Глава 5 - Дифрация рентгеновских лучей (Учебник), страница 7

Поскольку й=2, /г=/= =О, то 1/сР =4/а' и, следовательно, с( = а/2 Формулы для межплоскостных расстояний в моноклинпых и особенно триклинных кристаллах имеют гораздо более сложный вид, так как углы в таких решетках отличны от 90'. В соответствующие формулы в качестве переменных входят не только линейные параметры решетки, но и углы.

Формулы для расчета межплоскостных расстояний и объемов элементарных ячеек приведены в приложении (равд. 6). ного и того же направления, однако обычно для этого направления используют индексы 1110~. В кубических системах направление 1ЙИ1 всегда перпендикулярно плоскости (ЬЫ), имеющей те же индексы.

В некубических системах это верно далеко не всегда. Семейства направлений, преобразующиеся друг в друга операциями симметрии, называют эквивалентными. Они обозначаются общим символом (Ыг/). Например, в кубической решетке направления 1100~, 10101 и др. эквивалентны друг другу. Они обозначаются символом (100). На рис. 5.23 для выделенных направлений приведено их описание с помощью индексов. 5,3. Определения 175 5.8.8. Плоскости решетки и межплоскостные расстояния. Сколько их может быть? При этом ограничимся лишь двумя значениями индексов Ь, А, й 0 и 1.

В табл. 5.4 приведены возможные комбинации ЬЫ и рас- Таблица 5.4. Рассчитанные значения межплоскостных расстояний для ромбической ячейки (а=З,ОЛ, Ь=4,0А, с=5,0А) Н, А 5,00 4,00 3,12 3,00 101 110 111 001 010 011 100 2,57 2,40 2,16 Число возможных семейств плоскостей решетки и отвечающих им мсжплоскостных расстояний обычно велико, но выражается конечной величиной. Существует две причины конечности этого числа, Во-первых, нижний предел возможных значсний межплоскостных расстояний определяется длиной волны рентгеновских лучей, используемых в дифракционных экспериментах. Так, согласно закону Брэгга, пЛ=2д 31п 0 и, следовательно, д=нЛ/2 з1п О.

Максимальное значение 31п О равно 1 (когда 26= =180'). Поэтому минимальное межплоскостное расстояние может быть равно Л/2 (для и=1). Для СпК„-излучения Л/2ж т0,77А. При необходимости измерять меньшие межплоскостные расстояния следует заменить медный анод рентгеновской трубки на другой с более жестким излучением (с меньшей длиной волны), например на молибденовый анод (табл. 5.1). Во-вторых, число семейств плоскостей решетки ограничено, поскольку индексы Миллера, входящие в формулы для расчета межплоскостных расстояний, могут быть лишь целыми числами (т.

е. й, й, 1=0, 1, 2, ...). Межплоскостные расстояния обратно пропорциональны значениям индексов Миллера. Так, наибольшие значения межплоскостных расстояний отвечают плоскостям (100), (010), (001), (110) и т. д. Если параметры элементарной ячейки известны, то можно рассчитать величины межплоскостных расстояний, подставляя в соответствующие формулы различные значения Ь, /е, 1. Рассмотрим, например, ромбическую элементарную ячейку с параметрами а= =3,0 А, 0=4,0 А, с=5,0 А, Для расчета межплоскостных расстояний используют формулу (5.4): у ур р — = — + — +— <Раж 9 16 25 176 5. Дифракция рентгеновских лучей считанные значения д.

Приведенные в табл. 5.4 значения межплоскостных расстояний расположены в порядке их уменьшения, поэтому комбинация индексов 100 идет позже, чем 011. Естественно, что приведенный перечень плоскостей может быть продолжен для больших значений ЬИ. Перечень плоскостей окончится при некотором минимальном значении межплоскостного расстояния Й. Если бы мы договорились использовать и другие значения йИ, кроме 0 и 1 (например, 2), то можно было бы получить величины межплоскостных расстояний, большие, чем некоторые из приведенных в табл. 5.4. Например, для комбинации ЬИ 002 И=2,5 А. СЭ Ю Рис. 5.24.

Объемноцентрированная кубическая ячейка а-Ре (а) и плоскости (100) (б) и (200) (в). 5.3.9. Систематическое погасание рефлексов В разд. 5,3.8 были перечислены факторы, определяющие максимальное число возможных семейств плоскостей решетки. В принципе рентгеновские лучи дифрагируют (или отражаются) на каждом из семейств плоскостей, однако результирующая ин- тенсивность некоторых реа о в флексов на рентгенограмме может быть равна нулю.

Рефлексы на рентгенограммах могут нсчезать по двум причинам; либо о с с из-за каких-либо особен- ностей структуры, либо в связи с конкретным типом решетки или наличием определенных открытых элементов симметрии. Отсутствие рефлексов по второй причине называется систематическим погасанием. Таким образом, систематическое погасание проявляется в случае непримитивных кристаллических решеток (1, Р и т. д.) или прп паличии таких элементов симметрии, как винтовые оси илн плоскости скользящего отражения.

В качестве примера решетки, в которой возникают систематические погасания, рассмотрим объемноцентрированную кубическую решетку а-Ге (рис. 5.24,а). Рефлексы плоскостей (100) (рис. 5.24,б) имеют нулевую интенсивность, они систематически погасают. Причина этого состоит в том, что атомы, находящиеся в центрах кубических ячеек на половине расстояния между соседними плоскостями (100), рассеивают рентгеновские лучи точно в противоположной фазе по сравнению с атомами, расположенными в плоскостях (100), в вершинах кубической ячейки. Во всем кристалле число атомов, расположенных в таких кристаллографических позициях (в вершинах и центрах кубических 5.3.

Определения Таблица 5,5. Систематические погасання, отвечающие различным типам решетки Условия, неооходимые для появления рефлек- сов на рентгенограммах Тнп решетки Примитивная Р Объемноцентрированная 1 Гранецентрнрованная Р Базоцентрнрованная, например С Ромбоэдрическая Р, Нет йИ; 1т+й+1=2п 1тИ; все ЙЫ либо четные, либо нечетные ЬЫ; 6+А =2п Уг1; — И+И+1=зп или Ь вЂ” я+1 Ъп а При наличии в структуре открытых элементов симметрии появляются дополннтельиые погасаиия рефлексов. 12 †11 ячеек), одинаково.

Поэтому рефлексы, отвечающие плоскостям (100), погасают. Б то же время рефлексы, отвечающие плоскостям (200) (рис. 5.24, б), весьма интенсивны. Это объясняется тем, что между плоскостями (200) нет ни одного атома железа, поэтому погасание невозможно. С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что рефлексы 110 будут появляться на рентгенограммах а-Ге, а рсфлексы 111 систематически отсутствовать. Для любой непримитивной решетки существуют простые формулы, определяющие условия систематического погасания (табл.

5.5). В объемноцентрированной решетке систематически погасают такие рефлексы„для которых сумма индексов 6+1+1 — нечетная, т. е. рефлексы 100, 111, 320 и т. д. Систематические погасания, связанные с наличием открытых элементов симметрии, гораздо более сложны. Объяснить их возникновение значительно труднее. Поэтому мы лишь кратко остановимся на данном вопросе. Причиной погасания в этом случае является то, что размеры одного или нескольких ребер элементарной ячейки как бы уменьшаются (часто в два раза). Так, если элементом симметрии элементарной ячейки с параметром а является винтовая ось 2~ (рис. 5.17, а), то для плоскостей (600) период повторяемости как бы становится равным а/2.

Поскольку плоскости (600) перпендикулярны оси х, то различие в ориентации частиц вокруг этой оси не скажется на дифракции на плоскостях (г100). Другими словами, положение атомов в плоскостях, перпендикулярных оси х, не влияет на интенсивность рефлексов (ЬОО), так как эти интенсивности зависят только от позиций атомов вдоль оси х. Рассматривая дифракцию только на плоскостях (ЬОО), невозможно отличить простой сдвиг на а/2 от сдвига на а/2 с поворотом на 180'С относительно оси х. Таким образом, при наличии винтовой оси 2~, параллельной х, такие рефлексы, как (100), (300), „., (600) (где г1=2а+1), систематическии пога сают.

5. Ли$ракции рентгеновских лучей 178 о.3.10. Фактор повторяемости В кубических решетках семейства плоскостей (013), (031), (103), (130) и т. д. характеризуются одинаковыми межплоскостными расстояниями. Это легко видеть из формулы для расчета межплоскостных расстояний кубических кристаллов ~уравнение (5.5)1.