С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 19

Для произвольных гауссовских переменных х н 5, пользуясь общими формулами (1.2.45), (1.2.46) для моментов, можно получить такие соотношения: $х~ = 3$х ха, $х5 = 5$х Э, $х~ = 7$х ха н т. д„иначе говоря, Дхел г) =(2л — 1) йх (хз"-а). (!.7.85) С другой стороны, полагая в уравнениях для средних (57) г(х)=хи', получим — (ха") = — 2л (ха"'з)+Р2л (2л — 1) (ха" а) г(г илн в стационарном режиме (хан+а) — Р (2л 1) ($хел — з) умножив уравнение (75) на хьа г и усреднив, получим (1.7.86) (хзл'з) = (Ехал г), Сравнение (86) и (87) показывает, что (!.7.87) (ч.те" г) = Р (2л — 1) (хе" а), (1.7 88) д-!.

ро'х=5(!)т! (г' (1.7.89) где р (С) = йоах — хз. (1.7.90) Считая функцию р(1) малой, будем искать решение (89) в виде ряда лр степеням р, полагая х ха+хз+х -(-...а Зто совпадает с выражением (85), полученным только нз гауссовости х и 5, если учесть, что согласно (88) Ех=Р. Рассмотрим еще один подход к выбору параметра линеаризации )) (А = =()ох=Аз) опЯть на пРимеРе УРавнениЯ (75). ПРибавив к обеим частЯм УРавнения 5па, перепишем его в виде ГЛ. !.

МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАИНЫХ ФУНКЦИИ где (1.7,9!) (1.7.92) хо+ Во'хо " (г) хо+ Воохг — — р (г) Вох'о (!) — «о (!), х, + Воя«о = Р, (г) = Воохо (!) — «( (!) 2хохг-)-х*, ~ =т(п. хо (1.7.94) Учитывая б-корреляцию й Яч=206(т)) н гауссовость хо, находим на (9!) хо=по = —, В (г) =х„хоч — — оое Р~" т1, (1.7.95) оо' х(хок = 9В (т) о'+ 6В' (т), («отсо) = оо В (т) ророт= оо (Во 6В + 9) В (т) -1- 6Вз (т), роке =по ( — 6) (!.7.96) (1.7.97) Согласно (92) ох,=0, со Рохг е Ро г Ро)оотлт= — (Во — 6В +12! 2В (1.7.98) (1.7.99) Комбнннруя (91) н (92), можно получить следующие уравнения для средних: — (х хо) +2Воо (кох ) = (хг6) + (рохо) 1- (х)) + 2Воо (х() =-2,'рхг), Из ннх, прнннмая ао внимание (97) †(99), находам, что в стационарном режиме ь,,  — з (1.7.100) «о В хо Во — 6В+12 х,', 2Во (1.7.101) Если пренебречь в (94) величиной хо, то согласно (100) получим (1.7.162) н т.

д. При этом параметр В подберем так, чтобы пооравка к нулевому приближению х„была наименьшей, Если ограничиться вычнсленнем только поправки х,, то хо = хо + 2к х -1- х*, = хо ~ ! + (1.7,96) хо н для определения В получаем условне $ т стохястпческие методы откуда [)=3 и А,=А, (см, (73)), т. е. условие (102) совпадает с критерием (67) минимума среднеквадратичного отклонения. Учитывая в (94) сразу оба слагаемых, получим согласно (100) и (101) — ! 6з — 46+4 =ш(п, 2хест-)-х[ 1 3 х[ ~ 26е откуда 6 2, что дает следукнцую величину дисперсии: аз 1 — — мю 0,706.

(1.7.103) )г!) 'т 2 Сравнение (103) с точным значением (83) показывает, что ошибка в оценив оз теперь составляет всего бзА. Метод статистической линеаризацни нашел применение при расчете систем автоиатнческого регулирования (см., например, [13, !41). К нему близок так называемый кумулянтный метод, развитый в [61. Метод статистической линеари.

зации нами будет использован для анализа флуктуаций в нелинейном колебательном контуре 6 3 гл. 7). Уравнения Дайсона для средних. Познакомимся с еще одним методом приближенного определения статистических средних (см. [11, ч. 2, а также [16, 171), частично использующим идею линеаризации и не связанным с предположением о б-коррелированности шума.

Рассмотрим колебания х некоторой, вообще говоря, нелинейной системы, оппсывающейся уравнением [.х = [)( (х 9) + 1 (1) (1.7.104) где 1.— линейный регулярный (т. е. не зависящий от случайных параметров) оператор, )(( — линейный или нелинейный оператор, $=с(1) и 1 — заданные случайные функции. Полагая (1.7.105) х=х+х, перепишем (104) в виде двух (точных) уравнений; уравнения для средних Е.е=()у(х, $))+я, (1.7.10б) уравнения для флуктуаций Х.х-)У вЂ” (й()+7 — (Е). (1.7.107) Флуктуационное уравнение (107), вообще говоря, нелинейное относительно флуктуаций х и 5, существенно' упростится, если его по этим флуктуациям линеаризовать. В полученное таким образом линейное относительно х уравнение величина х будет входить в качестве параметра (вообще говоря, переменного).

Реп.ение линеаризованного уравнения (107) обозначим через х"1. 4 С, А. Азяаьов я ар. гл. ь методы теоеин сличлиных «оункцип Заменив теперь точное значение х = х+ х приближенным х = х + + х~", найдем явную зависимость (Л) от х и статистических характеристик флуктуаций 5 и ?=? — 71 (1у ($, х)) =Р (х). (1.7.108) В результате после подстановки (108) в (!Об) получим приближенное уравнение для х вида Ее =Р (х)+?'. (!.7.109) Уравнение (109) аналогично уравнению !(айсона, записанному в приближении Бурре (см. 116, 17, 231). Описанный метод называют иногда «улучшенным» методом возмущений, и нетрудно убедиться (см.

ниже), что уравнение (109) действительно дает гораздо более полное описание х, чем то, которое можно получить, используя обычный метод возмущений. В качестве примера рассмотрим опять уравнение (1): х+(й+$(0)х=«р, $=0, К В(т). (1.7.110) Сначала будем вычислять х, используя обычный метод возмущений.

Полагая х= ~ч, 'х„, х, $', получим цепочку уравнений «=о хо+йхо=~р, х,+йх,= — Е(1)хо, х,+йх,= — ~(0х, и т. д. Отсюда находим (при 9=1) 1 1 х»=-1,-«х»= — -~ Г-ло~$(( — 8»)«18м д,=0, ~~ 1(8, ~ о(8,~ о~в,+еио(1 8,)о»(1 1 Г о о так что х хо+ Хо =-л ~1+ -л- ~С е~л В (т) о!т . (!.?.111) о Теперь определим х, исходя из уравнения (109), В рассматриваемом случае Е= «1 +Ь, )о'= — $х, 1=1 И и флуктуационное уравнение (167) после линеаризации по ь и „Е принимает вид (-- +l~) х = — х$. % о случлииые поля Отсюда находим х = х) и = — х ~ е ло ен (1 — З) с(!) о <)у) = — <сх(1)> =у 1 е-лев (и) Нт=В(х).

о Подстановка (1!2) в (106) дает Ж -"+Йд=д ~ е-"'В(т)с(т+1. о (1.7.112) В стационарном режиме (х=0) из (113) находим 1 а(1 — а) ' а = — е-леВ (т) с(т. 1 е (1.7.1 14) Сравнение (1!1) и (114) показывает, что эти выражения совпадают лишь в предельном случае малой интенсивности параметрического шума (а((1), причем формула (111) не описывает параметрической нестабильности (т. е. обращения д в со), возникающей согласно (114) при а 1.

Заметим, что при 6-коррелированном шуме (Ц,=206(т)) формула (114), следующая из уравнения 7(айсона (113) для х, дает результат ! х= совпадающий с точным (см. (13а)). Для усиления метода уравнений Дайсона можно использовать его совместно с методом статистической линеаризации, применяя последний к флуктуационному уравнению (107) *).

й 8. Случайные поля ') Более подробное изложение теории счолассичесиил уравнений кожно нанче н !11, ч. 2 и 115, 23 — 27!. 4* Обратимся теперь к случайным функциям нескольких независимых переменных — случайным полям. Радиофизические и оптические примеры случайных полей многообразны.

Случайным (гауссовским) является электромагнитное поле, излучаемое нелазериым источником света, Из-за внутренних флуктуаций в генераторе, флуктуаций параметров антенной системы как случайное во многих ситуациях следует рассматривать и поле излучения радиопередатчика. Модель случайного ГЛ. 1. МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ поля оказывается часто наиболее адекватной при описании нзлу« чения многомодового лазера. Примерами случайных полей могут служить поле температуры, влажности, диэлектрической проницаемости в реальной турбулентной атмосфере; случайным становится и электромагнитное излучение, распространяющееся в такой флуктуирующей среде.

Рнс. !.20 иллюстрирует один из таких примеров; здесь показано, как трансформируется распределение интенсивности г' =ЕЕа первоначально регулярного светового пучка после прохождения через турбулентную среду. Флуктуации диэлектрической проницаемости турбулентной среды приводят к тому, что однородное иа входе распределение интенсивности по поперечному сечению Рис.

!.20, Мгновенные распределения интенсивности в поперечном сечении лазерного пучка до (аг н после (б) прохождения его через турбулентную среду. Видна, чтс пчеле прсхсждеиии п>чпа череа турбулентную среду распределение иитеи- сивиссти приобретает случайиий характер [31Ь пучка превращается в нерегулярное, случайное. Поэтому на выходе турбулентной среды интенсивность 1 н камо электромагнитное поле Е становятся случайнымн функциями координат и времени: 7(г, (), Е(г, ().

Естественно, подобно тому как мы делалн для функции одной переменной, для случайных полей можно ввести законы распределения, средние, корреляционные функции. Ниже статистические свойства случайных полей мы рассмотрим на примере напряженности переменного электромагнитного поля. Речь будет идти о пространственно-временном случайном поле Е, зависящем от г н й Сначала мы ограничимся одной нз компонент поля (фактически рассмотрим скалярное поле), а затем обратимся к векторным случайным полям. Однородные и изотропные случайные поля. Введем средние значения и корреляционные функции для скалярного комплексного случайного полн Е(г, ().

Как правило, в радиофизике н % а случАйные поля оптике среднее значение поля (Е) =О и корреляционная функция поля Е(г, 1), являющаяся аналогом введенной в з 3 функции В(1„1,), имеет внд (см. (1.3.49)) В(гь 1„г„1,)=(Е(гь 1т)ЕЕ(г„1,)). (1.8.1) Для стационарных во времени полей В(г,, 1„г„1,) =В(г,, г,, 1,— 1,). Точно так же, как среди случайных процессов можно выделить класс стационарных процессов, для которых статистические характеристики не зависят от начала отсчета времени, среди случайных полей можно выделить класс однородных полей, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности г,— г;т В(г„1„г„1,) =-В(г,— гп гм 1з) (1.8.2) (стационарности прн этом может и не быть).