П.В. Попов - Диффузия, страница 18

§ 3.2).19. ∼ 10−5 см, ∼ 0,2 нм.20. Пренебрегая зависимостью сечения столкновений от температуры, получим зависимость от температуры и давления:√︂ 3/21Б ∼ ¯∼∝.( = /Б ). Для малых приращений получаем ≃ 32 − . Следовательно,при увеличении температуры на 10% и уменьшении давления на 5% коэффициентыдиффузии возрастают на ∼20%.21.Пренебречь силой тяжести можно, если1 ≫Б . В частном случае, ко-ℎгда справедлива оценка∼(что выполняется для достаточно плавных функций), силой тяжести можно пренебречь, если перепад потенциальной энергии мал посравнению со средней кинетической: ℎ ≪ Б .

Тогда для комнатной температурыи ℎ ∼ 1 м влияние силы тяжести начинает сказываться только для частиц массой & 10−22 кг ∼ 105 а.е.м. (такие массы характерны для белковых молекул). Для газовой диффузии в земных условиях гравитация может сказаться лишь на расстоянияхв десятки километров.22. Найдём связь удельного сопротивления с подвижностью электронов . Электроны под действием силы = приобретают среднюю скорость = = . При88этом полный ток через сечение провода равен = , т. е.

= . С другой стороны: = / = ℓ/, где ℓ — длина провода. Пользуясь выражением для удельногоБ 1сопротивления: = ℓ/, получим: = 2 , откуда = 2 .23. Двухатомные ( =5 ):2 Б2 =31219 15¯ Б + ¯ Б =· ¯ .422210 2Многоатомные ( = 3Б ):3 =53137 1¯ Б + ¯ Б = · ¯ .42224 2Используя формулу для вязкости (2.17), находимкрасно согласуется с опытом.2 ≈ 1,9, и3 ≈ 1,7, что пре-24. Заметим в первую очередь, что торможение быстрой -частицы отличается от динамики хаотичного движения частицы в тепловом равновесии. Из условия следует, что высокоэнергичная -частица испытывает соударения с практически покоящимися электронами, которые можно считать не связанными с атомами.Быстрая тяжёлая -частица при соударении с неподвижной лёгкой частицей теряет импульс ∼ − = − , так что для полного торможения необходимо ∼ / ≃ 7500 ударов. Значит, длина её пробега между соударениями равна∼ ℓ.

Сечение:1=∼≃ 3 · 10−17 см2 . ℓ25. Нет, нельзя. Формулы раздела применимы, если взаимодействие лёгкой частицы с тяжёлой носит индивидуальный характер. Для этого необходимо, чтобы размерпылинки был, по крайней мере, много меньше длины свободного пробега молекул воздуха. При нормальных условиях ∼ 0,1 мкм (см. зад. 19).26. ∼ 2 2 Б .27.Рассмотрим частицы, летящие по направлению к сфере на прицельномрасстоянии от оси пучка , проходящей черезцентр сферы. Они отразятся от неё под углом коси, где sin 2 = /, и передадут ей горизонтальныйимпульс(︂)︂2Δ = (1 + cos ) = 2 1 − 2 .Поток таких частиц в тонкостенном цилиндре толщиной с площадью сечения = 2 равен = и, соответственно, оказываемое частицами давление равно)︂ZZ (︂2 = Δ = 21 − 2 4 = 2 .0Средний передаваемый импульс == .8928. В безграничной среде (или в невесомом незакреплённом сосуде) центр масс смесинеподвижен, а значит, поток массы равен нулю: 1 u1 + 2 u2 = 0, где = — плотности компонентов.

Используя это вместо (3.6) (условие ∇1 = −∇2 сохраняется),по аналогии находим плотность потока частиц 1-го компонента:j1 = −1 ′12 2∇1 ,′ ∇1 = −=−1 + 11 + 2 121где определён согласно (3.7). Для второго компонента: j2 = − j = − 1 ∇2 . 1229. j = 1 j1 + 2 j2 = (2 − 1 ) ∇1 .30.

∝ −1/3 , ∝ 11/6 , / = − 16 .31. , ∝ 2/3 .⟨︀⟩︀(︀)︀32. ⟨ ⟩ = 13 , Δ2 = 2 + ( − 1) 19 2 = 19 2 + 89 2 .! , где =33. () = 2− — биномиальный коэффициент (это!( −)!частный случай биномиального распределения или распределения Бернулли).34. Рассмотрим самый лёгкий (а значит, и быстрее всех диффундирующий) продуктгниения, имеющий запах, — аммиак NH3 . Для радиуса молекулы ∼ 0,2 нм прикомнатной температуре найдём: ∼ 1/(42 ) ∼ 0,8 · 10−5 см = 80 нм, ∼ 13 ¯ ∼∼ 0,17 см2 /с, ∼ 1 м, откуда время диффузии ∼ 2 /6 ∼ 3 часа. На практикекартошка, как правило, лежит в пакете, так что процесс её обнаружения может сильнозатянуться.35. = 21 ¯ , где = 1/(0 ), = — сечение столкновения «твёрдых окружностей»√︀с точками на плоскости, ¯ = Б /2 — средняя скорость в двумерном случае.36.

В поперечном к B направлении траектория электрона есть окружность, радиус 2⊥(в единицах СИ).которой находится из соотношения ⊥ = ⊥ и равен = ⊥¯ = ¯Средний циклотронный радиус: (выражениедля¯найденов предыду⊥щей задаче). Из-за столкновений, происходящих с интервалом времени ∼ /¯⊥ , где¯ поэтому — длина пробега без поля, частица смещается на расстояние порядка ,¯ 2 /4 . Пользуясь тем, что в отсутствие поля 0 ∼ ¯⊥ ∼ ⊥ , получаем оценку длякоэффициента поперечной диффузии «замагниченных» электронов:(︂)︂¯22 ¯4Б 2⊥ ∼∼ 2 2⊥ ∼0 .

00¯ то естьФормула применима в достаточно сильных магнитных полях, когда ≫ ,Б ≫ — при этом видно, что диффузия поперёк сильного поля заметно ослабля0ется. В слабых полях имеет место обычная диффузия с коэффициентом ∼ ¯.37. Вероятность того, что энергия(︁ частицы)︁ окажется в интервале [; + ], равна = (), где () = const · exp − — распределение Больцмана. ВерятностьБтого, что энергия превысит порог , равна∞Z |> =()Z⧸︁ ∞0(︂)︂() = exp −.Б 90Значит, при частоте0 среднее время ожидания между прыжками составит(︁ колебаний)︁2exp . Отсюда коэффициент диффузии = = 0Б(︂)︂22 0=∼exp −.612Б Использованная модель весьма груба и не годится для количественных расчётов коэффициента диффузии.

В частности, величина не является межатомным расстоянием,как это может показаться на первый взгляд. Частица с большой энергией может совершить несколько «перескоков» подряд, прежде чем потеряет свою энергию и сновазастрянет в потенциальной яме. Однако экспоненциальная зависимость от 1/ вжидкостях и твёрдых телах — проверенный экспериментальный факт. Интересно, чтопоскольку многие процессы в живых клетках определяются диффузией, столь резкаязависимость является одной из причин того, что живые организмы способны нормально функционировать, как правило, лишь в довольно узком диапазоне температур.38. Пусть за интервал испускается = частиц.

Через время после этого онирасплывутся в облако плотностью(︂)︂2 =exp−.4(4)3/2Для нахождения концентрации на расстоянии в момент проинтегрируем вклады завсё время, пока излучал источник:)︂(︂Z 2(, ) =.exp−3/240 (4 )Произведём замену переменных 2 = 2 /(2 ). В результате интеграл сведётся к интегралу ошибок :√︂ Z ∞22(, ) =− /2 .4 /√2√Предельное при → ∞ (/ 2 → 0) значение равно∞ () =.4Одно из известных свойств интеграла ошибок (знакомое студентам, например, полабораторному практикуму) заключается в том, что площадь под графиком функ2ции − /2 в пределах [0, 2], где — среднеквадратичное отклонение, составляет≈ 95% от полной площади[0, ∞].

Следовательно, концентрация достигнет величины√ = 0,05∞ при / 2 ≈ 2, т. е. в момент 1 ≈ 2 /8.В обратном пределе на больших временах ( ≫ 2 /2) можно положить√︂√︂Z∞Z /√2−2 /2−2 /2=−−√.≈√222/ 20Следовательно, время выхода√︁ на концентрацию = 0,95∞ можно определить изсоотношения √2= 0,05 2 , откуда 2 ≈ 1272 /.239. Смещение складывается из диффузии Δд и сноса потоком Δп :⟨︀ 2 ⟩︀ ⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀ ⟨︀⟩︀⟨︀ ⟩︀Δ = (Δд + Δп )2 = Δ2д + Δ2п = 2 + 2 2 ,√где — время, проведённое в потоке. Оценка последнего ∼ , где ∼ —характерный размер области по , в котором может оказаться частицак моменту.(︂)︂√⟨︀ 2 ⟩︀2 2Таким образом, по порядку величины ⟨Δ⟩ ∼ √, и Δ ∼ +.9140.

При плотности ∼ 2 г/см3 масса пылинки ∼ 10−9 г. Средняя тепловая ско√︀рость: ¯ =8Б / ∼ 0,1 мм/с. Тогда 0 ∼ 1/( 41 в ¯ · 42 ) ∼ 5 · 10−12 с, гдев ∼ 2,4 · 1019 см−3 . Вязкость воздуха ∼ 0,35 в ¯в ∼ 18 · 10−6 Па · с, подвижностьпылинки ∼41.пт∼16¯Б в∼ 6 · 108 с/кг, откуда = ∼ 6 · 10−4 с ≫ 0 .∼¯ ·¯ Б ∼ 2 ∼ 106 .42.

Пусть единственным элементом цепи является провод с сопротивлением = ℓ ,где — удельное сопротивление, ℓ — длина, — сечение. Сила, действующая на электрон, равна = /ℓ. Тогда ФДТ для электрона в одномерном случае:2 ⟨︀ 2 ⟩︀2Б Δ =,ℓ2Δгде — подвижность электронов в металле. Остаётся связать с . Для одного электрона, движущегося со средней скоростью ,==ℓ→= ℓ/(ℓ/)ℓ== 2./ℓЭто соотношение между подвижностью и удельным сопротивлением называют формулой Друде–Лоренца. Окончательно выражаем⟨︀ ⟩︀⟨︀ 2 ⟩︀2 22Б 22Б =→ Δ =.2ℓℓΔПримечание: «настоящая» формула Найквиста имеет дело со спектральной плотностью квадрата тепловых флуктуаций напряжения, равной 2 = 2Б .43.