С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика (1158187), страница 10
Текст из файла (страница 10)
1,3 (так называемый корреляционный приемник). Порог (Се с увеличением числа замеров стремится к некоторому постоянному зиачеииса, равному средней интенсивности сигнала тсз ~П ~3с, уменьшенной на величину пз!п(рсд). с йн|ентнтегее Снеснтеие унтоероион уетреостдд Е у Еаеу lеиеннтоу еиеисеешд Гвнееотнн шниоие Ри . 1,3. Схема корреляционного приемника. Рассмотренная задача является одним из простейших примеров статистической процедуры обнаружения сигналов. В настоящее время статистическая теория обнаружения сигналов представляет сабом хорошо разработанную дисциплину; мы отсылаем интересуюшегося читателя к многочисленным руководствам в атой области — см,, например, (2, 4, 51; см. также 6 5 гл, 3. й 3. Корреляционные н спектральные характеристики случайных процессов Врд уруч-р,уд (1.3,2) )/ (уч уз) (уч уз) которая может служить мерой статистической зависимости, существующей между ур и уд.
Корреляционная функция н коэффициент корреляции. Статистическую связь между случайными величинами ур и уд характеризует корреляционная матрица (1.2 43)с в„=д,~,- р,у,. (1.3.!) Значения В полностью определяют, как мы видели, многомерное распределенйе вероятностей для нормальных случайных величин (!.2.44). Нормируя В,, получим матрицу коэффициентов корре- ляции % з корреляционные и спкхтрхльиыв характеристики 43 Как следует из (2), коэффициент корреляции ограничен по абсолютной величине: — 1(й ==+1, (1.3.3) причем )с' = О для статистически независимых ур и у . Согласно (3) В также может иметь как положительные, так и отрицательные значения: — о„,орд ( Вр, =. о„о„,. (!.3.4) Если ур и уд — значения одного и того же случайного процесса в разнйе моменты времени: ур=х(1), у„=х(1+т) =х„ то элементы В корреляционной матрицы являются частными значениями корреляционной функции В(1, т) =ххх — хх„ (1.3.5) а именно: Врд В (1 1р т 1р 1д) Аналогично, элементы матрицы )т выражаются через коэффициент корреляции )т'(1, т) =В(1, т)1оо,.
(1.3,6) Если процесс х(1) стационарен, то в (5) и (6) остается лишь зависимость от т: В (т) =.тх, — лд =одй (т), й (т) =(ххт — хд)/од, (!.3.7) причем В(т) и )т(т) — четные функции т: В( — т) =В(т), р(( — т) =В(т), так как согласно (1) Врд — — Вд,. Максимальное значейие функции корреляции соответствует т=О: В (т), „= В (О) = од. При увеличении т статистическая зависимость между х и х,.ста. новится все более слабой, хх,. хх,=х', так что В(со) =О, й(оо) =О, Уменьшение функции В(т) с ростом т может быть монотонным или иметь осциллирующий характер (это зависит от вида частотного спектра случайного процесса, см. далее рис.
1.4). Аналогичным образом меняется и коэффициент корреляции. Характерный интервал времени, на котором происходит заметный спад (в несколько раз) функций корреляции, называется временем корреляции т,. гл. г. методы твории случхиных функции Статистическую связь между значениями случайной функции в различные моменты времени характеризует и корреляционная функция тр((, т) =хх,=В(1, т)+хх,. (1.3.8) (П,) = (х'х',).
(1.3.9) Если случайный процесс нормальный, то корреляционные функции высших порядков всегда можно выразить через В(т), Используя (1.2.45), нетрудно убедиться, что (Пт) = озо,'+ 2Вз (Г, т) + хзх', + хзоз+ Хзот+ 4ххтВ (1, т). (1.3. 1О) Лля гауссовского стационарного процесса х с нулевым средним зто выражение упрощается: (П,) = о'+ 2В' (т) = ог11+2)тз (т)). (1.3.11) Спектральное представление случайного процесса; спектральные амплитуды и спектральная плотность; связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией. г(ля статистической радиофизики и оптики особое значение имеют спектральные представления случайных процессов.
Речь идет об обобщении спектральных представлений, развитых в теории регулярных сигналов и полей (и их прохождения через линейные системы), на случайные сигналы и поля. Запишем флуктуационную компоненту стационарного случайного процесса (1.3.12) $=х(0 — х в виде интеграла Фурье* ): с(1) = ~ 1 егиг дог. еь (1.3.13) ') Мы ие касаемся здесь математических вопросов супгествования и сходимости, свнзаггггых с записью (13). Чгггатень, интересукхциася этим аспектом, может оарагиться к руководствам 11, 21. Однако, в дальнейшем мы обычно будем пользоваться корреляционной функцией В(С т).
Кроме парных корреляционных функций случайного процесса В(г, т) и т)г((, т), можно ввести в рассмотрение тройные (х(1)х((+тх) х(1+та)), четверные и т. п. корреляционные функции; они дают все более детальную информацию о случайном процессе. В радиофизике и особенно в оптике большое значение имеют корреляционные функции высших порядков, записываемые для различных степеней рассматриваемого случайного процесса (х" (г)х" (1+т)), и, в частности, корреляционная функция интен- сивности % 3, КОРРЕЛяцИОИИЫВ И сПЕКтРАЛьныВ хАРАКтЕРИСТИКи 45 Спектральные амплитуды Е будут по-разному зависе!ь от ю в различных реализациях случайного процесса, т.
е. Еи — случайные функции оь В соответствии с (13) для вещественных функций времени Е(1) спектральные амплитуды комплексны, причем Е =Е;„. Введем понятие спектральной плотности ') случайного процесса 0 (ю), описывающей распределение средней интенсивности процесса по частотам: (Г)= Г ~()б (1.3.14) В (т) = (ЕЕ«) = ~ ~ дю Ню' (ЕиЕ»п) аг"г+г"'!«Ет! (1 3 15) Зависимость от ! в (15) для стационарного процесса должна отсутствовать; зто возможно лишь при условии, что спектральные амплитуды Еи б-коррелированы, т. е. (ЕмЕм' = А (ю) 5(а+-го'), (!.3.16) Подставляя (1б) в (15), нетрудно убедиться, что А (го) =— 6 (го) (поскольку В(0)=',Ез)), а для С(го) и В(т) мы получаем пару преобразований Фурье: В(,)= ~ г)(ю).,(,. (1.3.17) 6(ю) = — „~ В (т) е-'"'Нт.
! 2п (1.3.18) ") Если величина (Еэ ! имеет энергетический смысл (к представляет собой случайный ток, случайное напряжение или случайную напряженность поля), б(ю) можно назвать также «спектром могцностн» процесса, юнергетнческии спектром». Мы будем пользоваться термином еепектральная плотность» нлн просто «спектр» случайного процесса. Сама по себе формула (14) не определяет вид функции 0(и), для однозначного ее нахождения нужны дополнительные данные (см.
далее (18)). Замечательным свойством стационарных случайных процессов является то обстоятельство, что спектральная плотность О (го) оказывается фурье-трансформантой другой фундаментальной статистической характеристики процесса — его корреляционной функции (теорема Винера — Хинчина). Чтобы убедиться в атом, запишем выражение для корреляционной функции В(т), пользуясь (13). Имеем 4в Гл ! методы теОРии случАйных Функция Пользуясь (18) и учитывая четность корреляционной функции В(т), нетрудно убедиться, что 6(в) также является четной функцией: 6( — в) =6(в).
(1.3.!9) Функция 6(в) связана с измеряемым экспериментально энергетическим спектром бо(в) (спектром, взятым по положительным частотам) соотношением: 26(в), в=-О, б+(в) = О, в<0. (1.3.! 9а) Вследствие четности функций В(т) и 6(в) соотношения (!7) и (18) могут быть переписаны в виде В (т) = 2 ~ б (о0 соз вт Ыв = ~ б" (в) соз вт~(в, (1.3 20) о о б (в) = — ! В (т) сол вт йт. ! г о (1.3.21) Формулы вида (17) можно записать, очевидно, и для полной корреляционной функции ф(х). Фурье-преобразование от ф(т) будет содержать при этом как спектр флуктуационной компоненты, так н спектр среднего значения; в соответствии с (8) и (18) бо (в) = б ( ) + ~ х ~' б (в).
(1.3.22) Лв = сопз!/т„ (величина постоянной в (22) зависит от конкретного определения Ьв и т„, а также от формы спектра) Таким образом, время корреляции т„, характеризующее временной интервал, на котором Таким образом, в полном спектре бо (в), в отличие от спектра флуктуаций 6(в), имеется дискретная линия при в=О; так на спектральном языке представляется среднее значение — регулярная постоянная составляющая процесса. Соотношения (1?), (18) (или (20), (21)) будут играть исключительно важную роль во всех последующих разделах' этой книги.
Здесь же мы ограничимся кратким обсуждением некоторых общих следствий этих соотношений и рассмотрением ряда конкретных примеров наиболее часто встречающихся случайных процессов. Если ширину спектра случайного процесса 6(в) обозначить через Лв, то в силу общих свойств преобразования Фурье 4З КОРОВЛЯЦНОННЫЕ и СПВКтр«ЛЬНЫВ хдрдхтсрнстНКИ 47 «распадается» статистическая связь *) между значениями случайного процесса, характеризует «скорость» изменения случайной функции и распределение энергии процесса по спектру (ср.
со спектральной теорией регулярных процессов, где соотношение типа (22) связывает характерную длительность процесса и ширину амплитудного спектра). Чтобы уточнить (22), приведем некоторые определения для величин Лв и хю Часто пользуются понятием так называемой эффективной шумовой ширины спектра, определяемой как Лв' =) С (в) ав/бв к = аз/26 „, о которая соответствует аппроксимации спектра б (в) в области в ) О энвивалеитвым прямоугольником.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
