П.В. Попов - Диффузия, страница 19

Из (5.12) и соотношения Эйнштейна имеем ∼ Б ∼Б .44. Частица на плоскости заметает «собственную» площадь ∼ 2 за время ∼∼ 2 / = /. Тогда ˙ ∼ / ∼ , время «свободного» пробега одной ча˙ ∼ 1, ∼ 1/(). Частота парных столкновений на единицу площадистицы = /2 = 2 . Закон действующих масс выполняется.45. Δ = 1 ln11 +246. Δ = 1 ln11+ 2 ln+ 2 ln222.1 +2− (1 + 2 ) ln1 +21 +2= 0 при 1 /1 = 2 /2 .47. Поскольку = 0, имеем: = −Δ = 2 (0 − 1 ), где = 23 , 1 — конечнаятемпература. Изменение энтропии может складываться из охлаждения газов и их пере1мешивания: Δ = 2 ln + Δпер , где Δпер = 2 ln 2.

Наименьшее значение 10определяется (︁вторым началомтермодинамики: Δ > 0. Отсюда 1 > 0 · 2−/ ,)︁1и 6 30 1 − 2/3 ≈ 1,4 кДж. Максимум достигается при Δ = 0, то есть в2равновесном (квазистатическом) процессе.48. Первое и второе начало термодинамики: = − Δ , Δ > . При = const0для идеальных газов Δ = 0 и Δ = Δпер = 2 ln 2. Тогда максимальная работаопределяется энтропией перемешивания: 6 0 Δпер ≈ 1,7 кДж. Заметим, что ответне зависит от теплоёмкости газов.49.

=0( − ).50. В трехмерном пространстве = 42 = − . Используя условие отсутствия 1частиц на бесконечности, |→∞ = 0, имеем () = 4. Таким образом, точечныйисточник не может заполнить частицами всё пространство.92На плоскости = 2= − , откуда () = 2ln + const. Однако решения,удовлетворяющего условию |→∞ = 0, не существует.

Таким образом, при наличииточечного источника на безграничной плоскости частицы со временем заполняют всюплоскость, а стационарное распределение концентрации не установится никогда!51. Оценка из закона Эйнштейна–Смолуховского:за время полураспада частицы про√потока происходит в геоникают на глубину ℓ ∼ 2 . Предполагая, что ослабление√метрической прогрессии, запишем: /0 ∼ 2−/ℓ = − ln 2/ 2 .Для более строгого результата необходимо решить уравнение диффузии, учитывающее убыль частиц из-за их распада. В стационаре имеем = , где — числочастиц, распадающихся в секунду в единице объёма. Из закона радиоактивного расln2ln2пада находим: = 0 2−/ , = − , = − .

Таким образом(︃ √︂)︃ln 22 ln 2+=0→()=exp−.02Отношение потоков: /0 = /0 = −√√ln 2/ .52. По условию в точке = 0 концентрация частиц поддерживается равной нулю:|=0 = 0 (поглощающая граница). Обозначим решение уравнения диффузии дляточечного источника в безграничном пространстве (6.9) как 0 (, ). Решение задачиищем в виде линейной комбинации функций (6.9), удовлетворяющей этому граничномуусловию. Пользуясь чётностью 0 относительно , 0 (, ) = 0 (−, ), запишем(,) = 0 ( − ℎ, ) − 0 ( + ℎ, ).Нетрудно видеть, что эта функция, представляющая собой сумму двух симметричных относительно начала координат «импульсов», удовлетворяет также и начальномуусловию задачи в области > 0.Тогда полное число матросов, остающихся на набережной к моменту :∞Z = 020(, ) = √0√ℎ2 Z2− 0(последний интеграл, называемый «интегралом ошибок», в элементарных функциях,как известно, не выражается).

Отсюда находим поток частиц через границу (потокматросов через двери бара):(︂)︂0 ℎℎ20 ℎ√() = −= √exp −−→.4 (≫ℎ2 /) 4 3/24 3/253. () =(︁24)︁− 2 , 0 =(︁)︁54. = →=2.4+const→ () = 0 + 2.455. В квазистационарном одномерном приближении распределение температурыв толще ℎ льда есть линейная функция: () = Δ, а тепловой поток равенℎ,гдеΔ—разностьмеждутемпературойнаулице и температурой плав = − Δℎления 0 ∘C.

Для промерзания льда на толщину ℎ нужно отвести тепло = Λℎ,где Λ — удельная теплота плавления. Отсюда получаем уравнение теплового балансаи его решение:√︃ℎΔ2Δ = − →Λ=→ℎ() =.ℎΛ93√︁ ΔОтвет можно переписать как ℎ() =2 удΛ , где — температуропроводностьльда, уд — удельная теплоёмкость. Время промерзания = ℎ2 Λ/(2Δ ). Использятабличные данные = 2,25 Вт/(м · К), Λ = 335 кДж/кг находим ≈ 7,5 сут.56.

Объём трубки должен быть много меньше объёма сосуда.ЛИТЕРАТУРА1. Щёголев И.Ф. Элементы статистической механики, термодинамики и кинетики. — М.: Интеллект, 2008.2. Кириченко Н.А. Термодинамика, статистическая молекуляная физика. —М.: Физматкнига, 2012.3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. II. Термодинамика и молекулярнаяфизика. — М.: Физматлит, 2006.4. Базаров И.П. Заблуждения и ошибки в термодинамике. — М.: УРСС, 2003.5.

*Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т. X. Физическаякинетика. — М.: Физматлит, 2007.6. *Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002.7. *Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.8. **Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. — М.: Изд-во Физического института им. Лебедева РАН, 1998.9. **Зеленый Л.М., Милованов А.М.

Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики// УФН, 2004. — Т. 174.94.