lek_ee_ruch_14 (Лекции (Ручьев М.К.))

Лекция №14 ([6] - стр. 20-30, [7] - стр. 13-26).Спектральный анализ периодического сигнала на основекомплексных рядов Фурье.Рассмотрим спектральный анализ периодического сигнала на основекомплексных рядов Фурье. Это позволит упростить процедуру вычисления спектрапериодического сигнала и, кроме того, перейти к спектральному анализунепериодических сигналов.Воспользуемся формулами Эйлера для перехода от тригонометрических рядовФурье к комплексным рядам.e jα + e − jαe jα − e − jα1) cos α =2) sin α =3) e jα = cos α + j sin α .22jТогда∞S (t ) = ∑ An cos(nω1t + ϕn ) =n =0∞∑n =−∞∞∞An jnω1t +ϕnAn jϕn jnω1t= ∑= ∑ cn e jnω1t , гдеee e2n =−∞ 2n =−∞⋅c0 = A0 - постоянная составляющая; с n =cn =An jϕne .2An; arg cn = ϕn (n>0); arg cn = −ϕ n (n<0);2T /21s (t )e − jnω1t dt .∫T −T / 2Итак, периодический сигнал S ( t ) можно представить в виде комплексного ряда Фурье⋅Коэффициенты с n ряда Фурье вычисляются по формуле cn =S( t ) =∞∑ c en = −∞njnω1t.Двусторонние спектры периодического сигнала.Двусторонним комплексным спектромпериодического сигнала называется зависимость⋅коэффициента с n от частоты.Двусторонним амплитудным спектромпериодического сигнала называется зависимость модуля⋅коэффициента с n от частоты.Двусторонним фазовым спектром периодического⋅четная (двустороннийамплитудный спектр) инечётная (двустороннийфазовый спектр) функциисигнала называется зависимость аргумента с n отчастоты.Для построения двустороннего амплитудногоспектра по одностороннему амплитудному спектру,достаточно уменьшить амплитуды одностороннегоспектра в 2 раза и отобразить их чётным образомотносительно оси ординат.Для построения двустороннего фазового спектра поодностороннему фазовому спектру, достаточноотобразить нечётным образом односторонний фазовыйспектр относительно начала координат.⋅На рисунке 14.1 изображен комплексный коэффициент с n , его модуль и аргумент.ImC nC nϕnReРис.14.1Пример:Рассчитать двусторонний амплитудный и фазовый спектры периодическойпоследовательности прямоугольных импульсов.Дано:⋅⋅Найти: с n , с n , ϕ n .τu1cn =T2∫τ−u2E2 e=Tnω1=Eτ иТE e − jnω`1tEe − jnω1t dt =T − jnω1jnω1τu2−e2j− jnω1τu2=τu2−τu=2ττ2Esin(nω1 u ) =Tnω12nω1 τ и2 = Eτ и sin c⎛⎜ nω1 τ иnω1 τ иТ⎝ 22⋅Eτ uс0 =Tsinτ− jnω1 ujnω1 uE2(e−e 2 ) =T (− jnω1 )sin x⎞.⎟ , где sin c( x ) =x⎠- постоянная составляющая сигнала.На рисунке 14.2.

изображены двухсторонние комплексный, амплитудный и фазовыйспектры периодической последовательности прямоугольных импульсов.Рис.14.2Изобразим два двусторонних комплексных спектра периодическойпоследовательности прямоугольных импульсов при различных периодах повторения:1) T1 = 3τ uC −1E C03C 1C 22πC − nω 1 2ω 1τиC nω1 =2πT24πτиω2) T2 = 2τ 1 = 6τ uC nC − 1C − nE6C 0C 1C 22πω 1 2ωτи1C n4πτиωИсследование влияния периода повторения импульсов на коэффициенты cn .Рассмотрим 2 случая:S1 (t )S 2 (t )E1 = EE2 = Eτ и1 = τ иτи 2 = τиТ1 = 3τиТ 2 = 6τиЕ1τи1 Е=Т132π 2πω1 ==Т1 3τиЕ2 τи 2 Е=Т262ππω1 ==Т 2 3τис0 =с0 =Из таблицы следует, что с увеличением периода повторения сигналапропорционально уменьшается амплитуда cn .

Количество гармоник в центральномлепестке увеличивается пропорционально увеличению периода. Частота первойгармоники уменьшается во столько же раз, во сколько увеличивается период. Расстояниемежду двумя соседними гармониками уменьшается во столько же раз, во сколькоувеличивается период.При стремлении периода к бесконечности, спектр выродится в ось абсцисс,следовательно, ряды Фурье нельзя использовать для анализа непериодических сигналов.Если амплитуду каждой спектральной линии умножить на период, то полученнаяхарактеристика не зависит от периода и может служить для описания свойствнепериодических сигналов. Назовём эту характеристику спектральной плотностью.cc 2π ⎡ В ⎤Спектральная плотность: s(ω ) = Lim cnT = Lim n 2π = Lim n⎢ Гц ⎥ = [В ⋅ с ] , гдеω1 → 0 ωΔω → 0 ΔωT →∞⎣ ⎦12πT=, ω1 = Δω - расстояние между двумя соседними гармоникамиω1Спектральная плотность определяется отношением амплитуды гармоники к полосечастот Δω , содержащей только эту гармонику.При стремлении периода к бесконечности амплитуда гармоник и полоса частот Δωстремятся к нулю, а их отношение остается постоянным.

Это отношение и называетсяспектральной плотностью.Для получения формулы, позволяющей определить спектральную плотность,воспользуемся рядом Фурье S (t ) =∞∑ C en =−∞njnω1tи найдем предел этого ряда при стремлениипериода Т к бесконечности, то есть при стремлении Δω к нулю. Тогда получимΔω → 0nω1 → ωS( nω ) → S( ω )⎫⎪⎪⎪1∞⎪1 jωtΔω → dω⎬ → S( t ) =∫−∞S ( ω )e dω - это обратное преобразование Фурье.2π1⎪C n → S( ω )dω ⎪2π ⎪⎪∑→ ∫⎭Если вспомнить, что ω = 2πf , то обратное преобразование Фурье примет вид∞ω = 2πf => S ( t ) =∫ S( 2πf )ejωftdf .−∞Существует и прямое преобразование Фурье:S( ω ) =∞∞−∞−∞− jωt∫ S( t )e dt или учитывая, что ω = 2πf , имеем S( 2πf ) =∫ S( t )e− j 2 πftdt .Модуль спектральной плотности называется спектральной плотностью амплитуд, ааргумент фазовым спектром непериодического сигнала.Контрольные вопросы к лекции №141.

Для чего изучается спектральный анализ периодического сигнала на основекомплексных рядов Фурье?2. Дайте определение двустороннему комплексному спектру сигнала.3. Дайте определение двустороннему амплитудному спектру сигнала.4. Дайте определение двустороннему фазовому спектру сигнала5. Как построить двусторонний амплитудный спектр по одностороннему спектру?6. Как построить двусторонний фазовый спектр по одностороннему спектру?7. Как влияет период повторения сигнала на двусторонний комплексный спектр?8. Дайте определение спектральной плотности сигнала.9. Дайте определение спектральной плотности амплитуд.10.

Дайте определение фазовому спектру непериодического сигнала.1.2.3.4.Типовые задачи к экзаменуКакие из перечисленных частот: 2 кГц, 4 кГц, 5 кГц, 8 кГц, 25 кГц, 28 кГцотсутствуют в спектре периодической последовательности прямоугольныхимпульсов с периодом повторения Т=1 ms и длительностью τ=0,2 ms?Определите односторонний амплитудный спектр периодическойпоследовательности прямоугольных импульсов с амплитудой Е=4в, длительностьюτи=100 мкс и периодом Т=400 мкс. Изобразите сигнал после исключения из спектрапостоянной составляющей.Определите двухсторонний амплитудный спектр периодическойпоследовательности прямоугольных импульсов с амплитудой Е=5в, длительностьюτи=100 мкс и периодом Т=500 мкс. Изобразите сигнал после увеличенияпостоянной составляющей его спектра в два раза.Определите односторонний и двухсторонний амплитудный и фазовый спектрысигнала s(t)=2Cos(2π.103t-0,5π)+4Cos (4π.103t+0,5π). Запишите аналитическоевыражение нового сигнала, после увеличения амплитуды первой гармоники иуменьшения частоты второй гармоники исходного сигнала s(t) в два раза..