С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 15

Я 3, 5 гл. 7). Линейная система под воздействием случайных сил; функция Грина; интеграл Дюамеля. Процессы в линейной системе, находящейся под действием силы /, описываются уравнениями вида А (1) х = М (1) /, (1.6.10) где /,(1) и М(1) — некоторые линейные операторы (дифференциальные, интегральные, разностные или смешанного типа). Введем обозначение р (1) = и (1) /. (1.6.1 1) Решение уравнения (10), соответствующее нулевым нааписано в виде так называе- % В УСРЕДНЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ Физический смысл функции Н(1, У) состоит в том, что она описывает отклик системы в момент Г на 6-импульс обобщенной силы ~р, который подействовал на систему в момент У.

Действительно, подставив в (12) ~р (() 6 (1 — У), (1.6.15) получим х (г) = Н (1, У). (1.6.16) Если ~р в (12) является случайной функцией, то, используя представление решения в виде интеграла Дюамеля, нетрудно получить связь между средними, характеризующими процесс х, и аналогичными средними, характеризующими силу ~р: <»(1)>= $ Н(й Е)«р(В)> й), (1.6.17) (х(г,)х((,)>= ЦГ(З,Г(З,Н(1„Е,)Н((„В,) «р(Е,) р(Е,)>, <х(1,) х «,) х(1,)> =Я (В, (В, (Е,х ХН(ГИ 8,) Н(1м йл) Н(йь йз) (Гр(6,) у(ез)<р(йз)> (1.6,18) (1.6.19) и т.

д. В случае гауссовости процесса ~р процесс х также будет гауссовским, так как связь между х и ~р, определяемая интегралом дюамеля, линейна (см. З 2), При этом любое многомерное распределение вероятностей для х может быть выражено через среднее значение х и корреляционную функцию (х((,) х(1л)> (см. (1.2,44)), т. е. выражениями (17) и (18) определяется, в принципе, самое полное статистическое описание процесса х(1).

где функция Н(й 6), называемая функцией Грина, зависит от вида оператора 7. и ие зависит от ~р, Если начальные условия отличны от нуля, т, е, в момент начала действия силы 7 на систему эта система не находилась в состоянии покоя, то к выражению (12) следует добавить соответствующее решение у однородного уравнения 1. (1) у = О. (1,6.13) Это решение всегда можно представить как линейную комбинацию линейно независимых функций у„(1) (и=1, 2, ...), описывающих свободные колебания рассматриваемой системы; У (г),У, слУл (О Сл = сопз(, й (1) Ул (1) = О. (1.6.14) л ГЛ ! МГТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ (1.6.21) Линейные и нелинейные системы со случайно изменяющимися параметрамн; двухуровневая квантовая система под действием шума. Едва ли не важнейшей радиофизической системой является осцнллятор; поэтому свободные колебания осциллятора со случайными начальными условиями, вынужденные колебания осциллятора, находящегося под воздействием случайной силы, относятся к числу основных «эталонных» процессов, изучаемых в статистической радиофизике.

Мы неоднократно будем обращаться к примеру линейного классического асциллятора (колебательного контура) и нелинейного классического осцнлля- тора (томсоновского генератора) и обсуждать различные аспекты поведении этмх систем. В квантовой электронике в качестве аналога классического осциллятора можно рассматривать двухуровневую систему. Поведение двухуровневой системы, находюцейся под воздействием электромагнитного поля Е, описывается системой двух дифференциальных уравнений для поляризации Р н разности населенностей АГ (см.

[!2), с. 58): Р+Т г+ оР=+ д З ° 2 2мо ~ (ог ~о (1.6.Ю) йг — й(о 2 ,(г+ о рЕ Т, йщ, Здесь мо — частота перехода между двумя уровнями, )ого — матричный элемент перехода, Т„ Т, — времена продольной н поперечной релаксаций, й(о †равно- весное значение разности населенностей (Аг= дго прн Е=О), Отклик двухуровневой системы на световое поле аналогичен отклику ли- нейного осциллятора лишь для слабых полей, когда изменением разности населенностей можно пренебречь (М )о'о); в этом случае можно ограничиться рассмотрением уравнения (20), которое аналогично уравнению линейного коле.

бательного контура. В относительно сильных световых полях отклик двухуровневой системы, описываемой уравнениями (3)), (21), на световое поле становится существенно нелинейным, что приводит к разнообразным эффектам, таким, как эффект насьпцения, генерация гармоник, смещение резонансной частоты под действием светового поля (оптический эффект Штарка). Особенно интересно поведение двухуровневой системы в модулированном поле; здесь возникают такие явления, как оптические нутации, самоиндуцированная прозрачность, световое эхо и т, п, Естественно, возникает вопрос об особенностях поведения двухуровневой системы в случайном поле; детальному обсуждению возникающих здесь явле- ний посвнщен 5 5 гл.

5. Здесь же мы рассмотрим одни частный пример поведения двухуровневой системы в световом поле — задачу о воздействии ко. ротких шумовых импульсов с длительностью то„„~То, То на двухуровневую систему. Здесь зта проблема будет интересовать нас как пример системы уран. пений со случайно меняющимися параметрами, допускающей точное решение. Записывая световое поле н поляризацию через комплексные амплитуды н учитывая в М только медленно меняющуюся компоненту Е(()= — гА(Г)ег""+к. с., РЯ=р,(()егнм-)-к. с., (1.6.22) У (г) =лй)+..., 5(о ло сопз(, 75 $6, УСРЕДНЕНИЕ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ получим, подставив (22) в (21), следующие приближеиные («укорочеииыез) уравяеиия! Тгп+и — пз= — (р«А'+к с ) 2Т, Я (1.6.23) г))1+ Рс З пА т,,р„; зя Перейдя к безразмерным полю а и поляризации р: я с з )р~ Гт, а= =2~рс ~ У тт,' рз т,' А (С) =иа (С) Рс (С)=()Р(0 будем иметь Т с«).п — и =р«а (С) (-к.

с., Т р+р= — — -яа (С). (1 624) 1 2 Счятая для простоты функцию а (С) вещественной (амплитудио-модулироваииое поле) и учитывая условие таин<, 'Т„Т, малой длительности светового импульса, уравиеивя (24) можно переписать как Т Р СС= 2Т сс (О С ( тннн)' 2а (С) а (С) (1.6.25) 1 3 и (С) =п«сов С)нС, Р (С) = — — п«У — зсп ()нС. (!.6.ХО) Измеиевие и имеет пеРиоДический хаРактеР с частотой ссн='г а««СТ«тз (так иазьшаемые вутацви разности иаселениостей, см, рис. 1.!6, 5). нру а Рвс. 1.16.

Спектр мокохроматического излучения (а) и обусловлепиые им иеаа- тухающие иутации (б). В общем случае перемеииой амплитуды поля, введя в уравиеииях (25) с вовую перемеииую 8 (С) =~а (С) с(С. получим сСи 2 тй т,р' с(р ! — — — и с(8 йт, До включеиия поля разность иаселепиостей равна своему равновесному значению пз, а поляризация отсуктвует, т. е.

уравнеиия (25) должны решаться при следующих начальных условияхс п=пз, р=О (С=О). Есля включается моиохроматическое излучение (рис. 1.16, а), то а=а, сопз1 в решение (25) дает 7В ГЛ. Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКИИЙ откуда и (Г) = лв ссм е(0 (1.В.27) )'т,т, Нас будет интересовать случай, когда модуляция поля имеет нерегулярный, флуктуационный характер. Случайными становятся прн этом функции й(бт'л ю вр Рнс. 1,17. Спектр немоиохроматического излучения (а) и затухаюшие нутации (б). Зетухенне нутвннй обусловлено н~умовой компонентой поля, нмеющеа сплошной спектр. л(0 и 6(г).

предположим, что а(1) — гауссонскнй стационарный случайный процесс следующего нида: а (Г) = не+ й (1), а = не, Цт = В (т) = ов)Г (т), !.ъ~ Ут,т,' получим из (27) 1 не гонг, — й (чл> д(0 — а (ег'р)+к. с. па созанг, 2 где учтено, что (1.Ь.28) т (ч) (з"р) =е так как процесс ф(1), линейно сиязанный с $(Г), также будет гауссоаскнм, Величина (фе) выражается через функцию корреляции В (т) флуктуаций й(1) амплитуды поля: с с фв ~ б(т~ бтвВ (Гт Гя) — 2 ( (Г т) В (т) бт (1.6.29) й Если, например, сплошной спектр на рис.

1.17, а имеет лоренцеескую форму: ов()7п 0(го) = + то В(т) не и фе — (Ог — 1.(-е "эг). (1 6.30) т. е, спектр излучения состоит из дискретной линни н непрерызного спектра 0(ю), как показано на рнс. 1.17, а. ббозначая й т. Отохдстические метОды 1 В этом случае фактор ехр [ — .. (грр(!))~ в (28) убывает со временем сначала 2 медленно: а затем более быстро: 1 — — <$рч с т =е (!.8.31) В результате формула (28) для л(!) принимает внд и (!) = Пас "О (РЬ1! СОЗ ()а (!) (О! Лр 1). (1.6.3зт Статистический расчет показал, таким образом, что наличие у поля шумовой компоненты эквивалентно некоторым потерям и приводит к затуханию величины и (рис.

!.!7, б). Иа (28) и (30) следует также, что ширина Т) спектра флуктуаций З (!) полн прн ! >) () ' перестает влиять на затухание, а существенное значение имеет лишь величина спектральной плотности 0(еь) иа частоте перехода. Это, естественно, наводит на мысль, что, интересуясь време. нами 1, большнмн по сравнению с обратной полуширниой спектра флуктуаций поля Лю, 1,"ю 2/Ью, можно при расчете заменять реальные флуктуации поля со спектром 0(ю) белым шумом, т. е. полагать Д т = В (т) = 2пбб (т), (1.6.33) выбирая постоянную 6 равнон б (ыр).