lek_ee_ruch_07 (Лекции (Ручьев М.К.))

ЛЕКЦИЯ № 7.Резонансные цепи. ([2], стр. 19-29)1. Последовательный колебательный контур.Рис. 7.1Определим КЧХ, АЧХ, ФЧХ последовательного колебательного контура, схема которого приведена нарисунке 7.1.Z вых e jϕвыхU вых IZ вых Z выхZ вых j ( ϕвых −ϕвх )К ( jω ) =====eU вхIZ вхZ вхZ вхZ вх e jϕвхАЧХ = К ( jω ) =Z вх = R + jωL +Z выхZ вхФЧХ = argК ( jω ) = ϕ вых − ϕ вх1= R+jω C2Z вх⎛ ω 2 LC − 1 ⎞⎟⎟j ⎜⎜ωC⎠⎝⎛ ω 2 LC − 1 ⎞1⎟⎟ == R + ⎜⎜ωC⎝ ωC ⎠2ϕ вх = arctgωр =(ωCR )2 + (ω 2 LC − 1)2ω 2 LC − 1ωCR1- резонансная частота – частота, на которой входное сопротивление Z вх = R , т.е.

на этойLCчастоте индуктивное и емкостное сопротивления равны по модулю и противоположны по знаку, и,следовательно, компенсируют друг друга. Кроме того, напряжения, выделяемые на индукции и емкости, также равны друг другу по модулю и противоположны по знаку. Говорят, что в этом случае в контурепроисходит резонанс напряжений, то есть суммарное падение напряжения на индуктивности и емкостиравно нулю.2. Частотные характеристики последовательного колебательного контураРассмотрим различные варианты последовательного колебательного контура.2.1.

Контур с емкостной нагрузкой (рис.7.2)j ωLR1jωCe(t )U выхРис.7.2Найдем АЧХ и ФЧХ контура с емкостной нагрузкой (см. рис.7.2). Для этого определим модуль иаргумент емкостного сопротивления.Z вых =1j;=−jω CωСπ1Z вых =; ϕ вых = − . Тогда2ωС⋅Z выхАЧХ =⋅Z вх=1ФЧХ = ϕвых − ϕвх = −(ωRC )2 + (ω2 LC − 1)2πω2 LC − 1− arctgωCR2Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 7.3.L1С ρ== =QАЧХ ( ω р ) =RRω р RСQ − Добротность контураρ - Характеристическое сопротивле ние контура⎧Q2 < Q1R2 > R1 => ⎨⎩2Δω2 > 2Δω1Рис.7.3.АЧХ имеет max на резонансной частоте, т.к.

входное сопротивление минимально и равно R.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к бесконечности. С увеличением частотыотносительно резонансной АЧХ стремится к нулю, это объясняется тем, что емкость (конденсатор)закорачивает выходные клеммы с ростом частоты, поскольку емкостное сопротивление с ростомчастоты уменьшается.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к нулю.

При стремлении частоты к нулю значениеАЧХ стремится к единице. Это можно объяснить так:- сопротивление конденсатора при стремлении частоты к нулю стремится к бесконечности,- тогда ток по цепи не течет,- падение напряжения на элементах R и L равно нулю,- следовательно, напряжения на входе и выходе одинаковы и их отношение равно единице.Полосой пропускания линейной цепи называется диапазон частот, в котором АЧХ уменьшается неболее, чем в 2 раза от своего максимального значения.При увеличении R расширяется полоса пропускания последовательного колебательного контура.

Привысокой добротности полоса пропускания колебательного контура узкая, она пропускает частотывблизи ω р и контур называется полосно-пропускающим фильтром. С уменьшением добротностиполоса пропускания контура расширяется при добротности близкой к 1, контур станет фильтром низкихчастот. Изменяя индуктивность или емкость можем изменить резонансную частоту и сместить maxАЧХ вправо ( L или C ↑ ) или влево ( L или C ↓ ) и изменим диапазон частот, которые пропускаетфильтр.2.2.

Контур с резистивной нагрузкой (рис.7.4)j ωL1jωCe(t )U выхRРис.7.4.Найдем АЧХ и ФЧХ контура с резистивной нагрузкой (см. рис.7.4). Для этого определим модуль иаргумент резистивного сопротивления.Z вых = R ,АЧХ =Z вых = R ,Z вых=ZвхАЧХ ( ω р ) =ϕ вых = 0 . ТогдаR1ωС()R 2 ω2 C 2 + ω2 LC − 1R ω рС()R 2 ω2р C 2 + ω2р LC − 1ФЧХ = ϕ вых − ϕ вх = 0 − arctg2=2=R ωС(R ω рС( Rω р C )2=R ω рСRω р Cω2 LC − 1ω2 LC − 1= −arctgωCRωCRГрафики АЧХ и ФЧХ приведены на рисунке 7.5.)R 2 ω2 C 2 + ω2 LC − 1=121ωωрπ2ωр−ωπ2Рис.7.5АЧХ имеет максимум на резонансной частоте, т.к. входное сопротивление минимально и равно R .При этом ток, протекающий по цепи, максимален и выходное напряжение также максимально.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к бесконечности. С увеличением частотыотносительно резонансной АЧХ стремится к нулю, т.к. индуктивное сопротивление с ростом частотыстремится к бесконечности, ток через цепь стремится к нулю и напряжение на резистивной нагрузке (навыходе) также стремится к нулю.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к нулю.

С уменьшением частоты относительнорезонансной АЧХ стремится к нулю, т.к. емкостное сопротивление с ростом частоты стремится кбесконечности, ток через цепь опять стремится к нулю и напряжение на резистивной нагрузке (на выходе)также стремится к нулю.2.3. Контур с индуктивной нагрузкой (рис. 7.6)R1j ωCjωLU выхРис.7.6.Найдем АЧХ и ФЧХ контура с индуктивной нагрузкой (см. рис.7.6). Для этого определим модуль иаргумент индуктивного сопротивления.Z вых = jωL ,ТогдаZ вых = ωL ,ϕвых =π2Z выхАЧХ ==ZвхωL ωС( RωC )2 + (ω2 LC − 1)2πω2 LC − 1− arctg2ωCRω2р LС1ρАЧХ ( ω р ) === =Q2Rω р С R( Rω р C )ФЧХ = ϕвых − ϕвх =Графики АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура с индуктивной нагрузкой приведенына рисунке 7.7.АЧХQ1ФЧХωрωππ2ωрωРис.7.7.АЧХ имеет максимум на резонансной частоте, т.к.

входное сопротивление минимально и равно R .При этом ток, протекающий по цепи, максимален и выходное напряжение также максимально.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к нулю. С уменьшением частоты относительнорезонансной АЧХ стремится к нулю, это объясняется тем, что катушка индуктивности закорачиваетвыходные клеммы с уменьшением частоты, поскольку индуктивное сопротивление с уменьшением частотыуменьшается.Обсудим изменение АЧХ при стремлении частоты к бесконечности.

При стремлении частоты кбесконечности значение АЧХ стремится к единице. Это можно объяснить так:- сопротивление индуктивности при стремлении частоты к бесконечности стремится к бесконечности,- тогда ток по цепи не течет,- падение напряжения на элементах R и С равно нулю,- следовательно, напряжения на входе и выходе одинаковы и их отношение равно единице.3. Параллельный колебательный контур (рис.7.8).Рис. 7.8На рисунке 7.8 изображена схема параллельного колебательного контура. Найдем КЧХ, АЧХ и ФЧХ этойцепи. В параллельном колебательном контуре КЧХ определяется как отношение комплексной амплитудыгармонического напряжения на контуре к комплексной амплитуде гармонического тока, протекающегочерез контур в зависимости от частоты гармоники.

ТогдаK ( jω ) =U ВЫХ1= Z =IYIU ВЫХ = K ( jω )I = IZ =Y1Где Y =+ jωC +R1jω L=11 ⎞⎛+ j ⎜ ωC −⎟ωL ⎠R⎝Преобразуем проводимость контура.⎛⎛L ⎞ ⎞⎟⎜⎟⎜LR ⎜1111 ⎞ 1⎛1 ⎞⎞ 1 ⎜⎛⎛C ⎟⎟ωC== + j ⎜ ωC −1+ jY = + jω C +−⎟ = ⎜1 + jR⎜ ωC −⎟⎟ =⎜ωL ⎠ R ⎜⎝ωL ⎠ ⎟⎠ R ⎜C ωL ⎟ ⎟Rjω L RL⎝⎝⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜C ⎝⎠⎠⎝⎛ (ω − ω p )(ω + ω p ) ⎞ ⎞⎛ ω ω P ⎞ ⎞ 1 ⎛⎜⎛1⎛1 ⎞ ⎞ 1 ⎛⎜⎜⎟⎟⎟⎟ ⎟ == ⎜⎜1 + jQ⎜⎜ ω LC −⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜1 + jQ⎜⎜−+1jQ⎟ R⎜⎜⎟⎟R⎝ωωωωω LC ⎠ ⎠ R ⎝⎝p⎝ P⎠⎠⎝⎠⎠⎝⎡⎢⎢Q = R ; L = ρ ;ω P =C⎢L⎢C⎣ωP⎤1 ⎥⎥LC ⎥⎥⎦- резонансная частота;ρ – характеристическое сопротивление контура;Q – добротность;Δω = ω − ω Р - абсолютная расстройка;11Y =При ωC =индуктивная и емкостная проводимость компенсируют друг друга и в контуреωLRнаступает резонанс токов. При этом токи, протекающие через L и C, компенсируют друг друга, так какравны по модулю и противоположны по знаку.

Сам контур при этом обладает минимальной проводимостьюи максимальным сопротивлением.При малых расстройках Δω⎛ Δω ⋅ 2ω p1⎛Y ≈ ⎜1 + jQ⎜⎜ ω2R ⎜⎝p⎝ω ≈ ωp.Тогда:⎞⎞ 1 ⎛⎞⎟ ⎟ = ⎜1 + jQ 2Δω ⎟⎟⎟ R ⎜ω p ⎟⎠⎝⎠⎠K ( jω ) =R1=Y 1 + jQ 2ΔωωPАЧХ = K ( jω ) =R⎛ 2Δω ⎞⎟⎟1 + ⎜⎜ QωP ⎠⎝2⎛ФЧХ = arg K ( jω ) = 0 − arctg ⎜⎜ 2Q⎝Δω ⎞⎟ω P ⎟⎠Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис.7.9 и 7.10.Рис. 7.9ФЧХπ2Δω гр0−−πΔω4π2Рис. 7.10Q2Δω ГРωРΔω ГР =♦=1ωР2Q; Δω ГР =12 RCНа резонансной частоте АЧХ имеет max R, т.к. этой частоте происходит резонанс токов, когдаиндуктивная и емкостная проводимости компенсируют друг друга, поскольку равны по модулю ипротивоположны по знаку. Следовательно, сопротивление нагрузки на резонансной частоте становитсямаксимальным и равным R.♦C увеличением расстройки Δω , то есть приω >ωрАЧХ падает, потому что с ростом частотыуменьшается емкостное сопротивление, которое закорачивает выходные клеммы. С уменьшениемчастоты ω относительно ω P , то есть при отрицательных расстройках, АЧХ также уменьшается, потомучто с уменьшением частоты уменьшается индуктивное сопротивление, которое закорачивает выходныеклеммы.Рабочий диапазон частоты: − Δω ГР ; Δω ГР называется полосой пропускания.[9]Для изменения ω P можно изменять индуктивность и емкость, но емкость удобнее (пластинки вращатьудобнее, чем изменять число витков).

Для увеличения полосы пропускания надо уменьшить R.Контрольные вопросы к лекции №71.2.3.Что называется резонансом напряжений и когда он возникает?Почему АЧХ последовательного колебательного контура имеет максимум на резонансной частоте?Почему АЧХ последовательного колебательного контура с емкостной нагрузкой стремится к нулю пристремлении частоты к бесконечности?4. Почему АЧХ последовательного колебательного контура с емкостной нагрузкой стремится к единицепри стремлении частоты к нулю?5. Почему АЧХ последовательного колебательного контура с индуктивной нагрузкой стремится к единицепри стремлении частоты к бесконечности?6. Почему АЧХ последовательного колебательного контура с индуктивной нагрузкой стремится к нулюпри стремлении частоты к нулю?7. Что нужно изменить в последовательном колебательном контуре для увеличения его добротности?8.