lek_ee_ruch_06 (Лекции (Ручьев М.К.))

ЛЕКЦИЯ № 6.Методы анализа сложных линейных цепей.Существуют универсальные методы, позволяющие автоматически описывать связь междутоком и напряжением на различных участках цепи.Эти методы позволяют сократить число уравнений, связывающих между собой токи инапряжения, и используются для определения I и U на резистивных и комплексныхсопротивлениях.Существует 3 основных метода:1. Метод узловых потенциалов2.

Метод контурных токов3. Метод переменных состоянийЭти методы различаются выбором неизвестных при составлении уравнений (Литература [1])1.Метод узловых потенциалов (напряжений). Лит.[1] c.37-419Применяется для анализа линейных цепей, в которых действуют либо постоянные токи инапряжения, либо гармонические. При этом используются законы Ома и Кирхгофа.⋅Рассмотрим фрагмент схемы, содержащей источники тока и ЭДС, где Y - комплексныепроводимости.Заменим источник ЭДС на эквивалентный источник тока.I1 = E 1 ⋅ Y1kИспользуя закон Кирхгофа для узла, составим систему уравнений⎧− i1 + i2 + i3 = 0⎪ ⎪i1 = I 1 + (U 1 − U K )Y1K⎨⎪i2 = U K ⋅ YK ⊥⎪i = I + (U − U )YK222K⎩3Подставив второе, третье и четвертое уравнения системы в первое уравнение, получим− I1 − (U 1 − U K )Y1 K + U K YK⊥ + I2 + (U K − U 2 )Y2 K = 0− U 1Y1K + U K Y1 K + U K YK 1 + U K Y2 K − U 2 Y2 K = I1 − I2− U Y + U ( Y + Y + Y ) − U Y = I − I1 1KK1KK12K− U 1Y1K + U K YKK − U 2 Y2 K = IГде22K12(K)Ykk = Y1K + YK ⊥ + Y2 Kk.Y1K.YK.Y2KYKK - узловая проводимость k – того узла, IK = I 1 − I 2 - ток К-го узла.

Узловые проводимостиY определяются следующим образом: заземляются противоположные концы ветвей,KKподходящих к данному узлу (см. рис.) и определяется суммарная проводимость поученнойцепи. При этом источники токов разрываются.представляет собой типичное уравнениеУравнение − U 1Y1 K + U K YKK − U 2 Y2 K = Iдля k – го узла в методе узловых напряжений. Под узлом здесь понимают узел, в которомсходится не менее трех ветвей.Заметим, что в левую часть уравнения со знаком “+” входит слагаемое для потенциалаK-го узла, а со знаком “-“ все остальные слагаемые. Если в схеме всего n – узлов, то получим9(K )систему из n – уравнений, с n – неизвестными, которыми будут узловые напряженияПриведем пример системы из 4 – х уравнений:U K .⎧U 1Y11 − U 2Y12 − U 3Y13 − U 4Y14 = I (1)⎪ (2 )⎪− U 1Y21 + U 2Y22 − U 3Y23 − U 4Y24 = I(6.1)⎨⎪#⎪− U Y − U Y − U Y − U Y = I (4 )2 423 434 44⎩ 1 41или в матричной форме:(1)⎛ Y11 ...

− Y14 ⎞⎛⎜U 1 ⎞⎟ ⎛⎜ I ⎞⎟⎜⎟( 2)⎜ − Y21 ... − Y24 ⎟⎜U 2 ⎟ ⎜ I ⎟=⎜#⎟⎜# ⎟ ⎜# ⎟ (6.2)⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ − Y ... Y ⎟⎜ ⎟ ⎜ ( 4 ) ⎟44 ⎠⎝ U 4 ⎠⎝ 41⎝I ⎠9Метод узловых потенциалов (напряжений) позволяет определить по заданной схеменапряжение (разность потенциалов) узлов схемы относительно базового узла, которыйобычно заземлен (т.е.

его потенциал равен нулю).Для определения узловых потенциалов следует:1) Выбрать базовый узел и заземлить его.а) Если требуется найти токи и напряжения на всех элементах схемы, то за базовый узелудобно выбрать узел, в котором сходится наибольшее число ветвей.б) Если требуется найти напряжение на одном двухполюснике, то за базовый узел удобновыбрать один из полюсов этого двухполюсника.2) Заменить источники напряжения в заданной схеме на эквивалентные источники тока и,записав токи, подтекающие к узлу со знаком “+” и оттекающие со знаком “ -”, найти узловыетоки.3) Найти межузловые проводимости ветвей, соединяющих незаземленные узлы.Ymp = Ypm , p ≠ m , если узлы m и p не имеют ветвей между собой, то Ymp = 04) Найти узловые проводимости Y , заземлив противоположные концы ветвей, подходящих кKKданному узлу.

При этом источники токов разрываются.5) Записать систему уравнений в форме (6.1) или (6.2).Пример:Для заданной схемы составить систему уравнений, используя метод узловых напряжений.R2123R3R5E1I2R6R4R11) В качестве базового выберем узел, в котором сходятсяR1 ; R4 ; R6 и I 2 и заземлим его.2) Заменим источник ЭДС на эквивалентный источник тока и сопротивления на проводимости.Y2123Y3Y5I2I1Y6Y4Y1I 1 = E1Y1YK =3) Найдем межузловые проводимости Ymp1RKY12 = Y3 =11; Y21 = Y12 ; Y13 = Y2 =; Y31 = Y13R3R21; Y32 = Y23R54) Найдем узловые проводимости YKKY23 = Y5 =1Y1Y32Y2Y3Y43Y5Y11 = Y1 + Y2 + Y3 =111++R1 R2 R3Y22 = Y3 + Y4 + Y5 =111++R3 R4 R5Y33 = Y2 + Y5 + Y6 =111++R2 R5 R6Y2Y5Y65) Составим систему из трех уравнений:⎧U 1Y11 − U 2Y12 − U 3Y13 = I 1⎪⎨− U 1Y21 + U 2Y22 − U 3Y23 = 0⎪− U Y − U Y + U Y = − I2 323 332⎩ 1 31Если бы R1 = 0 , то есть вместо него была перемычка, то узел (1) из системы уравнений выпалбы, т.к.

U 1 = E1 . Тогда система состояла бы из двух уравнений.Пример на самостоятельную проработку:Используя метод узловых потенциалов, составьте систему уравнений для заданной схемы.Контрольные вопросы к лекции №61.2.3.4.5.6.Перечислите основные методы анализа линейных цепей.Сформулируйте суть метода узловых потенциалов.Из каких соображений выбирается базовый узел в методе узловых потенциалов?В каком случае межузловая проводимость равна нулю?Как определяется узловая проводимость?Как определяется узловой ток?7.8.9.Запишите типичное уравнения для к-го узла в методе узловых потенциалов.От чего зависит количество уравнений, входящих в систему, из которой определяютсяузловые потенциалы?Какой узел вы выбрали бы в качестве базового, в схеме примера, заданного длясамостоятельной проработки, если бы нужно было найти напряжение на катушке L1?Типовые задачи к экзамену1.

Используя метод узловых напряжений, определите напряжение, на элементе R2 всхеме, изображенной на рисунке, если e1(t)=E, E=3B; i2(t)=I, I=2mA;R3R1i2(t)=Ie1(t)=ER7R4R2R5R6R1=R2=R3=R4=R5=R6=R7=1кОм.2. Используя метод узловых напряжений, определите напряжение, на элементе Z2 всхеме,Z3Z1i2(t)e1(t)Z2R4R5изображенной на рисунке, если e1(t)=Eсos(ω0t),E=1B, i2(t)= Icosω0t, I=2mA; ω0=2π.104Z1=Z3=R=1кОм, Z2=1/(jω0C),C=10-7/(2π)Ф, Z4=Z5=2R=2кОм..