П.В. Попов - Диффузия, страница 12

Взаимодействие броуновской частицы со средойдвоякое: во-первых, частица при движении со скоростью испытываетсилу сопротивления, в среднем равную тр = −/, где — её подвижность (см. § 2.2), и во-вторых, частица находится под воздействием некоторой хаотической силы (), возникающей из-за ударов молекул о неё.§ 5.1. Подвижность броуновской частицыПрежде, чем рассматривать случайные блуждания макроскопическойчастицы, остановимся на определении её подвижности.

Поскольку ≫ ,сила сопротивления среды — эффект макроскопический. Движение крупной частицы вызывает в среде течение, которое должно описываться законами гидродинамики (на масштабах порядка размера броуновской частицы окружающую среду можно считать сплошной). Таким образом,сопротивление движению броуновской частицы есть результат её «коллективного» взаимодействия с частицами среды. Значит, рассчитанные впервой части пособия (см. § 3.5) молекулярные коэффициенты подвижности в данном случае не годятся.Не решая гидродинамических уравнений, функциональную зависимость искомой силы сопротивления от параметров среды можно определить из соображений размерности (или, иными словами, из законовфизического подобия). Сила тр может зависеть от скорости , вязкости среды , её плотности и размера частицы .

Из приведённых пятифизических величин можно составить не более двух независимых безразмерных комбинаций, например:тр,.56Вторая комбинация есть число Рейнольдса для броуновской частицыRe = . Самый общий вид зависимости силы трения от параметровзадачи, допускаемый теорией размерностей:тр = (Re) ,где (Re) — произвольная функция числа Рейнольдса.Опыт показывает, что при малых скоростях движения (Re ≪ 1) силатрения прямо пропорциональна скорости , следовательно, в этих условиях (Re) = const и сила сопротивления должна быть равнатр = ,а подвижность=1,(5.1)где константа безразмерна, зависит только от формы частицы. Длясферической частицы имеется строгое решение гидродинамических уравнений, дающее известную формулу Стокса: = 6, и = 1/ (6).

Длятел произвольной формы может быть измерена экспериментально. Какправило, если частица не слишком ассиметрична, не сильно отличаетсяот 6 и по порядку величины ∼ 1/(6).§ 5.2. Закон движения броуновской частицыРассмотрим теперь закон движения броуновской частицы под действием хаотической компоненты силы взаимодействия с частицами среды F()(среднее значение этой силы равно нулю, F = 0). Уравнение движенияuu= − + F()(5.2)называют уравнением Ланжевена. Мы не можем непосредственно записать его решение, поскольку входящая в него функция F() испытываетслучайные флуктуации во времени.

Уравнение (5.2) относится к классустохастических дифференциальных уравнений и подробно изучается втеории случайных процессов. Мы попробуем разобраться в физике движения броуновской частицы, не прибегая к сложным математическимпостроениям.Интуитивно ясно, что случайные толчки должны в конечном итогеприводить к хаотичному смещению броуновской частицы. Покажем, чтоеё движение в самом деле можно описать некоторой моделью случайныхблужданий.57Релаксация импульса. Рассмотрим движение частицы при F = 0.Пусть благодаря случайному толчку в начальный момент частица приобрела скорость 0 .

Решая (5.2), найдём, что скорость убывает экспоненциально:=−→ = 0 −/ ,(5.3)где = (5.4)— характерное время, в течение которого частица останавливается и «забывает» о начальном толчке. Его можно назвать временем релаксацииимпульса.Диффузия броуновских частиц. Численные оценки характерных времён процессов взаимодействия броуновской частицы со средой показывают (см. ниже), что её движение можно представить следующим образом. Практически не сдвигаясь с места, она под действием большогоколичества ударов молекул приобретает случайную скорость , среднеквадратичное значениекоторой соответствует её тепловому равновесию√︀со средой: ¯ ∼ Б / .

Затем за время частица из-за трения теряетимпульс, полученный от каждого случайного удара, смещаясь при этом вслучайном направлении на расстояние порядка ∼ ¯ . Следовательно,движение облака броуновских частиц подчиняется диффузионным законам. Оценку коэффициента диффузии получаем из (4.7):∼2∼ Б .(5.5)Видно, что мы опять получили соотношение Эйнштейна между диффузией и подвижность = Б с точностью до численного множителя(более строгий расчёт см.

далее в § 5.3), причём, что примечательно, вывод проведён из совсем иных соображений, чем ранее (ср. § 2.2).Закон Эйнштейна–Смолуховского. Пользуясь (4.6), находим закон движения броуновской частицы:⟨︀⟩︀∆2 = 2Б ,(5.6)⟩︀∆r2 = 6Б .(5.7)или в трехмерном случае⟨︀Как следует из проведённого вывода, эти формулы справедливы при ≫ = , т. е. на временах, значительно превосходящих время торможения частицы в среде.58Оценка характерных времён. Уравнение (5.2) содержит два существенно различных характерных масштаба времени: время флуктуации силы (обозначим его 0 ),и время релаксации импульса .

Оценим 0 как время между ударами молекул среды о броуновскую частицу. Поскольку последняя имеет макроскопические размеры,частота ударов молекул среды о неё найдётся как = · 42 = 2 ,0 =11∼,¯ 2где = 14 ¯ — плотность потока частиц, ударяющихся о поверхность.Оценку времени релаксации получим из (5.1) и известной оценки для вязкости:газов ∼ ¯ , где — длина свободного пробега молекул газа относительно столкновений друг с другом. Тогда ∼ ∼0 ≫ 0 ,поскольку для макрочастицы и ≫ , и ≫ .

Таким образом, видно, что время релаксации импульса броуновской частицы практически всегда на много порядковпревышает характерное время изменения хаотической компоненты силы, что и оправдывает построенную выше модель явления.Задача 40. Оценить времена 0 и для пылинки диаметром 10 мкм в атмосферепри нормальных условиях.Задача 41. Оценить по порядку величины отношение коэффициентов диффузииводяного пара и капель тумана ( ∼ 10 мкм) в атмосфере.§ 5.3. Связь флуктуаций и диссипацииРоль флуктуаций. Исследуем подробнее влияние на движение флуктуирующей силы F. Предположим сначала, что сила сопротивления средыотсутствует. Пусть p — импульс, переданный частице за одно -е по счёту соударение. Полный импульс, полученный в результате ударов завремя = 0 , есть∆p =∑︁p ==1∑︁F 0 ,=1где F — среднее значение флуктуационной силы за -й интервал 0 .

Величина переданного импульса случайна и складывается из множества«скачков» в импульсном пространстве, поэтому можно говорить, что действие хаотической силы на частицу приводит к случайным блужданиям√в пространстве импульсов (см. § 4.5). Тогда согласно «закону » (4.1)запишем:⟨︀ 2 ⟩︀ ⟨︀ 2 ⟩︀∆p =p 0 ,(5.8)0⟨︀⟩︀где ∆p2 — средний квадрат импульса, передаваемый броуновской частице благодаря флуктуационной составляющей силы взаимодействия59со средой за интервал времени . Также можно определить средний квадрат флуктуационной силы как⟨︀ 2 ⟩︀⟨︀ 2 ⟩︀∆p 0 ⟨︀ 2 ⟩︀F 0 .=F =2Замечание. Выражение (5.8) может оказаться весьма полезным при численноммоделировании броуновского движения исходя из уравнения Ланжевена (5.2).

Онопозволяет вместо чрезвычайно малого времени между ударами молекул о частицу 0 ,брать в качестве времени дискретизации разумно малый шаг , такой что 0 ≪ ≪ ,например:u()u(+1) − u()()=−+ p .В таком случае (5.8) даёт правило перерасчёта (перенормировки) величины импульсовфлуктуирующей силы при изменении временных масштабов: p2 = p20 .0Роль диссипации. Из (5.8) видно, что в отсутствие трения средняяэнергия под действием случайных толчков росла бы неограниченно. Такой рост противоречил бы второму началу термодинамики — подождавдостаточное время мы могли бы извлечь из термостата любое количествоэнергии, не совершая работы.

Этому росту должна препятствовать силатрения (причём эта сила обязана существовать независимо от того, каковы свойства среды или частицы). Поскольку частица, помещённая всреду, должна рано или поздно оказаться в тепловом равновесии с ней,оба фактора — рост энергии благодаря флуктуациями и её диссипацияиз-за трения — в конечном итоге скомпенсируют друг друга.Если сила трения пропорциональна скорости частицы: Fтр = −u/, тоеё средняя мощность равна⟨︀ 2 ⟩︀u˙.тр = ⟨Fтр · u⟩ = −С другой стороны, мощность флуктуационной силы согласно (5.8) есть⟨︀ 2 ⟩︀⟨︀ 2 ⟩︀p p ˙ ==.22 Приравнивая суммарную мощность к нулю: ˙ тр + ˙ = 0 и учитывая, чтов термодинамическом равновесии⟨︀ ⟩︀согласно теореме о равнораспределенииэнергии по степеням свободы u2 = 3Б / , найдём⟨︀p2⟩︀=6Б .(5.9)Этот результат представляет собой частный случай флуктуационнодиссипационной теоремы (ФДТ), устанавливающей универсальную связь60между диссипативными процессами (здесь — сила трения) и флуктуациями (здесь — сила F).

Для броуновской частицы полученная связь отражает тот простой факт, что и флуктуирующая сила, и сила сопротивлениясреды представляют собой проявления одного процесса — взаимодействияброуновской частицы со средой.Задача 42. Рассматривая движение электрона в проводнике как результат баланса действия электрического поля и силы трения со стороны кристаллической решетки,получитьдля среднеквадратичного значения тепловых флуктуаций напря⟨︀ выражение⟩︀жения 2 за время измерения Δ (частный случай формулы Найквиста). Сопротивление проводника , температура .Закон движения броуновской частицы (уточнение вывода)Определим смещение броуновской частицы за время, значительно превышающее время релаксации импульса, ≫ = .

Усредним уравнение Ланжевена по некоторому временному масштабу ≫ , т. е. проинтегрируем (5.2) в интервале [; + ]. Результат можно представить ввиде+Z∆u∆r=−+F .Воспользуемся тем, что скорость частицы не можетзначительно откло√︀ниться от среднего теплового значения ( ∼ Б / ), поэтому леваячасть полученного соотношения будет мала при ≫ . Отбрасывая её иполагая, что всё же мало по сравнению с временем наблюдения ≫ ,получим уравнение Ланжевена без инерции:0=−r+ F.(5.10)Приближение (5.10) согласуется с тем экспериментальным фактом, чтов достаточно вязкой среде тела движутся только пока к ним приложена сила, а эффекты инерции (ускорение при приложении внешней силыили замедление при её выключении) заметны лишь кратковременно намасштабах времени релаксации .

. Образно говоря, в вязкой средедвижение тел подчиняется законам «механики Аристотеля».Разобьём время наблюдения на малые интервалы и из (5.10) запишем смещение частицы какZ∆r = F = /∑︁p ,=10где p — импульс флуктуационной силы на интервале ∈ [ ; ( + 1) ].Видно, что каждый толчок приводит к смещению частицы на расстояние61r = p . Возводя в квадрат и проводя усреднение по большому количеству частиц с учётом (5.9), найдём статистический закон смещенияброуновской частицы:⟨︀ 2 ⟩︀ ⟨︀ ⟩︀∆r = 2 p2 = 6Б ,в полном соответствии с законом Эйнштейна–Смолуховского (5.6).§ 5.4.