П.В. Попов - Диффузия, страница 17

Распределения (7.2) даже при 0 < 6 1 всё же имеют конечнуюмедиану ℓm :ℓZm1 (ℓ) ℓ =→ℓm = 21/ ,21то есть половина прыжков совершается на расстояние не более чем ℓm , что и определяет их характерную величину. Однако, в отличие от нормального распределения,вероятность совершить прыжок, многократно превосходящий ℓ , не оказывается исчезающе малой.82×106×104×106×104Рис. 7.2. Примеры траекторий случайных блужданий при супердиффузии для = 1 (слева) и = 3/2 (справа). Число шагов в каждой реализации = 106Распределения с «тяжёлыми хвостами» при больших ℓ, такие как (7.2), имеютширокую область приложения в физике и других областях знаний. Например, = 1соответствует «хвосту» ∝ 1/ℓ2 так называемого распределения Коши, встречающегося при описании разного рода резонансных явлений, в частности: при описаниирезонансной кривой гармонического осциллятора или формы контура спектральнойлинии (распределение Лоренца), а также в теории резонансных ядерных реакций (формула Брейта–Вигнера).

Ещё одним примечательным примером является распределение людей по доходам, которое хорошо описывается кривой вида (7.2) (распределениеПарето). С этим же классом распределений связано известное эмпирическое правило 20/80 («20% людей выпивают 80% пива»), применимое к самым разнообразнымаспектам человеческой деятельности.Уклоняясь ещё в сторону, хочется также отметить, что ввиду упомянутой связи распределений с тяжёлыми хвостами с распределением людей по доходам, именно медианное значение дохода (а не среднее) является адекватной характеристикой,отражающей благосостояние граждан (для нахождения медианного дохода нужно отсортировать список людей по доходам и взять доход в середине списка).

Величинаже среднего дохода зачастую оказывается сильно преувеличенной из-за наличия даженебольшого количества сверхбогатых людей, так что число людей, зарабатывающих«больше среднего», может оказаться весьма мало.Для получения количественных характеристик рассмотрим квадратсмещения частицы за время (то есть за = / шагов) при одномерномслучайном блуждании. Как обычно, мы можем записать∆2 =∑︁2 + 2∑︁> ≃∑︁2 ,(7.3)∑︀где — смещение на -м шаге, а сумма > в среднем мала ввидутого, что положительные и отрицательные значения равновероятны, апоследовательные шаги независимы.

Заметим, однако, что теперь непосредственное усреднение по большому числу частиц или траекторий не83работает, поскольку средний квадрат смещения отдельного шага не существует, 2 = ∞.Чтобы избавиться от расходимости, «инвертируем» задачу: оценим попорядку величины среднее время , необходимое для того, чтобы квадратсмещения достиг некоторого значения 2 ( ≫ 1). Задача сводится к¯ слагаемых суммы (7.3), необходимых длянахождению среднего числа того, чтобы она достигла величины∑︁2 = 2 .=1В такой постановке проблема расходимости из-за ненулевой вероятности слишком длинных прыжков не возникает.

Действительно, вероятность преодолеть расстояние сразу за один прыжок ( = 1) равна∞R (ℓ) ℓ = − и стремится к нулю при → ∞, поэтому такие события¯ . Таким образом, для оценки можно расдают малый вклад в искомое смотреть только прыжки, не превышающие . Среднее значение квадрататаких прыжков равноZ⟨︀2⟩︀<ℓ2 (ℓ) ℓ ==)︀ (︀ 2−− 1 −→2− ,2−(→∞) 2 − 1при 0 < < 2. Тогда искомое среднее число слагаемых есть¯ ∼2− 2= ,⟨2 ⟩<так что среднее время ожидания равно2− ¯ ∼ .(7.4)Из полученного выражения видно, что мы имеем дело с процессомслучайных блужданий, в котором характерное смещение (точнее, его медианное значение, см.

замечание выше) частиц асимптотически определяется законом ∝ 1/ ,0 < 6 2,(7.5)√что отличается от диффузионного ∝ . Зависимость (7.5) также характеризует и расплывание облака частиц (здесь ∝ 1/ задаёт медианный размер облака). Такие процессы называют супердиффузией. Стоитотметить, что мы не можем приписать супердиффузии какой-либо коэффициент диффузии , и, соответственно, движение облака таких частиц84также не будет описываться законом Фика или уравнением диффузии.Только при > 2 среднеквадратичное смещение конечно, и мы возвращаемся к классической диффузии.Пример.

Одним из приложений супердиффузионных случайных блужданий оказалось описание процессов миграции животных. До недавнего времени по умолчаниюсчиталось, что животные ведут себя подобно классическим броуновским частицам. Однако поиск пищи посреством равномерного «заметания» ареала обитания едва ли можно назвать рациональной стратегией выживания. Многочисленные данные последнихлет подтверждают, что большинство относительно «разумных» животных используютстратегию поиска, хорошо описываемую полетами Леви с характерной локализациейпоиска, чередуемой редкими длинными прыжками.Известно и множество других приложений, в частности диффузия в среде с развитой турбулентностью, распространение излучения в разреженной плазме, переноскосмических лучей и т.

д.§ 7.3. СубдиффузияРассмотрим теперь другой вариант нарушения классических диффузионных законов, при котором частицы в процессе случайных блужданий могут на длительное время застревать в «ловушках». Отклонение отдиффузионных законов будет наблюдаться, если вероятность застрять надостаточно долгое время не является исчезающе малой, так что среднеевремя застревания бесконечно.Пусть, как обычно, частица может совершать шаги по прямой на расстояние ∆ = ±1 через единичные интервалы времени ( = 1).

И пустьпри этом этом в каждой точке у частицы есть вероятность застрять нанекоторое время (то есть пропустить «ходов»). Для примера рассмотрим плотность вероятности застрять на время , аналогичную (7.2): ( ) =, +10 < < 1.Найдём средний квадрат смещения частицы за большое время ( ≫ 1). Это время можно разбить на интервалы , в течение которых∑︀частица была захвачена ловушкой, = , причём число слагаемых=1 в этом разбиении и будет суммарным числом шагов, совершенныхчастицей. Усредняя по большому числу частиц или траекторий, получимс виду обычный закон смещения:⟨︀ 2 ⟩︀¯,∆ = ¯ не пропорционально , в отличие от обычной диффузии.где, однако, ¯ случайных интервалов вреЗадача о нахождении среднего числа мени , необходимых для заполнения интервала , полностью аналогична задаче, рассмотренной в предыдущем разделе (с заменой ↔ 2 ,85 ↔ 2 ).

По аналогии находим¯ ∼R= ( ) 1−1− −→ . −+1 − 1 (→∞) 1Отсюда видно, что и здесь мы имеем дело с процессом случайных блужданий, в которых характерное смещение (а также и закон расплыванияоблака частиц) определяется соотношением ∝ /2 ,0 < < 1,(7.6)опять-таки отличающимся от диффузионного. Процесс перемешиваниячастиц, надолго застревающих в «ловушках», называют субдиффузией.Пример. В качестве физического примера можно рассмотреть диффузиюв пористой среде вблизи так называемого порога просачивания (или перколяции), когда имеется один основной канал, соединяющий начальную и конечную точки («хребет») с множеством длинных «тупиковых» ответвлений(так называемая «гребешковая структура», см. рис.

7.3). Пусть как на хребте,так и в ответвлениях имеет место классическая одномерная диффузияс одним и тем же коэффициентом. Ответвления играют роль ловушек,в которых частица «застревает» до тех пор, пока благодаря случайнымблужданиям не вернется в точку соединения с хребтом, где она можетпродолжить движение по основному пути.Подзадача о диффузии в отростке может быть сформулированаследующим образом: «пьяный матрос выходит из бара; найти вероятность того, что по прошествии времени он всё ещё не вернётся в бар».Пользуясь результатом задачи 52, нетрудно получить, что для бесконечных отростков асимптотически при → ∞ ответ на эту задачудаётся соотношениемРис.

7.3 ( ) ∝1, 3/2т. е. здесь = 1/2. Примечательно, что «пьяница» с единичной вероятностью (раноили поздно) вернётся в «бар» (т. е. на хребет), однако среднее время его блужданийбесконечно.Таким образом, закон случайных блужданий на такой разветвленной структуреесть⟨︀ 2 ⟩︀Δ ∝ 1/2 ,что также называют законом «двойной диффузии». Если средняя длина ответвленийравна ℓ1 , то рассмотренная модель работает на временах, меньших времени диффузиивдоль отростков, ≪ ℓ21 /, то есть пока частицы не «почувствуют» их границы. Набо́льших временах всё возвращается к классической диффузии.86ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1. ∼ 19 оборотов.2.

∼ 8 тыс. шагов.3. = 2. Результат не зависит от того, испускаются ли частицы перпендикулярнопроволоке, или каждый участок проволоки является точечным источником, излучающим частицы во всех направлениях.4. Источник испускает в секунду = () частиц, имеющих скорость [; + ],где () — распределение по скоростям. Их вклад в поток: = 42 , концентрацияэтих частиц: = /. Суммируя по всем скоростям, найдём⟨ ⟩Z1 = =,42 где для максвелловского распределения√︃∞⟨ ⟩ ∞√︂ZZ ()4421−2 /2= ===.Б Б ¯(2)3/205. | | =∞R√︁−∞6. | | = ¯/2R−/22Б 02− /2Б | | =cos =√︁2Б =1¯.22¯.7. = 3,7 · 1016 с−1 .√︁√︁Б Б 8.

+ = 1 ¯(2) = 2, где ¯(2) =— средняя скорость в двумерном2случае. Примечательно, что ответ для + , выраженный через , и , не зависит отразмерности задачи (что следует непосредственно из (1.13)).⟨︀⟩︀⟨2 ⟩+ = cos2 + ¯ = 13 ¯ = 13 ¯.9. = 210. выл = .11. ¯ = 0 + Б 0 +2Б 0 +Б {︃0 ,≃2Б ,0 ≫ Б ,0 ≪ Б .12.

Поскольку среднее сечение может зависеть только от массы (приведённой), средней относительной скорости и константы потенциала = / , ищем решение ввиде = const · . Исходя из того, что [] = −1 , [] = 2+ −2 и [] = 2 ,нетрудно получить = −2/, = −4/, = 2/, то есть)︂2/(︂. = const¯2√Так как ¯ ∝ , находим эфф ∝ −2/ . Твёрдым шарикам соответствует предел → ∞, = const.21113. Среднее расстояние оценим как ∼ 1/3, откуда ∼ ∼ 2 ≫ 1 (в идеальномгазе расстояния между молекулами должны быть много больше их размеров).8714. ¯ =15.⟨︀ 1 ⟩︀=1⟨︀ 1 ⟩︀, где⟨︀ 1 ⟩︀=√︁2Б (см.

зад. 4), откуда ¯ · =4 1 ≃1,27.√︀∞√Rℓ2 = ℓ2 −ℓ/ ℓ= 2.016.Для средних квадратов смещения ввиду изотропности пространстваℓ2 = ℓ2 + ℓ2 + ℓ2 = 3ℓ2 , откуда ℓ2 = 31 ℓ2 = 32 2 . Задача о нахождении |ℓ | полностью эквивалентна задаче о средней проекции скорости в заданном направлении,т.

е. |ℓ | = 12 по аналогии с (1.11). Эти соотношения справедливы для любогоизотропного распределения частиц по длинам пробега.17. Концентрация нейтронов ∼ 3 · 1024 см−3 , длина свободного пробега нейтрино в веществе земного ядра ∼ 3,3 · 1013 км, относительное ослабление потокаΔ/ ∼ 2 · 10−10 .18. Обратная длина свободного пробега 1/ = есть вероятность испытать столкновение в расчёте на единицу длины. Вероятность столкнуться на некотором участкес частицей хотя бы одного из сортов равна сумме соответствующих вероятностей, поэтому для длины пробега частицы «1» в двухкомпонентной смеси газов имеем111=+,1111221— длины пробега относительно столкно1 + 2 2 1221 11вений с частицами своего и противополжного сортов соответственно (согласно (1.22)и (1.23)). Таким образом:где 11 = √1√︂и 12 =1 = √21 11 +1√︁2 1 +2 2 12.Отметим, что эта величина не имеет отношения к коэффициенту диффузии в смеси,где необходимо учитывать только столкновения частиц разных сортов (см.