П.В. Попов - Диффузия, страница 3

Односторонний потокПлотность потока, определённая в предыдущем разделе, учитываетчастицы, пересекающие выбранную элементарную площадку в обоих направлениях (по направлению нормали — со знаком «плюс», против нормали — со знаком «минус»). Часто оказывается важным знать, какоеколичество частиц пересекает выбранную площадку только в одном направлении (например, если нам интересно количество ударов частиц остенку сосуда).

Будем называть количество частиц, пересекающих в единицу времени единичную площадку в заданном направлении, односторонней плотностью потока частиц (или кратко односторонним потоком). Полный поток через поверхность есть алгебраическая сумма двуходносторонних потоков.Найдём величину одностороннего потока впокоящемся идеальном газе. Для этого рассмотрим следующую вспомогательную задачу.Усреднение по полусфереПусть частицы разлетаются из одной точкис одинаковыми по модулю скоростями равновероятно по всем направлениям (т. е.

изотропно). Вычислим среднюю проекцию скоростина ось среди тех частиц, что летят в положительном по направлении ( > 0).Пусть — угол между горизонтальнойосью и вектором скорости v некоторойРис. 1.7частицы. Проекция скорости на равна = cos . Ввиду изотропности конец вектора скорости может с равной вероятность оказаться в любой точке сферы. Поэтому доля частиц,имеющих в пределах [ ; + ], равна отношению площади вырезанной из сферы «ленты», имеющей радиус sin и ширину = sin2(см. рис. 1.7), к площади полусферы 2 . Отметим, что интегрирование11по углам можно свести к интегрированию по ∈ [0,]:/2Z⟨ ⟩+ =2 sin · cos =2 20Z 1= ,2(1.10)0где ⟨. . .⟩+ означает усреднение по полусфере.Замечание. Рассматриваемая задача сводится к нахождению среднего значениякосинуса угла между осью и случайным радиус-вектором, конец которого лежит наединичной полусфере:/2Z⟨cos ⟩+ =cos 2 sin 1= .220Результат (1.10) без труда обобщается на случай, когда рассматриваемые частицы имеют различные по модулю скорости.

Усреднив левую иправую части (1.10) по всем возможным скоростям частиц, получим| | =1¯,2(1.11)где ¯ — средний модуль скорости (или просто средняя скорость), | | —средний модуль проекции скорости частиц.Итак, в изотропном случае средняя проекция скорости на заданноенаправление равна половине средней скорости.Задача 5. Проверить прямым вычислением соотношение (1.11) для распределения Максвелла по модулям и проекциям скоростей.Задача 6. Получить аналог (1.11) для частиц на плоскости.Односторонний поток в идеальном газеРассмотрим газ с концентрацией , скорости частиц которого распределены изотропно.

Выделим группу частиц, имеющих модуль скорости винтервале [; + ]. Их число в единице объёма равно = · () ,где () — плотность вероятности распределения частиц по модулям скоростей. Половина этих частиц /2 движется в положительном направлении, и вклад в поток от них + найдём, усредняя по полусфере проекциюплотности потока на ось (см. (1.7) и (1.10)):+ =1⟨ ⟩+ = .24Суммируя по всем группам частиц (т. е. усредняя по модулям скоростей),ZZ∞ ≡ () = ¯,012получим окончательное выражение для односторонней плотности потокачастиц + , которое мы еще неоднократно будем использовать в дальнейшем:1+ = ¯.(1.12)4Получим (1.12) еще одним способом, не прибегая к интегрированиюпо углам (идея вывода взята из [1]). Разобьём теперь частицы на группы по значению проекции их скорости .

Концентрация частиц, проекция скорости на ось которых лежит в интервале [ ; + ], равна = ( ) , где ( ) — распределение по проекциям скоростей. Если > 0, то вклад этих частиц в односторонний поток равен = · ,и, напротив, если < 0, то вклад в искомый поток равен нулю:{︃ , > 0,+ =0, < 0.Просуммировав по всем частицам (усреднив по проекциям > 0), получим∞∞ZZ11+ = = | | ( ) = | |(1.13)220−∞(здесь учтена четность функции ( ) = (− )).

Отсюда, пользуясь(1.11), снова получаем результат (1.12).Подчеркнем, что найденные соотношения справедливы для произвольного изотропного распределения по скоростям (не обязательно максвелловского), в том числе для случая, когда скорости всех частиц одинаковыпо модулю.Задача 7. Определить число ударов молекул воздуха, испытываемое в секундупылинкой радиусом = 1 мкм при нормальных условиях.Задача 8. Выразить плотность одностороннего потока электронов в слоистой гетероструктуре, рассматривая их как двумерный идеальный газ. Поверхностная плотность частиц , температура .Применения понятия одностороннего потокаОдносторонний поток импульса. Продемонстрируем применение понятия одностороннего потока на примере вывода основного уравнениямолекулярно-кинетической теории (МКТ).Найдём давление на стенку сосуда, перпендикулярную оси . Дляэтого необходимо определить количество импульса, передаваемое ей вединицу времени.

Выделим группу частиц, имеющих проекцию скоростина ось в интервале [ ; + ]. Число таких частиц в единице объёма газа: = ( ) . Плотность потока горизонтального импульса13частиц, движущихся в положительном направлении ( > 0), равна плотности потока этих частиц = , домноженной на переносимый имиимпульс. То есть∞Z =1 · | | =2∞Z2 =122(1.14)−∞0(пределы интегрирования в первом интеграле учитывают, что частицы,летящие от стенки, вклада в поток не дают).

Учтём симметрию направлений: 2 = 2 + 2 + 2 = 32 .Наконец, так как при упругом ударе передаётся импульс 2 , умножимрезультат на 2, и получим основное уравнение МКТ: = 2 =12 2 = .33(1.15)Задача 9. Найти давление фотонного газа, помещённого в ящик с зеркальнымистенками. Концентрация фотонов , их средняя энергия ¯. Фотоны считать точечнымичастицами, движущимися изотропно с одинаковой по модулю скоростью ; импульс иэнергия фотона связаны соотношением = .Односторонний поток энергии. Для полноты рассмотрения вычислимодносторонний поток энергии в одноатомном газе (поток энергии, уносимый частицами, вылетающими через малое отверстие):∞Z(+) = 2 11· = 3 .2480Для максвелловского распределения нетрудно получить, что 3 = 2 ¯3 , итогда1(+) = ¯ · 2Б .(1.16)4Если разделить поток энергии на поток частиц, найдём среднюю энергию (+)вылетающих частиц: ¯выл = + = 2Б , которая превосходит среднююэнергию в сосуде ¯ = 32 Б .

Это не удивительно, поскольку чем большескорость группы частиц, тем большее их количество в секунду попадаетв отверстие.Задача 10. В ящике, заполненном излучением (газ фотонов), проделано маленькое отверстие. Найти отношение средней энергии фотонов, вылетающих из отверстиявыл , к средней энергии в ящике .

Фотоны считать точечными частицами, движущимися со скоростью света ; их энергия и импульс связаны соотношением = .Задача 11. Найти среднюю энергию газовых частиц, вступивших в реакциюс плоской поверхностью, если пороговая энергия равна 0 . Рассмотреть пределы0 ≫ Б и 0 ≪ Б .14§ 1.5. Длина свободного пробегаРассмотрим пробную частицу — шарик радиуса 1 — движущуюсясреди неподвижных случайным образом распределённых в пространствечастиц с концентрацией 0 , имеющих радиусы 0 .

Если размеры частицмного меньше расстояний между ними, эта задача эквивалентна движению частицы радиусом = 1 + 0 среди точечных рассеивающих центров(рис. 1.8); поперечное сечение такой частицы назовём сечением столкновения: = 2 .(1.17)Рис. 1.8Замечание. Конечно, реальные частицы не являются твёрдыми шариками, и существует потенциал взаимодействия молекул (), зависящий от расстояния междуними. Частицы будут рассеиваться под разными углами в зависимости от их относительной скорости. Для таких ситуаций можно определить дифференциальное сечениекак отношение числа рассеянных под углом [; + ] частиц к плотности потокападающих :( /)рас =.падRПолное сечение найдётся интегрированием по всем углам: = .

Среднее по всемчастицам сечение будет функцией температуры ( ). Далее мы не будем вдаваться в детали процессов соударения, полагая, что реальный газ можно заменить газомтвёрдых шариков с некоторым эффективным сечением эфф , имеющим конкретноезначение при данной температуре.Задача 12. Используя соображения размерностей, показать, что при рассеяниичастиц в cферически симметричном потенциале () = / среднее сечение столкновений будет зависеть от температуры как ∝ −2/ .Определим среднюю длину свободного пробега как среднее расстояние, проходимое частицей между двумя последовательными столкновениями.

Частица, прошедшая некоторый путь ℓ среди равномерно распределённых рассеивающих центров, «заметает» за собой объём ℓ, содержащий частицы в количестве = 0 ℓ. Следовательно, средний пробегмежду столкновениями равен ≡ ℓ̄ = ℓ/ , то есть=1,0 где 0 — концентрация рассеивающих частиц.15(1.18)Задача 13. Показать, что в идеальных газах длина свободного пробега значительно превышает среднее расстояние между частицами.Частота столкновенийИногда (например, при рассмотрении химических реакций) более важной характеристикой оказывается частота столкновений — среднее число соударений, испытываемое частицей в единицу времени. Для частицы,движущейся на фоне случайно распределённых неподвижных рассеивающих центров:⟨⟩= 0 ⟨⟩ .(1.19)¯ ≡ℓЭта же формула годится для «обратной» задачи — средней частоты ударов, испытываемых покоящейся частицей со стороны хаотично движущихся относительно неё фоновых частиц (со средней скоростью ¯ и концентрацией 0 ).Замечание. Иногда среднюю длину свободного пробега определяют как отношение средней тепловой скорости к средней частоте соударений: = ¯/¯ .

Видно, что вмодели твёрдых шариков (и только в ней) определения совпадают.Задача 14. Среднюю длину свободного пробега можно было бы определить какпроизведение средней скорости на среднее время между соударениями: = ¯·¯ . Найти,во сколько раз отличается таким образом введённая длина пробега от (1.18) в моделитвёрдых шариков.Распределение по длинам пробегаВычислим вероятность того, что частица пролетит между последовательными соударениям некоторое расстояние ℓ. Примем, что к движениючастиц применима стандартная для статистической физики гипотеза молекулярного хаоса, так что при соударениях частицы полностью забывают предысторию своего движения, приобретая случайные значения скорости и направления движения (с учетом выполнения законов сохраненияимпульса и энергии), а все соударения являются независимыми друг отдруга событиями.Разобьём путь частицы на = ℓ/ℓ элементарных интервалов длиной ℓ (рис.