С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 18

(1.7.51) Ранее мы решили задачу отыскания х для этого уравнения (см. (12) и (13а)). Теперь, используя уравнение Фоккера — Планка, можно рассмотреть гораздо более общую задачу нахождения одномерной функции распределения св (х). Согласно (28) в этом случае а(х, 1)=ф(1) — лх, 6 (х) = — х, (1.7.52) «Х так что одномерное распределение ю (х, 1) будет решением уравнения Фоккера — Планка (44) с коэффициентами т интенсивности, равными Кт = 1р (/) — 2йх+ 0х, Кя = 20х'. (1.7.53) Чтобы воспользоваться стационарным решением (50), предположим, что правая часть (51) постоянна: ф = сопз( ) О. При этом, как следует из (51), х=-О. Подставив (52) в (50) и учитывая условие нормировки, имеющее в рассматриваемом случае вид ~ св(х) Их=1, получим о те и/у и1(х)= Г 1 „„(х- 0), (1.7.54) 90 гл. !.

мвтоды твовии слкчлиных е нкции а также вычислить моменты '1 7 55' Г (») (» — !) (» — 2) ... (» — а) ' В этом примере распределение вероятностей имеет такой вид, что стационарное конечное значение имеют лишь моменты, порядок которых меньше ». При и - » формула (55) теряет смысл, а величина момента с и'- » неограниченно возрастает и стремится к со. Согласно (55) Х= —, Ф Л вЂ” Р' э с (1.7.56) (Л вЂ” Р) (Л вЂ” 2Р) ' г" — !(~= — ! ги!Й~=Р. жо д с Далее находим ~ (К,!а)'Рдх= ~ (РК,а)'с(х — ~ К,Р'юпх= =РК,в ~ — К,Г= — К,Р, если считать, что интеграл от полной производной по х дает нуль из-за достаточно быстрого убывания функции распределения вероятностей при х= +.со.

Аналогично найдем, что Таким образом, из уравнения Фоккера — Планка следует уравнение для средних Р= К!Р -г — Кзг (1.?.57) Полагая, например, в (57) г =х и г"=х', получим 2= К! хв = 2К!х+ Км (1.7.58) (1,7.59) что совпадает с 2 и х", найденными ранее из уравнений для средних (см. (13а) и (27) при 7= 0).

Нетрудно показать также, что и сами уравнения для средних могут быть получены непосредственно из уравнения Фоккера— Планка. Чтобы в этом убедиться, умножим (44) на произвольную функцию г'(х) и проинтегрируем по х. Имеем 4 т. стоххстичвскив методы В частном случае уравнения (51), когда К, и К, даются выражениями (53), эти уравнения принимают вид х =<р(1) -(й — Ц х, й= 2фх — 2(Ь вЂ” 2В) хз, в точности совпадая с уравнениями для средних (12) и (23), полученными другим методом.

Уравнения Фоккера — Планка для динамических уравнений, имеющих более сложный вид, чем (28), рассматриваются в 13, 41. Несмотря на очевидные возможности метода анализа случайных процессов с помощью уравнения Фоккера — Планка, практически далеко не всегда удается им воспользоваться из-за ряда трудностей: 1) Часто задача описывается не одним, а несколькими связанными уравнениями типа (28) относительно неизвестных функций х,, х,, ..., х„.

В этом случае всегда можно написать уравнение Фоккера — Планка для многомерной функции распределения ш(хм к,, ..., к„, 1), однако его интегрирование сразу резко усложняется. Для многомерного случая неизвестен, например, аналог стационарного решения (50). 2) Коэффициенты уравнения, которому удовлетворяет к, иногда нельзя считать 6-коррелированнымн. Уравнение Фоккера — Планка при этом также может быть получено, но даже первоначально одномерная задача (т. е. опнсывающаяся одним уравнением первого порядка) становится при этом многомерной.

3) Нас обыкновенно интересуют не только моменты случайного процесса, но и его корреляционная функция и спектр. Существует, правда, принципиальная возможность определения двумерного распределения ш(х, х,), а следовательно, и корреляционной функции нз уравнения Фоккера — Планка (44), но для этого необходимо получить его нестационарное решение, учитывающее производную дш~д1. Зто удается сделать, однако, лишь в отдельных частных случаях. 4) Наконец, стационарное одномерное распределение (50) н тем более двумерное распределение ш(х, х,) могут оказаться просто очень неудобными для вычисления статистических характеристик, приводя к очень громоздким нли вообще неберущнмся интегралам.

Поэтому в статистических задачах часто используются разлнч ные приближенные, не всегда достаточно обоснованные, но зато сравнительно простые методы вычисления статистических характеристик. Некоторые из этих методов рассматриваются в следующих разделах. Линеаризация нелинейного уравнения. Из приближенных методов прежде всего следует отметить метод линеаризации.

Рассмотрим его на примере нелинейного уравнения У+7'(х) = Б (1). (1.7.50) гл. ь методы теории случляных Функция В области малых х можно аппроксимировать 1(х) первыми двумя членами степенного ряда, что приводит к линейному уравнению х + ~а+ лгох = еь (Г) (1о ~ 1ах) (1.7.61) хе+1(х) = О, (1.7.63) ха+ 7 (х) х = $ (г) (! х ~ ~ х !), (1.7.64) первое из которых — существенно нелинейное — не содержит слу- чайных функций н определяет среднее значение х, а второе— линейное — флуктуации х(л).

Статистическая лннеаризация. К разумным результатам может привести следующие способ упрощения нелинейного уравнення: все нечетные фуннцнн х заменяютсн простейшеа нечетной функцией вяла Ах, а все четные— простейшей четной, т. е. некоторон постояннон В. Параметры линеарнзации А и В подбираются прн этом таким образом, чтобы прн замене соблюдалась определенная статистическая эквивалентность. Расслютрнм неноторые рецепты выбора параметра А при аппроксимации нелинейной нечетной функции Е (х)= — Е ( — х) с помощью линейной фуннцин Ах, литая, что х — галссовскнй случайны 1 процесс с нулевым средним значением (х=а) н днсперсней пз. а) Равенство дисперсий Е (х) н Ах: (Ез (х)) Аооо (1.7,65) Прн атом А = А л = (Ее) ~го/о.

(!.7.66) б) Минимум отклонения Ах от Е(х) (в среднеквадратичном). ((Ах — Е (х))л) = пап. Прнранннвая нулю производную от (67) по А, получим (1.7.67) А Ао=(Е (х) х)/оо. (1.7.68) в) Определение А кан среднего значения производной нелинейной фуикцнн: А (Е' [х)). (1.7,69) из которого легко найти х н его статистические характеристики. Если предварительный аналнз (60) показывает, что значение х близко к некоторой величине х„ то функцию 1'(х) в (60) целесообразно разлагать не по степеням х, а по степеням разности х — х,. Линеаризованное уравнение для х будет при этом выглядеть следующим образом: х+лг(хо)+лг'(хо)(х хо) =еь(() ((х — ха~~хо) (1.7.62) Иногда можно предположить, что малы флуктуации х величины х=х+х, Тогда нелинейное уравнение лннеаризуется по флуктуациям, и из (60) мы получаем два уравнения: $ т. стохаотические методы Учитмвая, что распределение вероятностей летворяет соотношению х ш'(х) = —— аз находим А = Аз = ~ Р'(х) ш (х) с(х = ш (х) Р (х) ш(х) гауссовского процесса удов- (1,7.70) ш (х), — ! Рхш с(х = — (Рх) Аз аз = аз е.

е. атот критерий совпадает с предыдущим. Разумеетси, можно предложить и другие варианты выбора А, например; А=Аа=(Аз+Аз)/2 (1,7.71) влн А =Аз=(Г(х)(х). (!.7.72) тан что Аа ) Аз, з = Ф ~=~ ° (1. 7 74) Уп /а) У2а (У2~ А,-= 1 — а- 1 -ит У2а — о'/х Аз=А =е Следует отметить, что в области малых значений х статистическая линеаризация эквивалентна обычной; как видно нз (74), при азм,! асе коэффици- дг Рис. !.19. Статистическая линеаризация гармонической функции гауссовского случайного процесса: а)п х Ах. Кривые похазывают зависимость хомвфи- Х(о ииеитов А, от аисперсии о'= "* при разаичиых иритериих выбора Л!. енты А! стремятся к 1, т.

е. и!п х заменяется просто на х. В области больших аз параметры А; могут значительно между собой различаться (рис. 1.19). При линейной аппроксимации кубической параболы Р(х)=аз получим, используя приведенные выше формулы: Аз У!баеве 3,88а', Аз — — Аз=Заз, Аз=аз(Аз, А, (1.7,73) При статистической линеаризации синусоиды Р(х)=ми х имеем (зшзх) = — (1 — е ха'), (сов х) е 2 гл, ь методы теории слтчяиных отнкции Приложение метода статистическо! лииеаризации к анализу шумовых ко.

лебаиий в нелинейной системе мы рассмотрим на примере уравнения х+хз=ь(/) (5 О, ЗЗ;205(т)), в котором шум 5 предполагается гауссовским и «белымз, т. е, 5-коррелироваиным. В этом случае моменты (х") могут быть найдены из уравнения фонкера — Планка, т. е. можно сравнить точные значения моментов с их приблн. женными значениями, получающимися при различных вариантах статистической линеаризации. Согласно (73) в случае нубической нелинейности нужно положить А = = ()о', где 6 †численн коэффициент. Сделав в (75) замену хт-ь роех, получим линейное уравнение (1.7.76) о', т! (1.7,77) причем х«=0/8оз, т, е. дисперсия и время корреляции процесса х следующим образом выражаются через 0 и (1: /0 пз = 1/ —, т» — — — —— —. в* ~'вв (!.7.78) Таким образом, в зависимости от выбора параметра линеарнзацин оз ! т» У0= У0 Уй С другой стороны, учитывая, что уравнение (75) принадлежит к типу уравнений (28) с а(х)= — х' н Ь (х) =1, по формуле (50) находим для х точ.

яое стационарное распределение вероятностей: ъ т/з ш(х)= е "х, Г (!/4) Согласно (80) 1 Р 40 (1.7.80) ( — со щ х ( -1- оо). + „ Г (1/4 + и/2) 2"Г (1/4-1- л/2) Г (1/4) )«'чз Г (!/4) В частности, «хз«п«У0 — 2Г (3/4) (х ) = О, (х ) = Зп О, Г (1/4) (1.7.81) (1.7.82) откуда ое 2Г (3/4) — = — = 0,675. (1.7.83) У0 Г (!/4) Таким образом, при статистической лииеаризации уравнения (75) возникают слЕДУющие ошибки пРи опРеделенин о': 25«з (А=А,), 15«А« (А=-А,) и 48«А« х+ 5азх г (/), ив которого следует, гго д=О хх =озе 1 0,508 (Гб)тгз 0,575 1 Уз ! (А= А,), (1.7.79) (4= 4«) (А= Аь).

95 $ т. стпхастические метпды (А Аа). Вычисление моментов четвертого н шестого порядков приводит к следующим результатам: 1 (точно), (ха) 0,78 (А = А,), 0,994 (А = А,), 3 (А=Ах), 2,02 (ха) 1,95 Рю~ 1 284 ~ 15 (точно), (А= АР, (А=А,), (А = Аг).

(1.7.84) Заметим, что выражения (82) для (ха) и (хе) можно получить сразу из (57). Стоит обратить внимание еще на одно обстоятельство. Упрощенное уравнение (76) определяет х как гауссовсний случайный процесс (ввиду линейно. сти (76) и гауссовости $), хотя в действительности распределение вероятностей э(х) (80) гауссовским не является. Между тем х действительно обладает неко. горыми свойствами гауссовского процесса, в чем можно убедиться следующим образом.