С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 14

е — в (!.5.40) Согласно (39) 2 3'2 ' ~ с(Ас(р| А — р[в,(А) с,(р)=ф' )'о',",.ьоэзз. Итак, за время Т огибающис двух гауссовских процессов пересекутся в среднем 77=Т "" „, 4'о[т+озз (о'„ + о',) (1.5.41) ° ) Здесь мы пользуемся моделями случаппых ироцессоа, которые будут рассмотрены в $4 гл.

2. 3* меняется в пределах от 2вг„до 2вгс в зависимости от отношения интенсивностей а =Се/хз. 2. Рассмотрим пересечение огибающих А(() и р(() двух независимых нормальных квазигармоинческнх процессов ) х(г) =А (г) соз [в1(+~рр)1, С (г) =Р (г) соз [юег+ф (1)). В этом случае 38 гл. г. методы теории сличхпных вьнкцин раз. Если предположить, что корреляционные функции процессов имеют вид яхт=с'а (т) созвзт, ССт=С Ь(т) соавдт (зто значит, что их спектральные плотности симметричны относительно ва), то в (39) ог =хз, и" =хи()г пг — Са о~ — СЯ()а где ьг)„= — а (О), И ° = — Ь (9).

В случае узкополосных пропессов величина е11 определяется средней частотой спектра и частота ()1 †ширин спектра. Например, для прямоугольного спектре(34) имеем з)п йт а (т) =- йт в' = в'+ аз/3, Цг~ — — йг(3. (1Л.42) а Согласно (41) средняя частота пересечении огибающих равна Рис. 1.13, Средняя частота пересечения огибающих двух независимых гауссовских процессов как функция от- 2пй1 1' с' Я + "г))с) 1пг и.= — =2п~ " ~ г (!.5.43) Т ~ (1+а)а ношениЯ их диспеРсии и= где, как и в (33), и=Се/гй — отношение интенсивностей, В отличие от частоты (33), частота пересечения огибающих (43) стремится к нулю как при и-ьо, так и прн а-~со (рис.

1.13). Из (43) нетрудно получить, что частота Гг максимальна при )' 1 — г'-1- г' — 1+ Кг Г) в= г= —. г' П)„' Систематическое изложение теории выбросов случайных процессов и ее применения можно найти в монографиях [3, 10], й 6. Стохастические дифференциальные уравнения в обыкновенных производных. Анализ случайных колебаний путем усреднения точного решения Математический анализ задач статистической радиофизики н оптики обычно сводится к решению линейных или нелинейных дифференциалытых уравнений со случайными начальными (или краевыми) условиями, случайными параметрами, коэффициентами, случайными внешними силами, — так называемых стохастических дифференциальных уравнений.

В этом и последующем параграфах па примере линейных и нелинейных уравнений в обыкновенных производных мы проил- 5 О УСРЕДНЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ 09 люстрируем основные методы решения стохастических дифференциальных уравнений. Ниже мы убедимся, что решение наиболее интересных задач требует применения специфических, так называемых стохастических, методов решения. В известном смысле эти методы оказываются более мощными, нежели методы решения регулярных уравнений; найти средние для величин, описываемых стохастическими уравнениями, удается и в том случае, когда точные решения неизвестны. Чтобы познакомиться с трудностями, которые могут возникнуть при анализе случайной функции, описываемой дифференциальным уравнением, рассмотрим простейший случай линейной системы первого порядка, когда уравнение для х имеет вид д+ а (О х =1(г).

(1.6.1) Здесь 1(!) — внешняя сила, а(!) — изменяющийся во времени параметр системы. Для этого уравнения известно точное решение: если х (1 = 0) = х„то ! х(г) =хое-ь!ь!+Г)е-ь<ь!ьь!в!1(0) ь(0 Ь(!) =~а(0) !(О, (1,6 2) о о Вид решения (2) показывает, что если случайными являются начальное значение х, или внешняя сила 1(1), от которых х зависит линейно, то усреднение х не вызывает особых трудностей. Например, х = х,е-ь со + ~ е-ь ич ь ь ! в1 (1 (О)) ь(0 о т. е, для определения х достаточно знать хо и (1). Такой статистической информации заведомо недостаточно, если случайным является коэффициент уравнения а(!).

В этом случае для определения х нужно уметь вычислять средние ! (ехр «Ь (1) — Ь (0)1) = (ехр $ а (О') !19'). в Это нетрудно сделать лишь при условии, что случайный процесс а(г) (а следовательно, и процесс Ь (!) — Ь(0)) можно рассматривать как гауссовский; при этом согласно (1.1.16) и (1.1.36) 1 (ехру) =ехр «у+2 (уь — у')1 Решение в аналитической форме может быть записано и для некоторых нелинейных уравнений. Так, если х+а (!) х =1(!) х", (1.6.3) ТО ГЛ, Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЯНЫХ ФУНКЦИЯ то подстановка х=ги1' "' приводит (3) к уравнению — 1~„а+а(1) =Р(1) вида (1). Усреднение точного решения здесь, очевидно, еще более затруднительно, чем в случае (2). Таким образом, если случайная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению, для которого известно точное решение, то статистические характеристики можно, в принципе, найти путем статистического усреднения точного решения с учетом конкретной статистики начальных условий, внешнего воздействия или изменения параметров системы.

Наиболее прост учет статистики начальных условий. Усреднение по ансамблю реализаций внешней силы также не вызывает принципиальных трудностей, если дифференциальное уравнение линейно, но трудности резко возрастают для нелинейных уравнений. Наряду с нелинейностью, сложным является и учет случайно изменяющихся параметров системы. Поэтому для наиболее интересных задач теории колебаний и теории волн решающую роль приобретает разработка методов вычисления средних (в ряде случаев — и распределения вероятностей) в условиях, когда точные решения неизвестны.

Ниже дана сводка наиболее употребительных методов', все они иллюстрируются в этой главе на примере решения уравнения первого порядка. В последующих главах мы применим их для решения более сложных задач. Мы начнем с наиболее простых примеров, в которых вся необходимая статистическая информация может быть получена путем усреднения точного решения, Переходные процессы со случайными начальными условиями.

Следующий ниже пример иллюстрирует методику вычисления статистических характеристик существенно нестационарного случайного колебания, описываемого уравнением, допускающим точное решение. Речь будет идти об установлении .колебаний в генераторе, в котором начальная амплитуда колебаний в контуре определяется собственным шумом. Такая постановка задачи весьма близка к реальной, особенно для генераторов СВЧ и оптического диапазона, в которых регенерация включается импульсно; в этих условиях случайной становится такая важная характеристика, как время установления автоколебаний (см, гл. 7). Рассмотрение простейшего варианта указанной задачи в этой главе диктуется, однако, скорее методическими соображениями. Мы сталкиваемся здесь с примером существенно нестационарного радиофизического случайного процесса, для которого статистическая информация может бызь получена только из ансамбля й в, усреднение точного решения реализаций (рис.

1.14), а средние и распределения вероятностей существенно зависят от начала отсчета времени. Рис. 1.14. Осциллограммы набора реализаций процесса установления амплитуды автоколебаний в отражательном клистроне 1!9!. а] Запуск от шумов автономного клнстрона (нз-за шумов размыт передний фронт импульса генерации). б) Одновременно с реализациями процесса установления в автономном клистроие показаны реализации процесса установления для клнстрона, возбуждаемого регулярной внешней силой (флуктуации отсутствуют).

Во всех случаях в соответствии с формулой (б) нет заметных флуктуаций установившегося значения ~А ) и заднего фронта импульса генерации. Нарастание амплитуды колебаний в нелинейном осцилляторе (томсоновский генератор, одномодовый лазер) описывается уравнением с кубической нелииейностью (см.

гл. 7) А — аА+РАз=О. (!.6.4) Его решение имеет вид А (1) = 1+ ( (стог 1) А' (1.6.5) где А,— начальное значение амплитуды, а А — установившееся значение, соответствующее (-ь оз. Величину А можно найти, полагая в (4) А=-О: 7 =А' =а)(), А =+-) иф. (1.6.6) Переходя к интенсивностям, получим из (5) 7(1)= у (7=А ° !в=Ав.

т — — 2а(), 1+ — в (ет — 1) г (1.6.7) или 1) = — )ы, о — — е', Ь = г — (е' — 1). (1.6.8) Предположим, что начальная интенсивность /е — случайная Величина, имеющая распределение вероятностей гев(г'в). Значения тй гл. ). мвтоды теории случднных оункцин интенсивности / при этом также случайны. Используя формулу (1.2.11), можно найти распределение вероятностей для интенсивности в произвольный момент времени: тн (1 ) сна ( ь/) (о «/)я 0» / » /«пак = ! ~~ (1.6,9) м где) х(1)= $ Н(1, В))р(В)с/В= $ Н(1, 1 — В))р(1 — В)с/В, (1.6.12) ') Имсяно таков закон распределения интенсивности для тауссовскоп) п)ума; см.

(2Л,8), На рис. 1.15 приведены графики Рис. !.!8. Изменение со временем функции распределения (В) нормированной интенсивности к= /// Параметром крнама яваястся бсвраамсрн е время т (см. (У)), отсевтмваемае от момента аапуска автотснератара; ) Н«о= )П '. чальным условиям, может быть з мого интеграла Дюамеля: нестационарных одномерных распределений (9) интенсивности автоколебаний; они построены для юе (/я) = ехр [ — /с/Ц//и *). Пользуясь полученным распределением ю(/, т) (9), можно рассчитать поведение нестационарной дисперсии о(т), а также распределение времени достижения определенного уровня интенсивности ю)(т) (см.