П.В. Попов - Диффузия, страница 16

1В квазистационарном режимев каждый момент времени ≫ 2т /полный поток через любое2 ∼ т /2поперечное сечение установкиодинаков: = ≈ const,б + бпоэтому⃒ ⃒ градиент концентра⃒ ⃒Рис. 6.5= / = / ()ции ⃒ ⃒обратно пропорционален площади сечения. Максимальный перепад концентраций в пределах баллона Δб ≃ б / (б ) должен быть много меньше, чемΔ = 1 − 2 = т /(т ), то естьтб≫.тб77Окончательно условие применимости использованной модели можно записать какттб≪≪,ббт(6.16)то есть соединительная трубка должна быть тонкой и иметь примерно ту же длину, чтои сосуды.

На рис. 6.5 представлена зависимость концентрации примеси от координаты() в разные моменты времени при условии, что (6.16) выполнено.Течение разреженного газаРассмотрим истечение газа из некоторого объёма в вакуум через трубку радиуса и длины ℓ. В первую очередь классифицируем различныережимы истечения в зависимости от размеров трубки и давления в объёме. Характер течения будет определяться соотношением между , ℓ идлиной свободного пробега в газе = 1/. Можно выделить следующиекачественно различные случаи:1) ≪ ℓ ≪ (плотный газ, короткая трубка или отверстие) — адиабатическое истечение в вакуум, описываемое уравнением Бернулли;2) ≪ ≪ ℓ (плотный газ, длинная трубка) — вязкое ламинарное течение, описываемое формулой Пуазейля; либо (при больших числах Рейнольдаса) — турбулентное течение;3) ℓ ≪ ≪ (разреженный газ, малое отверстие) — молекулярноеистечение газа из отверстия (эффузия), поток определяется формулой = 14 ¯;4) ≪ и ℓ ≪ (разреженный газ, длинная трубка) — течение разреженного газа по трубе, которое мы и рассмотрим в данном параграфе.Пусть газ разрежен настолько, что длина пробега относительно столк1новений молекул друг с другом много больше размеров системы: ≫(это состояние также называют высоким вакуумом).

Молекулы в длиннойтрубке в своём движении сталкиваются в основном со стенками трубки,но не друг с другом, а при ударах о стенку они рассеиваются на некоторый случайный угол, случайно изменяя проекцию скорости на ось вдоль трубы6) . Значит, движение отдельной молекулы можно рассматривать как процесс случайных блужданий, а аналогом свободного пробегабудет служить величина порядка поперечного размера трубы. Как показывает довольно громоздкий строгий расчёт, средний пробег в таком случае нужно взять равным диаметру трубы 2.

Перенос вещества по трубкебудет описываться уравнением диффузии с коэффициентом = 31 2 · ¯.Таким образом, плотность потока по трубе в условиях высокого вакуума6) Стенки обычно имеют существенные на молекулярных масштабах шероховатости.Если представить себе идеально гладкую трубку, от стенок которой молекулы отражаются зеркально, то поток через такую трубку будет таким же, как и поток черезотверстие (каждая частица, попавшая в такую трубку с одного конца, выйдет с другого).78равна2 = − ¯ ,(6.17)3 что принято называть формулой Кнудсена. Соответствующий режим течения называют кнудсеновским.Заметим, что в данном случае имеет место диффузия чистого (однокомпонентного) газа, однако противоречия не возникает, поскольку«фон» по-прежнему присутствует — здесь в его роли выступают стенки трубки.Для рассмотрения динамики истечения из некоторого сосуда опятьприменим квазистационарное приближение: будем считать, что в каждый момент времени установился стационарный поток, не зависящий откоординаты: = const.

Тогда / = /ℓ, где — концентрация газа в «откачиваемом» объёме, и = − 23 ℓ ¯. Интересно, что этот потокпримерно в /ℓ раз меньше, чем плотность потока частиц, падающих наотверстие радиуса , то есть длинная трубка эквивалентна ℓ/ последовательно расположенным отверстиям того же радиуса.Приравняв изменение числа частиц в сосуде объёма к полному потоку частиц из него через отверстие, найдём2 3= · 2 = −¯,3 ℓ→ = 0 −/ , где =3 ℓ.23 ¯Задача 56. Получить условие на объём откачиваемого сосуда, необходимое дляприменимости квазистационарного приближения.7.

НЕДИФФУЗИОННЫЕ ПРОЦЕССЫСЛУЧАЙНОГО ПЕРЕНОСАУниверсальность диффузионных законов весьма широка. Уравнениедиффузии и его модификации находят применения в самых разных областях, таких как: собственно диффузия, теплопроводность, вязкость вразличных средах, проникновение магнитного поля в проводник (скинэффект), а также при описании широкого класса случайных процессовв физике, химии, биологии, генетике, экономике и т. п.

Как уже обсуждалось, в основе этой универсальности лежит центральная предельнаятеорема теории вероятностей (точнее, целый класс таких теорем), утверждающая, что сумма большого количества независимых случайных величин, имеющих конечную дисперсию, стремится к нормальному распределению.Существует, однако, класс явлений, обусловленных случайными процессами, в которых нарушаются некоторые условия применимости ЦПТ.79Процессы случайного переноса, не подчиняющиеся классическим диффузионным законам (иногда их называют «аномальной диффузией»), начали активно исследоваться лишь в последней четверти прошлого века, причём проблема остаётся актуальной и по настоящее время.

Отметим, что кнастоящему времени обнаружено множество физических примеров «аномальной диффузии», так что нарушение центральной предельной теоремы можно наблюдать не только «на бумаге».Итак, дабы не сложилось впечатления, что диффузия — единственный вариант случайного переноса (а после ознакомления с классическимиучебниками физики такое впечатление почти наверняка складывается), вэтом разделе мы кратко затронем некоторые примеры, в которых классические диффузионные законы нарушаются. Более подробное знакомствос этой бурно развивающейся в настоящее время областью науки можноначать с обзора [9].§ 7.1. Случайные блуждания с памятьюРазберём ситуацию, когда смещения частицы не являются независимыми друг от друга и каждый последующий шаг зависит от совокупности предыдущих (говорят, что процесс обладает «памятью»). В качествепримера рассмотрим одномерное движение броуновской частицы, не испытывающей трение о среду. Пусть для простоты она испытывает случайные толчки со стороны среды, меняющие скорость на = ± черезинтервалы времени .

Результирующая скорость на -м шаге =∑︁ = ±. ,=0Результирующее смещение частицы от начального положения∆ = ∑︁ .(7.1)=0⟨︀⟩︀Для получения среднеквадратичного смещения ∆2 (среднее смещение, конечно, равно нулю ⟨∆ ⟩ = 0) перегруппируем слагаемые в (7.1):∆ = [ 0 + ( − 1) 1 + . . . + ] .Возведём результат в квадрат и, воспользовавшись независимостью приращений скоростей на разных шагах (⟨ ⟩ = 0 при ̸= ), проведёмусредненение по большому числу частиц:⟨︀∆2⟩︀2 2= ∑︁=0802( − ) .Пользуясь известной формулой для суммы квадратов целых чисел⎛ ⎞(︂)︂Z∑︁1112 = +( + 1) ≈ 3 ⎝≈ 2 ⎠ ,323=00⟨︀⟩︀найдём: ∆2 ≃ 13 2 2 3 при ≫ 1, или, выражая время через числошагов = ,⟨︀ 2 ⟩︀ 2 3 .∆ ≃3×1091 3/2√3|| =×106Рис.

7.1. Примеры зависимостей смещения от номера шага при одномерномброуновском движении с памятью ( = 1, = 1, max = 106 )⟨︀ Мы⟩︀ получили недиффузионный закон случайных блужданий∆2 ∝ 3 . Коэффициент диффузии в данном⟨︀ 2 ⟩︀ случае не определён.Отклонение от диффузионной зависимости ∆ ∝ возникло ввидутого, что частица из-за отсутствия трения «помнит» всю предысториюсвоего движения, так что нарушается условие независимости последовательных шагов.

Примеры расчётных траекторий, полученных с помощьюгенератора псевдослучайных чисел, приведены на рис. 7.1 (ср. рис. 1.3 впервой части пособия).Как уже обсуждалось в § 5.3, в пределе → ∞ существование такогодвижения запрещено вторым началом термодинамики. При приближениискорости частицы к средней тепловой, трение о среду не может оставаться пренебрежимо малым. Однако, если время релаксации импульса велико по сравнению с временем между соударениями 0 (что для реальныхброуновских частиц выполняется с большим запасом), эта модель случайных блужданий должна адекватно описывать движение исходно покоящихся броуновских частиц на промежуточных временах 0 ≪ ≪ 81(классические законы броуновского движения, напомним, справедливыпри ≫ ).§ 7.2.

Супердиффузия. Полеты ЛевиРассмотрим случайные блуждания, при которых частицы могут иногда совершать достаточно длинные прыжки, так что средний квадратсмещения будет бесконечен. Такие процессы принято называть полётами Леви (Lévy flight или Lévy walk).Пусть вероятность прыгнуть на расстояние ℓ представляет собойфункцию с медленно убывающим при ℓ → ∞ степенным «хвостом».В качестве примера рассмотрим распределение (ℓ) =ℓ+1(ℓ > 1, 0 < 6 2).(7.2)Ключевой особенностью распределений вида (7.2) является расходимостьсреднего квадрата смещения:Z⟨︀ 2 ⟩︀ℓ ≡ limℓ2 (ℓ) ℓ = ∞→∞при0 < 6 2,1и даже бесконечность среднего ⟨ℓ⟩ ≡ limR→∞ 1ℓ(ℓ) ℓ = ∞ при 0 < 6 1.Отметим, что указанные расходимости не являются препятствием дляреализации распределений на практике (необоходимо, однако, чтобы схо∞Rдился интеграл (ℓ) ℓ, что выполняется при > 0).

На рис. 7.2 пред1ставлены смоделированные численно двумерные траектория случайныхблужданий для разных . Видно, что она качественно отличается от классической броуновской траектории (см. рис. 5.2). Частица не стремитсязарисовать всю плоскость, а «потоптавшись» какое-то время на месте,изредка совершает прыжки на довольно большие расстояния. В результате «рисунок» блуждания состоит из плотно заштрихованных кластеров,связанных редкими дальними скачками.Замечание.