П.В. Попов - Диффузия, страница 15

Полный поток складывается из двух слагаемых — потоков на границах и + , — разность которых в пределе стремится к производной по :⃒+ = ⃒→· .Таким образом, получим общее одномерное уравнение переноса в дифференциальном виде:+= .(6.7)Уравнение (6.7) называют также уравнением непрерывности. Оно применимо для описания переноса (не обязательно диффузионного) любойнепрерывной скалярной физической величины, для которой можно определить объёмную плотность , плотность потока и плотность источников .72Замечание. Можно обобщить (6.7) на пространственный случай.

Тогда вклад отпотоков по каждой оси будет суммироваться независимо. Уравнение непрерывностибудет выглядеть следующим образом:+ (∇ · j) = ,— скалярное произведение оператора градиентагде (∇ · j) ≡ + + (︁)︁ ∇ = , , и вектора плотности потока j, называемое дивергенцией потока.При наличии диффузии используем закон Фика и запишем одномерное уравнение диффузии:(︂)︂=+ .(6.8)Это одно из фундаментальных уравнений в частных производных, встречающееся в различных областях знаний. Аналитические и численные методы его решения широко освещены в литературе по математической ивычислительной физике.Задача 51. Для защиты от радиоактивного газа радона-220, выделяемого ториевыми отходами ядерного производства, их засывают песком.

Найти, во сколько раз встационаре ослабляется поток радиоактивных частиц благодаря слою песка толщинойℎ. Коэффициент диффузии газа в песке . Период полураспада радона .Функция Грина уравнения диффузииРассмотрим функцию (4.10), описывающую расплывание облака частиц из одной точки. Нормируем её на одну частицу, что обозначим как(︂)︂12 (, ) = √exp −.(6.9)44Покажем, как с её помощью определить эволюцию в безграничном пространстве облака частиц произвольной формы.

Пусть 0 () — начальноераспределение концентрации. Представим исходное облако в виде совокупности точечных скоплений примеси, расположенных в точках вдольпрямой. Начальное число частиц в каждой точке равно 0 ( ) ∆ , где∆ = +1 − . Через время каждая такая точка расплывётся в «пятно», определяемое функцией . Результирующая концентрация (, ) внекоторой точке на прямой найдётся как сумма по всем «пятнам»:∑︁(, ) =0 ( ) ∆ · ( − , ) .При переходе к непрерывному пределу ∆ → 0 сумма превратится винтеграл типа свёртки:∞Z(, ) =0 (′ ) · ( − ′ , ) ′ ,(6.10)−∞73который и даёт решение поставленной задачи.Примечательно, что мы получили решение уравнения диффузии (6.8)(в чем можно убедиться прямой подстановкой при = const и = 0),никак не используя само уравнение.В математической физике функцию — решение точечного «импульса» — называют функцией Грина уравнения диффузии в безграничном пространстве.3) Такие функции широко используются для решениялинейных уравнений в частных производных, для которых справедливпринцип суперпозиции: к примеру, в электростатике аналогичный смыслимеет потенциал точечного заряда.

Дальнейшие подробности можно найти в учебниках по уравнениям математической физики.Задача 52. В начале полубесконечной набережной расположен бар, на расстоянииℎ от которого находятся 0 пьяных матросов. Считая известным их коэффициентдиффузии , найти зависимость от времени потока () матросов, заходящих в бар(из бара матросы не возвращаются). Рассмотреть предел ≫ ℎ2 /.ТеплопроводностьСоотношения (6.4) – (6.6) без измененийпереносятся на расчёт пере[︀ ]︀носа тепла, где поток энергии ВтпозаконуФурье (см.

§9) равен2м[︀ ]︀j = −∇ ; величина Втбудетиметьсмыслобъёмнойплотности исм3точников тепла.Поскольку процесс теплопередачи есть диффузия тепловой энергии,уравнение переноса температуры будет выглядеть совершенно аналогичным образом:(︂)︂=+ ,(6.11)где — теплоёмкость при постоянном давлении в расчёте на одну частицу вещества ( — теплоёмкость единицы объёма). Здесь мы воспользовались тем, что при передаче единичному объёму теплоты еготемпература меняется на = / (напомним, что в газах механическое равновесие, как правило, устанавливается быстрее теплового, поэтому при теплопередаче можно считать, что = const).

Коэффициент = / , являющийся аналогом коэффициента диффузии, называюттемпературопроводностью.Задача 53. Длинный тонкий стержень длиной и площадью сечения равномерно по всей длине нагревается внешним источником. Суммарная мощность нагреваравна [Вт]. При этом концы стержня поддерживаются при низких температурах.Найти температуру в центре стержня, если его теплопроводность равна .Задача 54. По длинному цилиндрическому проводу радиуса течёт ток, распределённый равномерно по сечению. На единицу длины провода выделяется тепло .3) В общем случае функция Грина зависит как от формы области, так и от граничныхусловий, но она всё равно тесным образом связана с (6.9).74Найти, на сколько температура в центре провода больше температуры на поверхности.

Теплопроводность провода .§ 6.3. Квазистационарное приближениеРассмотрим подробно несколько задач, иллюстрирующих идею квазистационарного приближения.Время испарения каплиИсследуем задачу об испарении капли воды в закрытом сосуде с нулевой влажностью.В отсутствие конвекции процесс испарения будет контролироватьсядиффузией паров. испарении. Выясним, каково должно быть граничноеусловие на поверхности капли. Поскольку в равновесии с поверхностижидкости испаряется столько же молекул, сколько молекул насыщенного пара ударяется о неё, максимальная плотность потока, которую капляспособна «выдать» при испарении, равна max = 14 н ¯, где н — концентрация насыщенных паров при заданной температуре4) .

Если диффузионный поток у поверхности капли значительно меньше максимального,то можно считать, что на границе капли частицы скапливаются до техпор, пока не устанавливается максимально возможная концентрация н .Проверим эту гипотезу, для чего найдём стационарное распределениеконцентрации паров в сферической геометрии при граничных условиях() = н , (∞) = 0:− 42= const,→ () = н.В таком случае плотность потока на поверхности капли равна⃒ ⃒⃒н0 = − ⃒.= =(6.12)(6.13)Пользуясь оценкой коэффициента диффузии ∼ ¯ , получим 0 ∼ н ¯.Видно, что 0 ≪ max при условии, что радиус капли много большедлины свободного пробега паров воды в воздухе, ≫ (в атмосфере ∼ 10−5 см).Вдали от критической точки плотность паров много меньше плотностиводы, п ≪ ж , поэтому разумно предположить, что испарение каплибудет медленным. Если характерное время испарения капли исп многобольше времени диффузии на расстояние порядка нескольких радиусовкапли ∼ 2 /, то можно считать, что в каждый момент времени4) Для простоты каплю будем считать достаточно большой, чтобы можно было пренебречь зависимостью давления насыщенных паров от кривизны поверхности.75устанавливается стационарное распределение (6.12) паров в пространстве.Тогда для расчёта скорости испарения капли будем считать её радиус медленно меняющейся функцией времени.Составим дифференциальное уравнение, определяющее размер капли ().

Масса частиц, испаряющихся в секунду с капли, в нашем предполоп2жении получается из формулы (6.13) и равна = − · 4 , где п —43плотность пара. С другой стороны, масса капли = 3 ж , поэтому4= ж 3 = −4п · ,3→п =−.ж Решение уравнения:√︂ () = 0 −п2.жТаким образом, время испарения равноисп =ж 02.п 2Оно действительно много больше времени диффузии при ж ≫ п , такчто наше предположение оказалось верным.Последнее, что осталось проверить, не заполнят ли пары испаряющейся капли весь сосуд, в котором она содержится. Когда пары дойдут до границы, мы уже не будем иметь права пользоваться условием (∞) = 0. Если размер сосуда , то соответствующее время диффузиипаров ∼ 2 /. Чтобы полученное значение для исп было правиль√︁жным, необходимо выполнение условия ≫ исп , то есть ≫ п 0(для водяной капли ≫ 300 ).Задача 55.

На улице установилась морозная погода со средней температурой−10 ∘C. Оценить время промерзания озера на 30-сантиметровую глубину. Суточнымиколебаниями температуры и отличием плотностей воды и льда пренебречь.Измерение коэффициента диффузииВ одном из вариантовэксперимента по измерениюкоэффициентат12диффузиибинарнойсмесибустановкапредставляеттсобой два баллона, соединённые тонкой трубкой.Рис. 6.4В баллонах находятсядатчики концентрации примеси5) .

Геометрия установки изображена наб5) Впрактикуме МФТИ они реализованы как термопарные датчики теплопроводно-сти.76рис. 6.4. При приготовлении начального состояния в один из сосудовпомещают смесь двух газов, а в другом — чистый газ, при этом во всёмсосуде обеспечивают постоянство давления и температуры.Диффузия между баллонами определяется «узким местом» — соединительной трубкой, имеющей сечение т ≪ б .

При определённых условиях (см. ниже) концентрацию в пределах каждого баллона можно считать почти не зависящей от координаты. Найдём в квазистационарномприближении скорость изменения числа частиц в баллонах, считая чтодиффузионный поток по трубке в каждый момент времени постоянен вкаждом сечении и является медленно меняющейся функцией времени: = −т= const→() = −т∆().тТогда21= −,= ,где 1,2 = б 1,2 — полное число частиц в баллонах, б = б б . Вычитаяиз первого уравнения второе, получим (∆) = − т т б · ∆, откуда∆ = ∆0 · −/ ,(6.14)где1 т2 бб = т(6.15) т т— характерное время выравнивания концентраций между баллонами.Экспериментальное определение времени по зависимости ∆() и позволяет измерять коэффициент диффузии в системе.=Замечание. Проверим применимость квазистационарного приближения. Необходимо убедиться, что время диффузии одной частицы вдоль трубки 2т / (оно же естьвремя перехода к стационарному режиму) много меньше, чем , то есть т ≪ б .Кроме того, необходимообеспечить малость перепада=0концентраций в пределах одного баллона по сравнению с Δ.