П.В. Попов - Диффузия, страница 4

1.9). Пройдя расстояние ℓ, частица «заметает» объём ℓ.Если один из рассеивающих центров попадёт взаметаемый объём, частица испытает столкновение. Вероятность столкновения на участке ℓРис. 1.9равна доле частиц, приходящейся на заметённыйобъём: = 0 ℓ = ℓ/. Вероятность не испытать столкновение разподряд равна (1 − ) . Пользуясь тем, что вероятности независимыхсобытий перемножаются, найдём вероятность того, что частица свободно16пролетит отрезок ℓ, а затем ( + 1)-м «шаге» испытает столкновение: = · (1 − )ℓ=(︂)︂ ℓℓ ℓ1−.Отметим, что этот результат является частным случаем распределенияБернулли.

Устремляя ℓ к нулю и пользуясь «замечательным пределом»,получим искомое распределение по длинам пробега: = (ℓ) ℓ,где(ℓ) =1 −ℓ/(1.20)— плотность вероятности испытать рассеяние на участке [ℓ; ℓ + ℓ].Замечание. Непосредственным вычислением нетрудно убедиться, что =∞Rдействительно есть средняя длина свободного пробега: ℓ̄ = ℓ(ℓ) ℓ = .10 0Задача 15.

Найти среднеквадратичную длину пробега частицы√︀ℓ2 .Задача 16. Найти средний квадрат ℓ2 и средний модуль |ℓ | смещения частицы внаправлении оси между её последовательными свободными пробегами. Все направления движения считать равновероятными.Задача 17. Сечение взаимодействия нейтрино с нейтронами ∼ 10−43 см2 . Оценить ослабление плотности потока нейтрино при прохождении сквозь Земное ядро(я ≃ 3,5 · 103 км). Считать, что ядро состоит из железа 5626 Fe со средней плотностью ∼ 10 г/см3 .Учёт относительного движенияДо сих пор мы полагали, что пробная частица движется на фоне неподвижных рассеивающих центров. Вообще говоря, в газах скорости всехчастиц отличны от нуля.

В термодинамическом√︁равновесии при заданной8Б температуре средние тепловые скорости ¯ = обратно пропорциональны корню из массы, поэтому приближение неподвижных центровхорошо работает, только если масса примесных частиц мала по сравнению с «фоновыми». Обобщим результат (1.18) на произвольное отношениемасс частиц.Пусть на фоне газа с концентрацией 2 и средней тепловой скоростью¯2 движется отдельная «пробная» частица с некоторой скоростью 1 .

Рассчитаем её среднюю длину пробега. Перейдём в систему отсчёта пробнойчастицы. Число ударов, испытываемое ей в секунду, определяется формулой (1.19): 12 = 2 12 ¯отн , где 12 — сечение столкновения с фоном,¯отн = |v1 − v2 | — средняя скорость частиц фона относительно выбранной частицы. Тогда расстояние, на которое пробная частица смещаетсяв лабораторной системе между двумя последовательными соударениями,17равно110 ,(1.21)=12|v1 − v2 |где 0 = 1/(2 12 ) — длина пробега согласно (1.18).Рассмотрим два предельных случая: если частица быстрая (1 ≫ ¯2 ),то фон можно считать практически неподвижным и длина пробега будетпорядка 12 ∼ 0 ; медленная частица (1 ≪ ¯2 ), наоборот, сама почтинеподвижна и для неё 12 ∼ 1 0 /¯2 .Пусть имеется двухкомпонентная смесь в термодинамическом равновесии с концентрациями компонентов 1 и 2 и массами частиц 1 и 2 .¯ 12 частиц сорта «1» относительно столкновеСреднюю длину пробега ний с частицами сорта «2» можно найти, усреднив (1.21) по возможнымзначениям скорости 1 .

Заменяя для оценки (точные вычисления здесьвозможны только численно) среднее от частного на частное средних, запишем1¯ 12 ≃ ¯1.(1.22)¯отн 2 12Средняя относительная скорость. Строгое вычисление средней относительной скорости — довольно громоздкая операция (см. ниже). Гораздопроще вычислить её средний квадрат:12 =3Б ,где учтено, что среднее значение скалярного произведения равно нулю,(v1 · v2 ) = 0, в силу равновероятности всех направлений скорости, и вве(︂)︂−111дена приведённая масса: =+. Тогда по аналогии заменим12в известном выражении для средней скорости массу частицы на приведённую, и запишем средний модуль относительной скорости:√︃√︁8Б 22.(1.23)¯отн = |v1 − v2 | = ¯1 + ¯2 =22vотн= (v1 − v2 ) = 12 + 22 + 2(v1 · v2 ) = 12 + 22 =Приведём три частных случая (1.22) с учетом (1.23). Частицы, сильноразличающиеся по массе:1, √︂2 1221=·,1 2 121 ≪ 2 : = 1 , ¯отн = ¯1→12 =(1.24)1 ≫ 2 : = 2 , ¯отн = ¯2→12(1.25)частицы одинаковой массы (чистый газ):√1 = 2 = : = , ¯отн = 2¯218→= √1.2(1.26)Замечание.

Здесь важно подчеркнуть, что при описании процессов переноса более важной характеристикой является не просто длина «свободного» пробега (то естьот столкновения до столкновения), а длина пробега, на которой существенно меняются параметры частицы — направление движения, импульс или энергия. К примеру,лёгкая частица существенно меняет свой импульс за одно соударение с тяжёлой, а та,напротив, должна испытать большое число ударов чтобы изменить направление движения.

Конкретный пример диффузии тяжёлой примеси в газе лёгких молекул будетподробно рассмотрен в § 3.1.Задача 18. Получить длину свободного пробега частицы в смеси двух газов. Считать известными массы, концентрации частиц и соответствующие сечения столкновений 11 и 12 .Вычисление средней относительной скорости. Для получения средней по модулюотносительной скорости частиц двух сортов нужно вычислить следующий интеграл:ZZ¯отн ≡ |v2 − v1 | = |v2 − v1 | 1 (v1 ) 2 (v2 ) v1 v2 ,где 1 (v1 ) и 2 (v2 ) — распределения по векторам скоростей частиц сортов «1» и «2»соответственно.

Интегрирование ведётся по всем возможным значениям v1 и v2 , т. е.по 6-мерному пространству скоростей.Интегрирование можно существенно упростить, если воспользоваться стандартным для задачи двух тел приемом: перейти к относительной скорости и скорости центра инерции 1 v1 + 2 v2u = v1 − v2 ,V=,где = 1 + 2 . Кинетическая энергия частиц по теореме Кёнига представится в виде суммы энергии центра инерции и энергии относительного движения: = 12 2 + 12 2 .

Произведём замену переменных (v1 ,v2 ) → (u,V) в искомоминтеграле. Нетрудно проверить непосредственным вычислением, что элементарныеобъёмы в старых и новых координатах одинаковы: v1 v2 = u V (т. е. якобианпреобразования равен единице). Тогда для максвелловского распределения поскоростям получим(︂ √)︂ ZZ(︂)︂1 2 3¯отн = exp −u V.2Б Б Видно, что благодаря выбранной замене, мы избавились от необходимости интегрировать по углам. Кроме того, так как подынтегральное выражение распадается напроизведение функций от u и V, интегрирование по этим переменным может быть проведено раздельно. Переходя к интегрированию по модулям скоростей: u → 42 ,V → 4 2 , запишем(︂ √¯отн =1 22Б )︂3 ∞Z0∞(︂)︂(︂)︂Z2 2 exp −42 · exp −4 2 .2Б 2Б 0Вычисляя интегралы, окончательно получим формулу (1.23):√︃8Б ¯отн =.192.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДИФФУЗИИДиффузией называют перемешивание компонентов смеси, возникающее при наличии перепада их концентраций. На микроскопическом (молекулярном) уровне причиной диффузии является хаотичное движениеиндивидуальных частиц, которое на макроуровне приводит к возникновению направленного течения компонентов смеси. Процесс диффузии направлен к установлению равновесия — то есть к выравниванию концентраций и равномерному перемешиванию компонентов.Подходя к вопросу феноменологически (т.

е., отталкиваясь от наблюдений явления, а не процессов, лежащих в его основе), можно, исходя изэкспериментальных данных, записать так называемый закон Фика, утверждающий, что плотность потока вещества при диффузии пропорциональна градиенту концентрации диффундирующего компонента.

В одномерном случае = − ,(2.1)где — концентрация (объёмная плотность) переносимого компонента, — его плотность потока. Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом диффузии. В векторном виде закон Фика описываетраспределение потоков в пространстве:j = − ∇,(2.2)(︁)︁ где ∇ ≡ — градиент . Здесь нам, как правило, будет до , , статочно скалярного выражения (2.1).Закон Фика связывает распределение концентрации вещества в пространстве (r) с его потоками j(r), что в свою очередь даёт возможностьполностью описать динамику переноса вещества во времени и пространстве (r, ) в результате решения так называемого уравнения диффузии.Уравнение диффузии и некоторые особенности макроскопического описания процессов переноса мы рассмотрим во второй части пособия (см.п. 6), а здесь сосредоточимся на вычислении коэффициентов диффузии.За основу сперва возьмём классическую теорию, основанную на концепции длины свободного пробега.Замечание.

Эта теория, детально разработанная ещё в XIX-м веке, начиная с пионерских работ Дж. Максвелла и Р. Клаузиуса, обладает рядом существенных недостатков и не позволяет в общем случае проводить строгие расчёты коэффициентовпереноса. Однако её несомненными достоинствами являются простота и наглядность.Она адекватно отражает физику происходящих процессов и позволяет получать качественно верные оценки по порядку величины. Альтернативная, более современнаятеория, основанная на концепции случайных блужданий, будет рассмотрена во второйчасти пособия.20Существует строгая теория процессов переноса в газах [5, 8], основанная на описании динамики функции распределения частиц по скоростям (v,r,) во времени ипространстве (в рамках так называемого кинетического уравнения Больцмана).

Вычисления в этой теории крайне громоздки и требуют серьезной математической подготовки, поэтому её изложение (даже в общих чертах) в курсе общей физики не представляется возможным. Мы будем, по возможности, сверять получаемые нами оценкис результатами этой строгой теории.§ 2.1. Диффузия лёгкой примесиТеоретическое изучение диффузионных процессов начнём с простейшей модели, позволяющей строгим и вместе с тем наглядным образомполучить закон Фика и выражение для коэффициента диффузии.Исследуем движение частиц на фоне случайным образом распределённых в пространстве неподвижных рассеивающих центров.Эта модель, называемая газом Лоренца, подходит для описаниядиффузии примеси лёгких частиц в тяжёлом газе. Действительно,если концентрация примеси мала по сравнению с концентрациейфоновых частиц ≪ 0 , то можно пренебречьизменением концентрации фона и рассматривать только процесс переноса примесных частиц (0 ≃ const).

Если, кроме того, масса частицы примеси много меньше массы частицфона, ≪ 0 , то средняя скорость хаотичного теплового движения тяжёлых частиц многоменьше скорости лёгких, поэтому фоновые чаРис. 2.1стицы можно считать практически неподвижными, «прибитыми гвоздями».Итак, будем считать, что каждая частица примеси движется прямолинейно от столкновения до столкновения с неподвижными частицамифона. В результате однократного столкновения с рассеивающим центромскорость частицы случайным образом (изотропно) изменяет своё направление, практически не меняясь по величине.

Средняя длина свободногопробега лёгких частиц примеси определяется формулой (1.18).Замечание. Обратим внимание, что в (1.18) стоит концентрация фона 0 — ведьименно с ним в основном сталкивается примесь (хотя бы потому, что ≪ 0 ). Болеетого, далее мы покажем, что столкновения частиц одного сорта между собой вообщене должны влиять на процесс диффузии частиц этого сорта, и в длину свободногопробега молекул «примеси» должна входить именно концентрация «фона», даже есликонцентрация «примеси» не мала.Вывод закона Фика и коэффициента диффузии.

Рассмотрим одномерную задачу, в которой концентрация примеси () зависит от координаты . Температуру будем считать всюду одинаковой и неизменной, ≡ const. Оценим величину потока примеси через некоторую плос-21кость, перпендикулярную оси, поместив её для определённости в точку = 0 (см. рис. 2.2). Плоскость пересекают частицы, испытавшиепоследнее столкновение на расстоянии порядкадлины свободного пробега. Односторонний потокчастиц от плоскости = − согласно (1.12) равен+ =1¯ |− ,4где |− ≡ (−) — концентрация примеси слева от рассматриваемой плоскости, ¯ — средняятепловая скорость примеси. Аналогично, с другой стороны имеется поток частиц справа налево от плоскости = +: − = − 41 ¯ |+ . Считаяфункцию () достаточно гладкой, можно разложить её в ряд Тейлорадо линейного по слагаемого:⃒ ⃒⃒(±) ≃ (0) ± .