lek_ee_ruch_04 (Лекции (Ручьев М.К.))

ЛЕКЦИЯ № 4.([2] стр. 3-19)Метод комплексных амплитуд.1.Комплексные числа.Комплексное число Z = x + jy (см. рис. 4.1) графически отображается на комплексной плоскости вРис. 4.1виде вектора, где Re( Z ) = x ,Im( Z ) = y .Формула Z = x + jy (4.1) называется алгебраической формой комплексного числа. Введем еще двапараметра комплексного числаZ = x 2 + y 2 - модуль, длина вектора.•arg Z = ϕ = arctgyx-аргумент,уголмеждуположительнымдействительной осивектороминаправлениемx = Z cos ϕy = Z sin ϕZ = Z (cos ϕ + j sin ϕ ) = Z e jϕ (4.2)Формула (4.1) удобна при сложении и вычитании комплексных чисел, а формула (4.2) - приумножении и делении.ƒСложение и вычитание комплексных чисел:••⎧•ZZZ=±21⎪⎪•⎨Z 1 = x1 + iy1 ⇒ Z = Z1 ± Z 2 = ( x1 ± x 2 ) + j ( y1 ± y 2 )⎪•⎪Z 2 = x 2 + iy 2⎩ƒУмножение комплексных чисел:⎧• • •⎪Z = Z ⋅ Z 21⎪••⎪jϕjϕjϕj ( ϕ +ϕ )jϕ⎨Z 1 = Z 1 e 1 ⇒ Z = Z 1 ⋅ Z 2 = Z 1 e 1 Z 2 e 2 = Z 1 Z 2 e 1 2 = Z e ,⎪•⎪•jϕ⎪Z 2 = Z 2 e 2⎩где где Z = Z 1 Z 2 , ϕ = ϕ 1 + ϕ 2ƒДеление комплексных чисел:•⎧•Z⎪Z = 1•⎪••Z2jϕ 1•⎪ZZ1 e1•Z1⎪•jϕ 1⇒Z= • = •= • e j (ϕ1 − ϕ 2 ) = Z e jϕ ,⎨Z 1 = Z 1 ejϕ⎪Z2Z2 eZ2•⎪•jϕ 2⎪Z 2 = Z 2 e⎪⎩Z1Z =гдеZ 2 .ϕ = ϕ1 − ϕ 22.

Комплексный сигнал. Комплексная амплитуда.99Рис. 4.2Реальный гармонический сигнал (рис. 4.2): S (t ) = A cos(ωt + ϕ )Комплексный гармонический сигнал можно изобразить в виде подвижного вектора накомплексной плоскости (рис 4.3):S (t ) = A cos(ωt + ϕ ) + jA sin (ωt + ϕ ) = Ae j (ωt +ϕ ) = Ae jϕ e jωt = A e jωtТогда S (t ) = Re S (t )A = Ae jϕ - комплексная амплитуда гармонического сигнала.{ }♦Комплексная амплитуда – число, включающее в себя информацию об амплитуде А иначальной фазе ϕ гармонического сигнала.Рис.4.3.(Re – реальная часть. Im – мнимая часть, ωt - угол поворота, А – длинна вектора, ϕ − начальнаяфаза - угол, определяющий положение вектора при t=0)3. Комплексное сопротивление и проводимость.Вспомним связь между током и напряжением на элементах L, R и C.diL (t );dtdU C (t )iC (t ) = C;dtU R (t ) = Ri(t );U L (t ) = L9Введем комплексные токи и напряжения.U (t ) = U e ω t- комплексное напряжение.I(t ) = Ie jωt - комплексный ток.U L (t ) = U L e jωt ⎫⎪⎬ - комплексный ток и напряжение на индуктивности.IL (t ) = IL e jωt ⎪⎭U L (t ) = IL jωLe jωtUU L e jωt = IL jωLe jωt ⇒ Z L = L = jωLILZ L = jωL -комплексное индуктивное сопротивление.

Индуктивное сопротивление9пропорционально частоте гармонического сигнала.U C (t ) = U C e jωt ⎫⎪⎬ - комплексное напряжение и ток на емкости.IC (t ) = IC (t )e jωt ⎪⎭IC (t ) = CU C jωe jωtU1IC e jωt = CU C jωe jωt ⇒ Z C = C =jω cIC1- комплексное емкостное сопротивление. Емкостное сопротивление обратно9 Z C =jω cƒпропорционально частоте гармонического сигнала.Комплексное резистивное сопротивление:R=ƒU RIRКомплексные проводимости:1Y =Z1YL =jωLYC =1jωC1YR = G =RПосле введения комплексного гармонического сигнала комплексной амплитуды, сопротивления ипроводимости можно распространить законы Ома и Кирхгофа с резистивных на индуктивные иемкостные цепи.

При этом предполагается, что в цепях действуют гармонические сигналы.Метод анализа линейных цепей, основанный на использовании комплексных амплитуд токов инапряжений, комплексных проводимостей и сопротивлений называют методом комплексныхамплитуд.Пример 1:Определить комплексное сопротивление RC – цепи.1jωCR + 1=Z = R +- комплексное сопротивление.jωCjωC1 + (ωCR )Z =ωC2ϕ Z = arctgωCR −π21 + (ωCR ) jarctgωCR − π2jϕ zZ = Ze =eωC2Пример 2:Определить ток, протекающий через цепь, если входное напряжение: U ВХ (t ) = U cos (ωt + ϕ )I (t ) = ?Uвх (t)1) Перейдем от реального напряжения к комплексному и выделим комплексную амплитудунапряжения.U ВХ (t ) ⇒ U ВХ (t ) = Ue j (ωt +ϕ ) ;U = Ue jϕ2) Найдем комплексную амплитуду тока, используем закон Ома для комплексных амплитуд.UUe jϕU j (ϕ −ϕ Z )I = ==eZZ e jU ZZ3) Запишем комплексный ток I(t )I(t ) = Ie jωt = Ie jϕ I e jωt ,UI = ;ϕ I = ϕ − ϕ ZZ4) Возьмем действительную часть комплексного тока и найдем реальный ток, протекающий в цепи.{ }{}I (t ) = Re I(t ) = Re Ie j (ϕ I +ωt ) = I cos(ωt + ϕ I );I=U;ϕ I = ϕ − ϕ ZZ1 + (ωCR )π; ϕ Z = arctgωCR −Z =ωC22где (см.

пр. 1)4. Комплексная частотная характеристика (КЧХ). Амплитудно – частотная характеристика (АЧХ).Фазо – частотная характеристика (ФЧХ) линейной цепи.♦ КЧХ – зависимость отношения комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходецепи к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе цепи от частоты этихсигналов.9Это отношение может быть безразмерным и иметь размерность тока и напряжения.Чаще всего под комплексными амплитудами входного и выходного сигналовпонимаются комплексные амплитуды напряжения, в этом случае КЧХ безразмерно.♦АЧХ – (с математической точки зрения) – это модуль КЧХ, а (с физической точки зрения) –это отношение амплитуды реального гармонического сигнала на выходе к амплитудереального гармонического сигнала на входе, в зависимости от частоты этого сигнала.♦ФЧХ – (с математической точки зрения) – это аргумент КЧХ, а (с физической точки зрения)– это разность начальных фаз между начальной фазой гармонического сигнала на выходе иначальной фазой гармонического сигнала на входе цепи, в зависимости от частоты этогосигнала.SK ( jω ) = ВЫХS ВХSАЧХ = K ( jω ) = ВЫХS ВХФЧХ = arg K ( jω ) = ϕВЫХПример:Определить АЧХ и ФЧХ для RC – цепочки.Исходные данные:U ВХ (t ) = U ВХ cos(ωt + ϕ ВХ ) , R, C.АЧХ, ФЧХ - ?jϕ1) U ВХ = U ВХ e ВХU ВХjωCU ВХ=11 + jωCRR+jωCjωCU ВХ 1U ВХ3) U ВЫХ = IZ C ==1 + jωCR jωC 1 + jωCRU11=;τ 0 = RC4) K ( jω ) = ВЫХ =1 + jωCR 1 + jωτU2) I =ВХ0− ϕ ВХ5) АЧХ = K ( jω ) =6)11 + (ωτ 0 )2ФЧХ = arctgK ( jω ) = 0 − arctgωτ 0ωCR = −arctgwτ 0 ;τ 0 = RCПостроим график1АЧХω грωФЧХπ4ωπ2Приω = ω гр =1πзначение АЧХ равно 1, а значение ФЧХ − .2CR4Контрольные вопросы к лекции №41.2.3.В чем геометрический смысл модуля комплексного числа?В чем геометрический смысл аргумента комплексного числа?Приведите две формы записи комплексного числа.

Когда удобно использовать каждую из этихформ?4. Назовите параметры гармонического сигнала. Как они влияют на его форму?5. Дайте определение комплексному гармоническому сигналу и его комплексной амплитуде.6. Как влияют параметры комплексного гармонического сигнала на его геометрический образ?7. Как зависят от частоты емкостное и индуктивное сопротивления ?8. В чем суть метода комплексных амплитуд? Приведите примеры его использования.9. Дайте определение комплексно-частотной характеристике линейной цепи. Приведите пример еерасчета.10. Дайте определение амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) линейной цепи.

Какэкспериментально определить эту характеристику?11. Дайте определение фазо-частотной характеристике (ФЧХ) линейной цепи. Какэкспериментально определить эту характеристику?Типовые задачи к экзамену1.2.3.4.Рассчитайте АЧХ и ФЧХ CR-цепи.Рассчитайте АЧХ и ФЧХ RL-цепи.Рассчитайте АЧХ и ФЧХ LR-цепи.Ко входу СR цепочки подключен источник ЭДС е(t)= 2cos(2 π m103t).1[мкф].Определите напряжение uR(t) на резисторе, если R=2 [ком], С =8π5. Для заданной схемы, используя метод комплексных амплитуд,Z3Z1i2(t)e1(t)Z2Z4Z5определите напряжение на элементе Z2, если е1(t)=Eсos(ω0t),E=1B,ω0=2π.104; i2(t)=0;Z1=Z3=R=1кОм; Z2=1/(jω0C),C=10-7/(2π)Ф; Z4=Z5=2R=2кОм..