим отдельную частицу — макро- или микроскопическую, —движущуюся в вязкой среде с заданной постоянной скоростью u. Подвижностью частицы назовём коэффициент пропорциональности между её скоростью и силой сопротивления среды:uFтр = − .(2.6)Замечание.

Традиционная структура изложения в учебной литературе такова,что может сложиться впечатление, будто понятие подвижности и соотношение Эйнштейна относятся только к броуновским частицам макроскопического размера. На самом деле подвижность можно ввести для любых частиц независимо от размера, еслипод u понимать среднюю скорость, а под Fтр — среднюю силу сопротивления.Также стоит отметить, что иногда подвижность определяют несколько иначе: каккоэффициент пропорциональности между сторонней силой F , прикладываемой к частице, и её установившейся скоростью движения в среде uуст :uуст = F .Нетрудно видеть, что в силу законов Ньютона эти определения эквивалентны.

Однаковыбранное нами определение более общее, так как позволяет вычислять движениечастиц и в нестационарном случае.25Течение под действием внешней силы. Рассмотрим перенос примеси всреде под действием поля внешних потенциальных сил () и установим связь этого процесса с диффузией. «Фоновую» среду по-прежнемусчитаем стационарной, имеющей постоянную температуру .Приравнивая внешнюю силу к сопротивлению среды, = −тр , найдём среднюю направленную скорость = частиц примеси.

Добавкак плотности потока равна = , где — концентрация примеси.Суммарная плотность потока примеси с учётом её диффузии:+ .(2.7)В закрытом сосуде в состоянии равновесия поток (2.7) должен обратиться в нуль. Найдём отсюда связь между коэффициентом подвижностии коэффициентом диффузии примеси. Воспользуемся тем, что в равновесии концентрация примеси должна подчиняться распределению Больцмана:() = const · − ()/Б ,(2.8) = −где () — потенциальная энергия в поле сил () = − . Продифференцируем (2.8) по : =−=.Б Б (2.9)Заметим, что (2.9) может быть переписано как = , где = Б ,что, как нетрудно видеть, есть условие механического равновесия примеси. Наконец, подставляя (2.9) в (2.7) и полагая = 0, получим фундаментальное соотношение между подвижностью и коэффициентом диффузией, называемое соотношением Эйнштейна: = Б .(2.10)Задача 21.

Диффузия примеси наблюдается в вертикальном сосуде. Получитьусловие, при котором можно пренебречь влиянием силы тяжести.Задача 22. Электроны в металлах могут быть описаны моделью идеального газа,в которой их свободный пробег ограничен столкновениями с кристаллической решеткой (модель Друде). Выразить коэффициенты подвижности и диффузии электроновв металле через температуру , удельное сопротивление образца и концентрациюносителей тока .§ 2.3. Диффузия как течениеДля уточнения физического смысла соотношения Эйнштейна (2.10)получим его ещё раз альтернативным способом.

Отвлечёмся от молекулярной структуры примеси и представим её как течение сплошной среды. В этом приближении мы пренебрегаем дискретностью вещества, чтодопустимо при рассмотрении на масштабах, значительно превышающихдлину свободного пробега.26Архимедова сила. Предположим, концентрацияпримеси неоднородно распределена в пространстве,из-за чего имеет место диффузия, и примесь приходит в движение.

Какие силы заставляют примесьдвигаться, преодолевая сопротивление среды?Выделим элементарный объём , содержащийбольшое количество частиц примеси ≫ 1 и расРис. 2.4смотрим баланс сил, действующих на него. Поскольку парциальное давление примеси = Б неоднородно в пространстве, в приближении сплошной среды на грани объёма действуют нескомпенсированные силы со стороны окружающеговещества, и их равнодействующая есть не что иное, как сила Архимеда.Сумма сил, действующих на основания цилиндра объёма = · ссечением и высотой , равна[− ( + ) + ()] ≃ − .Отсюда получаем объёмную плотность архимедовых сил в проекции наось : = −.(2.11)В расчёте на одну частицу имеем = − 1 (ср.