С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 17

е их спектр значительно перекрывает спектр свободных колебаний, как усредненных, так и соответствующих «выключеинымэ флуктуациям параметров. Отметим, что имеются случаи, когда на ширину спектра случайных коэффициентов не накладывается никаких ограничений и вместе с тем могут быть получены точные уравнения дия средних (см, (5.5.44) — (5.5.49)). Уравнение Фоккера — Планка для функции распределения вероятностей. Продолжим обсуждение вопроса об определении статистических характеристик процесса х(!), заданного обыкновенным (т.

е. содержащим только производные по времени) дифференциальным уравнением, линейным или нелинейным, аналитнче. ский вид решения которого, вообще говоря, неизвестен. Случай ность х(1) обусловлена тем, что коэффициенты уравнения нли его правая часть заданы как некоторые случайные функции времени. Если эти функции времени являются 6-коррелированными шумами, то, как будет показано ниже, можно получить дифференциальное уравнение, решением которого' будет распределение вероятностей ш (х, 1) процесса х. Это уравнение известно как уравнение Фоккера — Планка При известном решении ш(х, !) ГЛ. Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЯ т.

е Лхд (т) = ~ [а+ 6$ (д + 8 д)1 д(6д, о Лхо (т) = ~ (а+ а' Лх, (8,) + [Ь+ Ь' Лх, (6,)1$ ((+ 8~)) д(6„ Лхо (т) = ) [а+а' Лхо (8,)+ ~ а" Лх,'(8,)+ о + ~Ь+ Ь' Л, (6,) +,'- Ь" Лх,'(8,ф ((+8,)~ а6, (1.7.31) (1.7.32) (1.7.33) уравнения Фоккера — Планка определение одномерных статисти- ческих характеристик процесса х сводится к квадратурам. Перед тем, как приступить к выводу уравнения Фоккера — Планка, отметим некоторые свойства условных средних, которые непосред- ственно вытекают из уравнения для х и 6-корреляции его коэф- фициентов. Чтобы сделать математические выкладки по возможности менее громоздкими, рассмотрим пока частный случай, когда х удовлет- воряет уравнению первого порядка х = а (х) + Ь (х) с (г) (1.7.28) с одним случайным коэффициентом 5 ((), $ = О, 66д = 206 (т).

(1.7.29) В (28) а(х) и Ь(х) — произвольные функции х. Рассмотрим стати- стические характеристики разности Лх = х, — х, х = х ((), х, = х (д + т) (т =.- О). (1.7.30) Кроме обычных — безусловных — статистических моментов (Лх') = ((х, — х)') = лд„, при усреднении которых учитывается случайность как х„так и х, можно рассматривать условные моменты (Лхо)тоо = лдгоо (х), соответствующие фиксированному значению х. Эти условные моменты являются функциями х.

г(ля дальнейшего нам понадо- бятся условные моменты приращения (30). Переписав уравнение (28) в виде д Лх (т) = ~ [а [х (д+ 6)) + Ь [х (д+ 6))с (г + 6) ) о(8, о будем искать Лх методом последовательных приближений, полагая х(д-~-6)=х+Лх(8) (0(8~т), Лх= 1пп Лх„, Ю СО $ У СТОХАСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ и т. д.; штрихами обозначены производные функций а и Ь по х.

Учитывая б-корреляцию функции $(1), находим, используя выражение (31), (ах )усл —,тг+ (лх))усл Ьлот 1 (дхс)усл— где многоточия означают члены второго и более высокого порядка по т. В следующем приближении согласно (32) (Лхз)усл — (а+ ЬЬ'О) т+ (Лху усл — 2 Ьсот+ (Лху)усл Третье приближение (33) и все приближения более высокого порядка не вносят изменений в члены порядка т, так что с этой точностью условные моменты приращения Лх равны луусл = (Лх) усл = (а (х) + Ь (х) Ь' (х) 01 т, глтсл — (лхл)тсл — 29л(х) пг улусл (Лхл)усл 0 (л = 3 4 ) л (1.?.34) Обратимся теперь к общим соотношениям, связывающим двумерную, одномерную и условную вероятности (см. (1.2.24)): ш (х, 1; х„г+ т) = в (х„Г+ т ~ х, Г) ш (х, Г), (1.7.35) ю (х„ 1 + т) = ~ ш (х„ Г -)- т ' х, г) и (х, г) Их. Относительно аргумента х, условное распределение ш (х,~х) обла. дает всеми свойствами обычного распределения вероятностей.

Можно ввести, в частности, условную характеристическую функцию 131 6усл(и, х)= $ ю(х„1+таях, 1)еы1'с *1дх„(1.?.36) соответствующую случайному х, и фиксированному х. Разлагая в (36) экспоненту в ряд по степеням Лх=х,— х, получим представление для 9усл в виде ряда по условным моментам: 6усл (и х) — у шусл (х) 'ю 1!и)л ы л 0 (1.7.37) Поскольку Оусл и в(х, ~х) связаны преобразованием Фурье (36), ш(х„г+т~х, с)= ) 9усл(и, х)е '"1" ")ди. (1.?.38) — сс ГЛ. Ь МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАИНЫХ ФУНКЦИИ ! д О г в (хс, с+т) = Х вЂ” ~ — д ) з)) (х) гз (х, г) 6 (х — х) с(х=л С=Π— сл =в(х„()+ ~~ А —,( — — ) л)у (х,)в(х,, 1)с О ! которое можно переписать как и ~~ ) 7 д )О„Усл( ц (, д ) т и> (х„1). (1.7.40) О-! Устремим теперь т к нулю: в(хв 1+т) — в(х„, 0 д и согласно (34) Вусл 1(ш —,' =К,(х) =а(х)+Ь(х) Ь'(х) О, (1.7.41) с-О усл 1(ш — '= К, (х)= 20ЬО(х), с О (1.7.42) вусл 1(ш —" вв К„(х) = 0 О (в=3, 4, ...).

(1.7.43) таким образом, в пределе т-О 0 (40) принимает еид следующего линейного относительно ис уравнения в частных производных: дв д 1 д* — = — — К,п) + — — Клв, д( дх л дхс (1.7.44) известного как уравнение Фоккера — Планка. Оно определяет зависимость одномерного распределения вероятностей гз(х, () как от х, так и от й Решение должно удовлетворять начальному условию (1.7.45) Подставив сюда ряд (37) и учитывая (1.1.23), получим 131 Вусл гз(хс, т+т~х, ()= — ~ ы ~ ()и) з с с(и= О=О сл лсулсл (х) Г д ') л (1.7.39) О=О Подставив (39) в (35) и интегрируя по х, придем к соотно- шению з т.

стохастичяскив мвтоды К,-К,(х, г)с а(х, 1)+д(х, г)й'(х, г)0(Г), (1.7.46) К,=К,(х, 1)=20(Г)й*(х, 1) (!.7.47) (импульс шума, модулированный шум, система с изменяющимися во времени параметрами). Если коэффициенты интенсивности от 1 не зависят, то нз уравнения Фоккера — Планка всегда можно найти стационарное распределение га(х), соответствующее Г-~со. Начальное условие (45) прн этом несущественно, и в (44) можно положить дгв/дг О.

В результате получим д 1 У вЂ” — К„ш+ — — Кзгв=й, дх 2 дх' откуда — К1ш + — — Кзш — сопз1. ! д 2 дх (1.7.48) Из предположения, что гв (х) достаточно быстро стремится к нулю при х=-+.со, следует, что сопз1=0. Переписав (48) в форме — (К,ш) — 2 — (К,га) = 0 д дх к и интегрируя, находим К,га =Секр 2 ~ — 'г(х; ,) к, С вЂ” произвольная постоянная. Окончательное выражение для стационарного распределения вероятностей имеет следующий вид; ш(х) = — ехр 2 1.„-Ф вЂ” с(х, (1.7.49) причем постоянная С определяется условием нормировки ~ га(х)йх=1. Учитывая выражения (41) и (42) для К, и К„можно первписать (49), выразив гв (х) непосредственно через коэффициенты где аЪ(х) — некоторое заданное распределение вероятностей в момент г=О. Заметим, что уравнение (44) справедливо и в том случае, когда коэффициенты уравнения (28) а(х) и о(х), а также корреляционный фактор 1) в (29) являются функциями времени (регулярными).

Коэффициенты интенсивности К, и К„определенные соотношениями (41) и (42), при этом будут зависеть не только отх,ноиотй 88 ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАИНЫХ ФУНКЦИИ динамического уравнения (28): к (1.7.50) Марковские процессы. Рассмотрим теперь многомерное распределение вероятностей ш(х,...х„) для процесса х, удовлетворяющего уравнению (23). Используя условные распределения (см. (1.2.24)), функцию ш(х,...х„) можно представить в следующем виде: ш(х,...х„)=ш(х„~х,...х„1) ш(х,...х„,) = ш (х„~ х,...

х„т) ш (хк, ( х,... х„,) э (х,... х„т) = =ш(х„~х,...х„,)ш(х„,,х,...х„,)...э(х,~х)ГУ(х). (1.750а) Будучи решением уравнения первого порядка, функция х определяется начальным значением при г=га и значениями процесса 5 на интервале между 1 и 1Р: х (1) = )Р 1хм 1 (8), Г~ ~ 8 ~ 1). В частности, Хм = Р (Х,; $ (8), ~АР, ~ 8 ~ Гм1. При произвольном виде корреляционной функции шума $ величйна х будет зависеть не только от х „но и от х „х„, и т. д., поскольку значения $ на интервале 1,(8<1 будут как-то связаны со значениями $ на других интервалах, Однако, при 6-корреляции такая связь отсутствует и, следовательно, величина х от значений х, предшествующих х,, не зависит.

Это значит, что ш(хл ~хм-ь х -к ..)=ГЕ(хт!хи~-т) (1.7.506) Процессы, для которых выполняется условие (506), называются марковскими. Мы видим, что свойством марковости обладают все процессы, определяющиеся линейными или нелинейными уравнениями (или системами уравнений) первого порядка со случайными 6-коррелированными коэффициентами. Подставив (506) в (50а), получим ш (х,... х„) = ш (х„~ х„т) э (х„,|х„,)... ш (х, ~ хт) Гв (х ), т. е. многомерное стационарное распределение марковского процесса определяется стационарным одномерюам распределением ш(хт) вида (50) и так называемой вероятностью перехода р ш(х„~х ), которая может быть найдепд как нсстачионарное решение уравнения Фоккера — Планка (44), соответствующее начальному распределению (45) вида 6-функции: р„„, =ш(х, () при х„=х, х =х, и ш,(х)=6(х — х,) (см. 11 — 4, 29, 301). э т.

стохдстичнскив методы 89 Пример, Поясним использование уравнения Фоккера — Планка, обратившись опять к уравнению первого порядка, описывающему параметрическую систему со случайными параметрами (уравнение (1)): Рнс. 1.18. Распределение вероятностей (84а) для удовлетворяюптих уравнению 181) колебаний х в параметрической системе со случайной накачкой $ 10, =уж, я=что, ' мо.

где Г(т) — гамма-функция. Распределение (54) зависит от двух параметров: )а=ф/0 и н=й/О. Нормируя х на 11, получим для случайной величины у=х/)4 распределение вероятностей -му тв(у)= ~, —,, (р О). (1.7.54а) Г 1ч) ут ' зависящее только от одного параметра н; вид функции и(р) показан на рис. 1.18. Нетрудно определить наиболее вероятное, т, е, соответствующее максимуму тн(у), значение у: ! рта» = 1+и ' х+ 1Ь+ $ (1)1х = ф (1), ф, = 206 (т).