П.В. Попов - Диффузия, страница 7

Однако максимальный угол рассеяния тяжёлой частицы на лёгкой определяется, как известно из механики, отношением масс: sin max = 2 /1 ≪ 1 /1 .Поэтому при столкновениях с «фоном» тяжёлая частица значительно быстрее меняетмодуль скорости, нежели направление движения.32получим средний квадрат приращения импульса:∆p2 = p2 ∼ 20 ¯02 .Частица изменит своё направление, когда изменение импульса окажетсяпорядка исходного: ∆p2 ∼ 2 ¯2 . Видно, что это произойдёт за)︂2(︂¯=т ∼0 ¯00столкновений.

Следовательно, средняя длина пробега тяжёлой частицы,на которой частица меняет своё направление движения, по порядку величины равна√︂ ¯11′ т ∼ т т ∼=.(3.1)··0 ¯0 0 0 0 Таким образом, хотя длина свободного пробега√︀тяжёлой частицы влёгком газе (в термодинамическом равновесии) в /0 раз меньше,чем ∼ 1/, эффективная длина пробега,√︀на которой значимо меняетсяеё направление движения, оказывается в /0 раз больше.Задача 24. -частицы от радиоактивного источника проникают в воздухе на глубину не более ℓ ∼ 10 см (при нормальных условиях). Оценить по порядку величиныэффективное сечение столкновения -частиц с молекулами воздуха.

Считать, что прикаждом ударе -частицы из молекулы выбивается один электрон. Начальная кинетическая энергия альфа-частицы значительно превосходит как энергию ионизации, таки тепловую энергию молекул воздуха. Ядерными столкновениями пренебречь.Коэффициент диффузии. При малой концентрации примеси ( ≪ 0 )фон по-прежнему можно считать в среднем стационарным. Необходимотолько учесть, что его частицы участвуют в хаотическом тепловом движении.

Поэтому все результаты § 2.1 сохраняют силу при условии заменысвободного пробега на выражение (3.1). Таким образом, распространение тяжёлой примеси подчиняется закону Фика с коэффициентом диффузии1 ¯01,(3.2)т = ′т ¯ ∼33 0 где ¯0 — средняя тепловая скорость движения фоновых (лёгких) частиц,0 — концентрация фона, — взаимное сечение столкновения частицразных сортов. Примечательно, что коэффициент диффузии тяжёлых частиц не зависит от их массы.Замечание. Сравнивая (2.4) и (3.2), видим, что несмотря на различные физические детали процессов, коэффициенты диффузии лёгкой и тяжёлой примесей совпадают (то есть для двух газов с существенно разными массами молекул коэффициентдиффузии один как при 1 ≫ 2 , так и при 1 ≪ 2 ).

На самом деле это свойствоесть частный случай общего соотношения, которое мы докажем ниже: в двухкомпонентной смеси коэффициенты диффузии каждого компонента одинаковы и не зависятот отношения их концентраций.33Задача 25. Размер пылинок в воздухе лежит в диапазоне 0,1–10 мкм. Можноли пользоваться (3.2) для определения коэффициента диффузии пыли при условиях,близких к нормальным?Задача 26. Из квантовой механики известно, что электроны в металлах могутбыть описаны как вырожденный идеальный газ частиц массы , имеющих кинетическую энергию (энергия Ферми), значительно превосходящую тепловую ( ≫ Б ).При низких температурах электроны могут рассеиваться на тепловых флуктуацияхрешётки на малый угол ∼ / ≪ 1, где — известная константа (температураДебая).

Считая известным среднее время свободного пробега электрона, оценить егоподвижность.Примесь произвольной массы. Объединим результаты (2.5) и (3.2) вединую формулу для коэффициента диффузии примеси произвольноймассы. Для оценки среднего изменения импульса за одно соударениевоспользуемся известным из механики результатом: в системе центраинерции двух соударяющихся частиц импульс каждой из них равенпроизведению приведённой массы на их относительную скорость:p′1 = −p′2 = vотн , а после соударения эти импульсы поворачиваютсяна некоторый угол ∈ [0, ].

Поэтому можно принять, что в среднем изменение импульса за одно соударение есть величина порядка|p| ∼ ¯отн .Задача 27. Неподвижная сфера бомбардируется однородным пучком частиц массы , движущихся со скоростью с концентрацией в пучке . Рассчитать среднийимпульс, передаваемый частицами потока сфере. Удары считать упругими.Число соударений, необходимое для изменения направления движениячастицы, оценим так же, как при выводе (3.1):(︂∼¯¯отн)︂2=.В пределе ≪ 0 имеем ∼ 1 и, наоборот, ∼ /0 при ≫ 0 .Таким образом, имеем единую оценку коэффициента диффузии примесив газе:1 ¯отн.(3.3)пр ≃3 0 § 3.2.

Взаимная диффузияДо сих пор мы рассматривали диффузию примеси, пренебрегая еёвлиянием на течение «фона». В общем случае многокомпонентной смеси, когда концентрации компонентов не малы, диффузию необходимо рассматривать согласованным образом с учётом взаимодействия всехкомпонентов. С гидродинамической точки зрения компоненты испытывают взаимные силы трения, что приводит к тому, что потоки каждого изних зависят от градиентов концентраций всех остальных составляющих34смеси. Это можно записать какj = −∑︁ ∇ , = 1 . . . ,(3.4)=1где — взаимные коэффициенты диффузии -го и -го компонентов, — число различных компонентов.Закон Фика для бинарной смесиОстановимся на простейшем случае диффузии в двухкомпонентной(бинарной) смеси газов. Примем, что в системе выполнены условия механического и теплового равновесия (т.

е. давление и температура всюдуодинаковы), так что перенос вещества обусловлен только перепадом концентраций.Рассмотрим обобщенный закон Фика (3.4) применительно к бинарнойсмеси в одномерном случае:1 = −1121− 12,2 = −2112− 22.Покажем, что систему можно упростить, сократив количество независимых коэффициентов диффузии до одного, и вычислим его.Поместим смесь в закрытый неподвижный сосуд конечного объёма.В равновесии суммарная концентрация не должна зависеть от или : = 1 + 2 = Б = const. Дифференцируя по , получим, что гра21диенты концентраций должны быть противоположны: = − .

Далее учтём, что всюду должен быть постоянен суммарный поток частиц: = 1 + 2 = const — в противном случае происходило бы накоплениечастиц в некоторых областях и нарушилось условие стационарности, —причём = 0, поскольку на границе закрытого сосуда полный поток должен обращаться в нуль. Выполнение этих двух условий возможно, если11 − 12 = 22 − 21 ≡ , и закон Фика для бинарной смеси принимаетупрощённый вид:1 = −1,2 = −2,(3.5)где — единый коэффициент взаимной диффузии двух газов.Нетрудно видеть, что в неограниченной среде закон (3.5) имеет местов системе отсчёта, в которой газ покоится ( = 0).Замечание. Вообще говоря, если частицы смеси имеют разные массы, то в результате диффузии центр масс системы должен прийти в движение (иными словами, потокмассы в закреплённом сосуде не будет равен нулю).

Если скорость течения меняетсяво времени, то и центр масс должен испытывать ускорение, которое может возникнуть35только благодаря градиенту суммарного давления в газе. Таким образом, условие механического равновесия = const является приближением (если только речь не идето самодиффузии, где перенос массы отсутствует, см. § 3.4), и мы предполагаем, чтоперемешивание компонентов идёт достаточно медленно, так что ускорением центрамасс смеси можно пренебречь.Коэффициент диффузии в бинарной смесиПусть теперь 1 и 2 не малы. Из вывода, проведённого в § 2.1, видно,что малость одной из концентраций была использована дважды: 1) мыпренебрегли течением «фона», считая его практически неподвижным, 2)при подсчёте длины свободного пробега мы считали, что примесь сталкивается в основном с частицами фона. Рассмотрим, как обойти эти обстоятельства и обобщить вывод на произвольное соотношение между 1и 2 .Обозначим средние скорости диффузионных потоков (3.5) как ≡( = 1, 2) .Заметим, что для применимости всех дальнейших рассуждений эти скорости должны быть малы по сравнению со средними тепловыми скоростями движения частиц, ≪ ¯ (см.

также § 3.7). Исходя из того, что взакрытом сосуде в условиях механического равновесия суммарный потокчастиц должен быть равен нулю: = 1 + 2 = 0, запишем1 1 + 2 2 = 0.(3.6)Чтобы можно было считать один из компонентов (например, второй)неподвижным фоном, просто перейдём в систему отсчёта, движущуюся сего средней скоростью потока 2 . Уточним, что таким образом мы фиксируем течение «фона», но не положение каждой его частицы в пространстве (то есть обнуляется средняя скорость потока ′2 = 0, но не средняяскорость теплового движения ¯2 ).

Что касается расчёта длины пробега,примем пока без доказательства, что при диффузии не нужно учитыватьстолкновения частиц одного сорта друг с другом, а физически значимойоказывается только длина пробега относительно столкновений с частицами противоположного сорта (см. § 3.3).Обозначим «собственный» (или внутренний) коэффициент диффузии1-го газа на неподвижном фоне 2-го как 1′ . Согласно формуле (3.3),независимо от отношения масс компонентов справедливо1′ ≃1 ¯отн3 2 36(аналогично 2′ ≃ 31 ¯отн). Диффузионный поток первого компонента в1системе отсчёта второго равен1′ = −1′1= 1 ′1 .(︁Возвращаясь в лабораторную систему, найдём: ′1 = 1 −2 = 1 1 +откуда2 ′ 11 ′1,1 = 1 1 = −1 = −1 + 2 1 12)︁,где = 1 + 2 .