С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 13
Описание файла
PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 13 страницы из PDF
Перечисленные методы измерения и анализа стационарных случайных процессов принято называть аналоговыми методами. Эти методы нашли достаточно широкое распространение. Вместе с тем широкие возможности цифровых ЭВМ делают во многих случаях более предпочтительной цифровую обработку реализаций случайных процессов «). $5.
Выбросы случайных процессов Рассмотрим так называемые выбросы случайного процесса х(1), т, е пре. вышение зтнм процессом некоторого уровня С (рнс. 1.11, а). Математически выбросы определяются выражением х«(1) = (х — С) 1 (х — С), (1.5.1) где 1(х) — функция, опнсываюшая единичную ступеньку: (1, х~о, 1(х) = 112, х.-= О, О, хСО. (1.5.2) Заметим, что г( — 1(х)=6(х), — - 1(х)=6(х)х. Их ' Л (1.5.3] «) Лля подробного ознакомления с современной техникой измерения и анализа случайных процессов мы отсылаем читателя к книге [!!) Преобразование х-«х+ может осушествляться в нелинейном устройстве типа детектора, характеристики которого показаны на рис. 1.!2, а. Нелинейное преобразование х-«-1(х — С) реализует идеальный ограничитель (рис.
1.12, б). Как функция времени процесс 1 (х — С) представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды (рис. 1.11, в). Они синхронны с переходами функции х через уровень С, т. е. имеют ту же деятельность, что и импульсы неправильной формы на рнс. 1.!1, б, из которых состоит процесс х+(1). В) $ З. ВЫБРОСЫ СЛУЧАИНЫХ ПРОЫЕССОВ Напишем выражения для некоторын характеристик выбросов на интервале времени (О, Т). Длительность выбросов. Под длительностью )-го выброса понимается величина интервала бй)=т)з,— т( между последовательными пересечениями кривой хй Ю хэф аь У(х-О) У(х-О !)(х-а( Рис. 1.11.
Выбросы случайного процесса х (т) над уровнем С: а) ревлнэацнз ороцесса х(О, пере:екающая уровень С; б) участнм реалнаации х(О, ле жвщие выше уровня С; е) прямоугольные импульсы той же длительности, что и амбры см: з) импульсы, отмечающие переход через уровень С с положнтельноа нлн отрицательной производной; д) импульсы, соответствующие переходу через уровень С с положи. тельной производное, з) импульсы, соответствующие пересечению уровня О с пронзвод. вой тюбого знака.
х(т) уровня С с положительной н отрицательной производной. Суммарная длительность всех выбросов на интервале (О, Т), равная 0- у,'бй), совпадает с временем пребывания процесса х(() в области х)С, Ту же суммарную длительность 0 имеют, очевидно, и импульсы ! (х — С) (рнс 1.!1, и), причем она равна просто ин площади, поскольку атн импульсы неотрицательны н ГЛ 1.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУИКЦИЙ Число выбросов. Лнфференцирование по времени функции 1(х — С) дает ряд Ь-импульсов, положительных при х) О я отрицательных при х ~ О (рнс. 1.11, г). Введя фактор ! (х), отсекающий отрицательные Ь импульсы, получим функцию ! (х — С) ! (2), которая представляет собой последовательность положительных Ь-импульсов, число которых совпадает с числом выбросов (рис. 1.11, д). Полное число выбросов за время Т равд ,г но, таким образом, г () и = ') ! (х — С) ! (х) П! =) 6 (х — С) д ! (Я) пт.(1.5 5) о Энергия выбросов. При наблюдении выбросов могут использоваться приборы типа калорнметров, регистрврукнпие энергию.
Энергия Я выбросов определяется интегралом т г с1=) (х+(!))зг((=~ (х — С)а ух(х — С) й!. (1.5.б) е Число пересечений порога. Функция ~ ! (х — С)! =! 6 (х — С) х ~ = 6 (х — С), х ' Рис. 1.12. Нелинейные характеристики, соотвеп ствующие переходу от процесса х к хэ.= (х — С) х тс ! (х — С) (а) я от х к ! (х — С) (б). представляет собой временную последовательность положительных 6 импульсов, каждый нз ногорых совпадает по времени с пересечением уровня С (рнс.
1.11, е) т. е. интеграл г )У=) 6(х — С) ! й! (1.5.7) е определяет полное число пересечений как с положительной, так и с отрица. тельной производной. Это выражение очевидным образом обобщается на слу- чай переменного порога С(!): г )У = ~ 6 (х — С) ~ х — С! б!. е (1.5,8) Формула (Ь) определяет, таким образом, число пересечений двух произвольнык функций времени х((] и С(!) за время Т. Максимумы н минимумы.
Минимумы функции х(!) соответствуют тем моментам времени, когда х=О и «) О. (:ледовательно, число минимумов равно числу выбросов произнодиой х огносительно нулевого уровня, имеют единичные амплитуды. Таким образом, дли1ельность выбросов опреде. ляется выражением Т =~ !(х — С)Л!. (1,5.4) е 63 % 3.
ВЫБРОСЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Заменяя в формуле (5) х на х и полагая С=О, получим выражение г лаю=) 6(х)х1(Д) 61, (1.5.9) определнющее суммарное число минимумов функции х на иншрвале (О, Т). Аналогичное выражение можно написать и для максимумов: г л,„- — ~ 6(х)д! ( — Е) 61. Обшее число экстремальных точек равно Т г л, , =л ! +л ,„ = ) 6 (х) (х 1 (х) — д 1 ( — Х)) Лт =~ 6 (х) ~ д ~ д( о (1.5.!О) в соответствии с (7). Полученные выражения в равной степени применимы как для случайных, так н для регулярных функций. Если х (1) — случайный процесс, то эти характеристики будут случайными величинами. Из приведенных формул видно, наквя статистическая информация необходима для вычисления тех или иных статистических средних, характеризуюших выбросы.
Рассмотрим, например, среднее значение суммарной длительности выбросов. Согласно (4) (1.5.1 1) Чтобы найти (1(х — С)), достаточно знать одномерное распределение вероят- ностей ш (х, 1). В результате получим (1 (х — С)) = ~ 1 (х — С) - (х, 1) с(х=~ ю (х, 1) с(х= Р (х ) С, !), (1.5.! 2) где Р (х) С, 1) — вероятность пребывания х над уровнем С в момент времени 1.
Подставив (!2) в (11), найдем 8 = ~ Р (х ) С, 1) с(1. (1.5.!3) й Т= = Р(я~ С) (1.5.14) т. е., как уже было показано выше, для стационарного случайного процесса относительное время пребыв;шпя в некотором состоянии (х ) с) равно — в сред. Нем †вероятнос мого состояния. В случае стационарного процесса х вероятность Р от времени зависеть не будет и согласно (13) й ТР(х С), илн ГЛ. Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ Чтобы оценнть откломенне Э от Э, можно вычнслнть момент вюрого порядка 43=ИЛ)„ДГ, <1(х,-с) 1(х,— С)) <1.5.16) о н найти днсперсню бэ — а"-, причем для усреднення в (15) понадобится двумерное распределенне вероятностей и(хы к,; го Г,).
Однако, даже не конкретнзнруя вида функция ш(хм хз), нетрудно показать, что днсперсмя случайной велнчнны В)Т с ростом Т стремится к нулю, а это значнт. что сама величнна Э)Т прн достаточно больших Т очень мало отличается от своего среднего значення, Ищ — — — = Р (х ~ С). О В Т Т Т (1.6.16) Действнтельно, 6 1 Р— — 1 (х — С) йг, Т=Т ) (1.5.16) нлн средняя частота появления экстремальных точек г 2пп„г 2п г а = — '"' - — ~ Ь(х) - дг, Т Т а (1.5.19) прв увелнченцн Т сноль угодно мало отклоняются от свонх с едннх статнств- ческнх значеннй, определение которых прнобретает в связы с этнм особый ннтерес Статистическое усреднение полученных выраженнй дава Р = (~ (х — С)э ю (х) пх, еь йп 2п ) ю(х С, Я) ~ й)бй, ез ()„ю=2л ) и(х О, 2)(д,йд, (1.6.22) (1.5.21) т. е.
случайная величина а(Т является средннм по временм значением процесса 1(х — С), который эргоднчеи, еслн эргоднчен х, т. е, согласно (1.4.5) велнчнна В)Т с ростом Т аснмптотнческн прнблнжается к своему среднему значеиюо. йналогнчко, предполагая эргодичность х, можно утверждать, что твкне велнчкны, как мощность выбросов (т. е.
энергия в еднннцу временн) т Р— — ~ (х — С)э)(х — С) с(Г р Т Т3 В (1.6.17) о средняя частота пересечення порога С т 2пМс 2п г ОО- — = — ~ 6( — ), '' Т Т е % Ь. ВЫБРОСЫ СЛУЧАЯПЫХ ПРОЦЕССОВ Т Й -у — = — 6(х — С))х — С'!Лà — 2гсУ 2п 7 =т 2п ))) в(х-С, х, С, С) , 'х — С) Ихббдб, (1.5.хо) выражается через четырехмерное распределение в (х, х, С, С). При определенных условиях атн формулы упрощаются. Например, если процесс х стационарный, то ха н хз — константы н из соотношений 1 Л ° 1 е( (хй) — — (хэ) О, (хй) = — — (ха) =0 2 с(Г ' 2 п( следует, что отсутствует корреляции между х н х н между х н х в одни н тот же момент времени.
Если х — гауссовский процесс, то отсутствие корреляции будет означать также н статистическую независимость. Прн этом в(х, х) в(х) вз(х), в(х, х)=в,(х) вэ(д) (!.5.24) н согласно (21) н (22) ее ()С 2 (С) 1 в1(М) ) й ! с(Х=2 (С) ! х !, (1.5.25) ее а 2пв, (0) т! (!.5.2б) Для гауссовского процесса 1 ! (х — х)з1 в(х)= ехр 'г 2но ~ 2ое (1,5.27) 1 1 хе 1 вз (х) = ехр г'2по, ( 2а', ~ в,(х) =. ехр ~ — — ~.
1' 2ло, ~ 2о,', ~ (1,5.28) Подставив этн выражения в (2о) н (2б), находим ое Г (С вЂ” х)е 1 — аэ Г)С вЂ”вЂ” 2 — ехр !1 — 1, Й =2 — э. С = о !1 2ое ~ ех! о ))нсперсии флуктуаций случайной функции х и се производных можно выразить череа спектр интенсивности б (в) нлн корреляционную функцию В (т) процесса х: о*=х'= ) б(в)сГеэ=В(0), ге(!е о,'=Ее= ~ в'б(в)бв= — (' — 7! 77(т) ~ =в;"ое, (1.5,301 е( о(=ха=- ~ веб (се) е(ге= — ~ — ) П (т)! — ве ое '(Г) () С. А. Ахнааов а лр. (1.5.5 Н В втнх средних, кроме одномерного распределения в(х), фигурируют двумерные распределения в(х, х) н в (х, х).
Средняя частота пересечений двух случайных стационарных н, вообще говоря, статистически зависимых функций х (Г) и С (Г), равная согласно (8) РЛ. !. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЯНЫХ ФУНКЦИЯ Используя неравенство Коши — Буняновского, нетрудно показать, что и,' ~ по, в! ! =. в!, (1.5.32) Из (29) н (32) следует, что среднее число энстремумов не меньше среднего числа пересечевнй любого уровня: (!.5.33) Если спектр интенсивности имеет прямоугольную форму: 6 (в) = б, ох„— Ь ~ ~в , '~ во+ й, О, в,— й))в!)во+И, (1.5.34) ох= 466, па = ох (в)+йз/3), о', =па (в)+ 2вххйх+йх/5) н согласно (29) () — 2 )Гвх 1 йх/3 х (С «) () 2 '! в(+ в(й +й /5 Если порог равен среднему значению (Сй д), то в предельном случае очень узкого спектра (во,"м /1) () =() =2в .
Л' ех~ о В обратном предельном случае, когда средняя частота спектра равна нулю (во=О), 0,=264'3, Р х,=26~ 3/5хы!,50,, т. е. частота появления экстремальных точек почти в полтора раза превышает частоту пересечения уровня С=«. Пересечение случайных кривых. Рассмотрим два примерз по оценке /х' — числа точек, в которых пересекаются две случайные кривые «(/) и С(/) за время Т 1. Пусть « н С вЂ гауссовск случайныс стационарные функции с нулевым средним, коррелированные, вообше говоря, между собой.
Их разность у=« — С будет также гауссовско ! функцией. Двумерное распределение вероятностей для у и 2 имеет зид (1.5.35) где в и вх определяются выражениями (27), (28), причем ох=ух=«з-(-Сэ — 2«С. (!.5.36) ()о=2о,/а, й/=Та,/пп. (1.5.37) Если х н С статистически независимы, то в [27), (28) ох=«т+С', о(=в~„(а+в!ОС1, Очевидно, что число пересечений х и С равно числу пересечений кривой р нулевого уровня, т. е.
согласно (29) 4 З. ВЫБРОСЫ СЛУЧАННЫХ ПРОЦЕССОВ где юг, н югс — средние частоты спектров, определеяные формулой (30). Согласно (37) в этом случае И Т1Г [+С [С [у к+С т. е. число пересечеии) определяется как частотами в)с и ю), так н интен- сивностями случайных процессов, причем средняя частота пересечений 2ог . ° 7 мух+ ав)С Я= =2 ~/ о 1+а (1.5.33) в(р, р, А, А)=п(р) п,(р) в(А)в,(А), причем РаспРеделения веРоятностей для огибающих и их производных имеют внд А Г А'1 1 Г А'1 в(А)= -чТ ехР~ — —,, ~ в,(А)= ... ехР о)г1 ( 2о,", ) ' Гоп о, Г 2ог (о-"„= хз, о'„= (Аз)), о (Р) = — ехР— —, сг (Р) = ехР (1.5 39) (о-'„ = С', о":, = (рз)), Усреднение выражения (3) для числа пересечений дает М = Т ~ в (р) и (р) др [ [ дА с(р А — р [ в, (А) и, (р).