П.В. Попов - Диффузия, страница 8

Аналогично рассматриваем поток второго компонента всистеме отсчёта первого. Получаем, что коэффициент взаимной диффузии в бинарной смеси равен = 2 1′ = 1 2′ , откуда≃1 ¯отн.3 (3.7)Здесь, напомним, ¯отн — средняя относительная скорость (1.23), = 1 + 2 — суммарная концентрация, ≡ 12 — сечение столкновениячастиц разных сортов. Примечательно, что результат не зависит отпропорций компонентов 1 /2 и обратно пропорционален суммарномудавлению, что хорошо согласуется как с опытом, так и с результатамистрогой газокинетической теории.Замечание. Строгая газокинетическая теория также даёт в первом приближенииформулу (3.7) с точностью до небольшого (∼ 10%) отличия в численном множителе.В следующих приближениях появляется слабая зависимость этого множителя от пропорций смеси 1 /2 и отношения масс 1 /2 , однако при этом в модели твёрдыхшариков отклонение от (3.7) не превышает 18% во всём диапазоне параметров.

Коэффициент «1/3» является строгим в пределе лёгкой примеси 1 ≪ 2 и 1 ≪ 2 .В § 3.5 найдены оценки коэффициентов подвижности в бинарной смеси, которые сучётом соотношения Эйнштейна также подтверждают результат (3.7).Задача 28. Выразить связь потоков с градиентами концентраций компонентовбинарной смеси в безграничной среде.Задача 29. Найти плотность потока массы при диффузии в неподвижно закреплённом сосуде.§ 3.3. Влияние «собственных» столкновенийОстановимся отдельно на важном вопросе влияния столкновений частиц одного сорта друг с другом на процесс их диффузии. Использованные при выводе (3.7) выражения для длины свободного пробега учитывают только столкновения частиц разного сорта.

Покажем, что столкновения тождественных частиц не приводят к изменениям в переносе вещества.37Рассмотрим для простоты лобовое столкновение двух частиц одинаковой массы (рис. 3.2). Результатомстолкновения, как известно из механики, является обмен импульсами межРис. 3.2ду частицами. Однако, поскольку онитождественны, итоговая картина эквивалентна тому, что соударение не происходило вовсе и частицы прошлидруг через друга насквозь (ср.

рис. 3.2 справа и слева). Таким образом,факт столкновения никак не отразился на переносе вещества в пространстве. Аналогично для случая произвольного столкновения: из закона сохранения импульса для частиц одинаковой массы (v1 + v2 = v1′ + v2′ )непосредственно следует, что в каждом элементарном акте столкновениясуммарная плотность потока вещества не меняется2) .К тому же выводу приходим, если рассматривать диффузию как направленное течение компонентов, сдерживаемое их взаимным трением(см. § 2.3).

Нетрудно видеть, что плотность потока частиц j = u есть нечто иное, как их средняя плотность импульса. А поскольку при соударении частиц одного сорта их суммарный импульс измениться не может,не может измениться и их плотность потока. Иными словами, столкновения частиц одного сорта отвечают внутренним силам трения в пределаходного компонента, а значит, они не могут повлиять на среднюю скоростьпотока в силу третьего закона Ньютона.§ 3.4.

СамодиффузияСамодиффузией называют диффузию в смеси одинаковых молекул.Принципиально, что если все молекулы в системе полностью идентичны (простой газ), их диффузию на макроскопическом уровне наблюдатьневозможно. Тем не менее, если каким-либо образом пометить группу молекул (например, некоторые молекулы могут быть переведены в возбужденное состояние), можно наблюдать их перемешивание в объёме газа какрезультат взаимной диффузии двух компонентов с близкими свойствами.Коэффициент самодиффузии найдём из (3.7) при 1 = 2 :√2 ¯.(3.8) ≃3 Замечание.

Оценка (3.8) даёт для самодиффузии неплохое согласие со строгойтеорией (в пределах ∼ 10%). Если же записать, как это нередко делается в учебниках, = 31 ¯ , где = √ 1 , то получим уже ошибку порядка 50%.22) Приэтом среднее изменение плотности потока энергии или импульса не будетравно нулю, поэтому при расчёте коэффициентов вязкости и теплопроводности нужноиспользовать длину пробега, учитывающую все столкновения.38Важно, что коэффициент самодиффузии описывает лишь перемешивание составляющих газа друг относительно друга, но не течениевсего газа как целого.

Действительно, если разбить (например, мысленно) простой газ на две подсистемы с концентрациями 1 и 2 ,то условие механического равновесия при отсутствии внешних сил21 = (1 + 2 ) Б = const будет означать, что = − , то естьсогласно (3.5) полный поток вещества равен нулю: = 1 + 2 = 0.С другой стороны, если в чистом газе по какой-либо причине возникнетградиент суммарной концентрации, это приведёт не к возникновениюдиффузионного потока, ̸= − (напомним, что для диффузииобязательно наличие столкновений и, следовательно, трения о некоторуюстороннюю среду, см.

§ 2.3), а к нарушению условия механическогоравновесия и появлению градиента давления = Б , которыйв свою очередь вызовет направленное течение газа согласно законамгидродинамики, причём существенно более быстрое, нежели диффузия.§ 3.5. Подвижность в бинарной смесиПодвижность тяжёлой частицы. Рассмотрим сферическую частицу поперечного сечения , движущуюся поступательно с небольшой постоянной скоростью √︁в газе точечных частиц массы 0 , имеющих тепловуюБскоростью ¯0 = 80 ≫ . Найдём среднюю силу сопротивления среды,действующую на эту частицу.Для оценки можно принять, что искомая сила равна произведениючастоты ударов о сферу ¯ = 0 ¯0 (см. (1.19)) на средний импульс частицналетающего потока ¯ ∼ 0 , то естьF̄ ∼ −¯ 0 u = −0 ¯0 0 u.(3.9)Строгий расчёт показывает, что это выражение является точным (см.ниже). Таким образом, подвижность тяжёлой частицы равнат =11=.¯00 0 ¯0Из соотношения Эйнштейна (2.10) имеем коэффициент диффузии тяжёлой примеси: ¯01 Б т ==.(3.10)0 0 ¯08 0 Видно, что этот результат совпадает с (3.2) с точностью до небольшого отличия в численном коэффициенте 8 ≃ 0,39 (отметим, что (3.10) —строгий результат для диффузии тяжёлой примеси в модели твёрдых шариков [5]).39Расчёт средней силы сопротивления.

Выделим группу частиц, имеющих в лабораторной системе проекцию скорости на горизонтальную ось [ ; + ]. Их концен2трация равна = ( ) , где = √ 1− /2Б — распределение по2Б /-проекциям скоростей (индекс «0» для краткости опускаем). Согласно результатузадачи 27 (см. с. 34), их вклад в силу воздействия на сферу равен = ± ′2 .Направление силы определяется знаком относительной скорости: ′ = − . Дляполучения результирующей силы необходимо проинтегрировать по всем значениям проекции скорости. Для упрощения вычислений сразу воспользуемся малостью .Тогда⃒(︂)︂ ⃒⃒′ ( ) = (′ + ) ≃ (′ ) + = (′ ) · 1 − .⃒ ′Б Отсюда после вычисления интегралов можно получить∞Z∞Zsgn ′ · ′2 ( )′ = −2¯ = −∞0′ ′2 (′ )′ = −¯.Б Общий случай.

Обобщим вывод на произвольное отношение масс иконцентраций. Рассмотрим два потока частиц массой 1 и 2 , движущиеся по одной оси со средними направленными скоростями 1 и 2 . Отметим, что эти скорости должны быть малы√︁по сравнению со средними8Б тепловыми скоростями частиц 1,2 ≪ ¯1,2 = — тогда отклонение1,2от состояния термодинамического равновесия будет малым, и можно считать, что скорость каждой частицы складывается из хаотической составляющей, имеющей максвелловское распределение при температуре , ималой направленной составляющей 1 или 2 движения вместе с потоком.Воспользуемся известным из механики результатом: взаимодействиедвух частиц разной массы можно рассчитать, рассматривая частицу при(︀)︀−1 −1ведённой массы = −1, взаимодействующую с неподвиж1 + 2ным рассеивающим центром.

Скорость эквивалентной частицы при этомдолжна быть равна относительной скорости частиц vотн = v2 − v1 . Задача о взаимодействии двух потоков также сводится к нахождению силы трения потока частиц массы о неподвижные рассеивающие центры.Решение даёт формула (3.9), где надо заменить u на среднюю относительную скорость потоков uотн = u2 − u1 , ¯ — на среднюю относительную тепловую скорость ¯отн , а вместо подставить концентрацию частицпротивоположного сорта:F1 ≃ −2 ¯отн (u1 − u2 ) ,F2 ≃ −1 ¯отн (u2 − u1 ) .Замечание. Неравенство сил F1 ̸= −F2 не противоречит третьему закону Ньютона. Противоположны и равны должны быть объёмные плотности сил взаимодействиякомпонентов, что в данном случае и имеет место:1 F1 = −2 F2 .40Воспользуемся теперь условием (3.6) отсутствия течения газа как целого, тогда u2 = − 12 u1 иF1 ≃ −¯отн u1 ,F2 ≃ −¯отн u2 ,где = 1 + 2 .

Отсюда видно, что взаимные подвижности компонентовбинарной смеси одинаковы:1 = 2 ≃1.¯отнКоэффициент диффузии выразим из соотношения Эйнштейна: = Б ≃ ¯отн1 Б =. ¯отн8 (3.11)Мы вновь получили (3.7) с точностью до небольшого (∼ 18%) отличияв численном коэффициенте. Как видно из структуры вывода, формула (3.11) наиболее точна для диффузии тяжёлой примеси (1 ≫ 2 и1 ≪ 2 ), тогда как (3.7) лучше подходит для лёгкой примеси.Замечание. Проведённый вывод ещё раз подтверждает необходимость учёта приописании диффузии только столкновений частиц разного сорта — ясно, что никакихсил собственного трения в течении одного компонента возникнуть не может (если средние скорости течений двух групп молекул равны между собой: 2 = 1 , то и их средняясила трения равна нулю).§ 3.6.

ТермодиффузияТермодиффузией называют перенос компонентов смеси под влияниемперепада температуры.Замечание. Явление термодиффузии было открыто значительно позже, чемостальные явления переноса. Причиной тому, видимо, послужила работа Максвелла, вкоторой он ради простоты вычислений выбрал модельный потенциал взаимодействиямолекул таким образом, что термодиффузионное слагаемое обратилось в нуль(см. ниже). Авторитет Максвелла был столь велик, что пропавшее слагаемое былообнаружено лишь полвека спустя как раз на примере модели газа Лоренца. До сихпор многие учебники общей физики избегают термодиффузии.

Постараемся показать,что на уровне элементарных оценок явление термодиффузии может быть рассмотренотеми же методами, что и диффузия.Ограничимся задачей о термодиффузии примеси лёгких частиц, массакоторых значительно меньше частиц «фона» ( ≪ 0 ). Пусть температура в системе распределена неоднородно и зависит от координаты3) .Положим, что выполнено условие механического равновесия, то есть давление 0 = 0 Б = const постоянно, и в газе присутствует примесь малойконцентрации ≪ 0 .3) При этом отклонение системы от равновесия, как обычно, должно быть не велико,так что можно говорить о локальном тепловом равновесии в каждой точке, а значит,и об определённом распределении температуры в пространстве ().41Повторим вывод диффузионного потока из § 2.1 с учётом того, что скоординатой меняется не только концентрация (), но и температура (), а значит, и средняя скорость теплового движения молекул примеси ¯ ().

Суммарная плотность потока частиц, учитывающая как простодиффузию, так и термодиффузию, равна(︂)︂⃒+⃒1 1=− ∼−¯ ⃒⃒(¯) .(3.12)33 −(здесь мы использовали корректный для модели газа Лоренца численный коэффициент «1/3»). Полученное выражение отличается от обычного диффузионного потока (см. (2.3)) лишь тем, что ¯ осталась под знакомпроизводной, поскольку она теперь зависит от .Выделим термодиффузионное слагаемое.